次型與二次曲面課件

1、第七章 二次型與二次曲面 二次型討論的對象是多元二次齊次函數(shù)，這種函數(shù)在物理、統(tǒng)計(jì)、規(guī)劃、極值等問題中有廣泛的應(yīng)用 例如在三維空間的幾何問題中，一般二次曲面在直角坐標(biāo)系下表示為三元二次函數(shù)，通過對二次型的討論，可以研究二次曲面的分類.本章主要討論： 1 二次型的理論； 2 空間曲面與曲線； 3. 二次曲面的分類 7.1 實(shí)二次型實(shí)二次型7.1.1 二次型的定義及矩陣表示 1定義7.1 n個變量 的二次齊次函數(shù) 稱為 n 元二次型，簡稱二次型.12,nx xx1211( ,)nnnijijijf x xxa x x211 1121211nna xa x xa x x2212122222nna x

2、 xa xa x x21122nnnnnnna x xa x xa x211 112121122nna xa x xa x x2222223232222nnnnna xa x xa x xa x 當(dāng) 為實(shí)數(shù)時，稱 為實(shí)二次型， 為復(fù)數(shù)時 為復(fù)二次型，本書只討論實(shí)二次型ijafijaf 2矩陣形式： 11121121222212,nnijjinnnnnaaaxaaaxaaaaaxAX 則二次型的矩陣形式為 為二次型 的矩陣, 為二次型的秩 12( ,),nf x xxX AXAf( )r Af 3二次型 對稱陣 注：討論二次型問題，首要的問題是給定二次型能準(zhǔn)確地寫出二次型的矩陣，反之，給定一個對

3、稱陣，會寫出以它為矩陣的二次型. 這里的關(guān)鍵概念是二次型的矩陣是一個對稱矩陣.|f 對 應(yīng)A 例例1 設(shè)二次型 試寫出二次型的矩陣.（ 為三元二次型）221212132324fxxx xx xx xff2 解：將交叉項(xiàng) 的系數(shù) 即平均分配給 及 的二次型的系數(shù)矩陣 為.ijx xijx x()jiijjix xxxx xA11121121202 A 例例 將二次型 寫成矩陣形式. 解： 是一個四元二次型，先寫出二次型的矩陣1234fx xx xf 12341000210002,1000210002xxxxAX 121234341000210002( ,)1000210002xxfx xx xx

4、xX AX 例例 設(shè) ，試寫出以 為矩陣的二次型. 分析： 是一個3階對稱陣，對應(yīng)的三元二次型，把 與 合并后寫出二次型.110101011 AAAijajia 解：設(shè) T123( ,)x x xX1T2212321122333110( ,)10122011xfx x xxxx xx xxxX AX7.1.2 合同矩陣 1定義7.2（合同）二個 階方陣 和 ， 可逆陣 ，使 ，則稱 與 合同（Congruent）記成 . 矩陣合同的定義與矩陣相似的定義很相似，也是 階方陣之間的一種等價關(guān)系. 即 2合同 等價，合同 等秩，反之都不成立但不等秩，則一定不合同.nABCTC ACBABABn 3合

5、同關(guān)系具有以下性質(zhì)： （1）自反性： . （2）對稱性： 則 . （3）傳遞性： ，則 . （4） 與 合同，則 . 可逆， . AAABBA,ABBCACAB( )( )rrAB CTC ACB 4（二次型的變換）合同二次型 設(shè)二次型 ，經(jīng)可逆線性變換 （ 可逆） 其中 ，即 與 合同， 仍是對稱陣. 所以經(jīng)可逆線性變換后，二次型的對應(yīng)矩陣是合同的. 也可以說：合同的矩陣是同一二次型關(guān)于不同變量的矩陣我們教材是將變量看成 個基下的坐標(biāo)， 是一個基到另一個基的過渡矩陣，合同陣是不同基下的矩陣.Tf X AXXCYCTTTT()f CYACYY C ACYY BYTBC ACABBnR C 5實(shí)

6、對稱陣 （不但和對角陣相似，也與對角陣合同）. 由于實(shí)對稱可正交相似對角化. 所以存在正交陣 ，使 所以實(shí)對稱陣 都與對角陣合同. 換句話說，就是任意實(shí)二次型都可通過一個適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換化成只有平方項(xiàng) 而沒有混合項(xiàng) . 這就引出了二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念.P1T,PAPP APA2()ixijx x230 例4. 與矩陣 既相似又合同的矩陣是（ ） （A） . （B） . （C） . （D） .202030202A110340230 分析： 是實(shí)對稱矩陣，所以 正交陣，使它和一個對角陣既相似又合同，對角陣的對角元恰是 的特征值.AA 解： 的特征值是 ，與 既相似又合同的矩陣是，所以應(yīng)選（D）.

7、202|030(3)(4)202 EAA0, 3,4A43011111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y1111121222122212,nnnnnnnnxycccxycccxycccXYC7.2 化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn) 1標(biāo)準(zhǔn)二次型：只含有平方項(xiàng)的二次型 稱為 元二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)型. 不惟一. 線性變換為2221 12 2nnyyyn 設(shè) （1） 令 （1）可變?yōu)?. 但不惟一. （2） 當(dāng) 是可逆陣時. （1）式是可逆線性變換. XCYC7.2.1 用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 對于實(shí)二次型，最實(shí)用的方法

8、是正交變換法，即所作的可逆線性變換中可逆矩陣 不只是可逆，還是正交矩陣. 這個正交陣的存在是由實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)決定的，值得注意的是這種方法僅限于實(shí)二次型.C 定理定理7.1 對 元實(shí)二次型 ， 正交線性變換：（不惟一） ，使二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形. 是 的 個特征值.nTf X AXXPYf2221 12212,nnnfyyy An 注1 的秩 的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0的平方項(xiàng)的個數(shù). 2 任一個實(shí)二次型都可通過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形. 元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一，有三種方法化標(biāo)準(zhǔn)形. T( )()( ),rrrfAC ACf 例例5 用正交線性變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形. 化成標(biāo)準(zhǔn)形. 解：（1）二次型 的

9、矩陣為222123121323255448fxxxx xx xx xf222254245A（2）由 ， 得 的特征值為 .2222|254(1) (10)0245EAA1231,1,10（3）對 時，解 .即 121(1)0EA X122122244000244000所以得同解方程組為 得基礎(chǔ)解系為 . 正交化： 123223322xxxxxxx 12221,001 11210 21221112522(,)4401(,)55101 245 單位化： 111252111|5500 2222452144|45455545 當(dāng) 時，由方程組310(10)EA X0 即5112108222542225

10、401818011011245099000000 得基礎(chǔ)解系為 ，單位化為 .13233312xxxxxx 3122 333132|323 得正交陣 .22135451423545520345P 則 注：正交變換不惟一，但正交變換得到的標(biāo)準(zhǔn)形是惟一的.（不考慮對角元的次序時）1T1110P APP AP7.2.2 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 如果不考慮正交變換，可以用可逆線性變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，得到標(biāo)準(zhǔn)形不是惟一的.f 例例6 用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 分析：這是只有交叉項(xiàng)沒有平方項(xiàng)的二次型，先對用平方差公式. 解：令 （1）123122313( ,)234f x x xx xx xx x

11、12,x x11221233xyyxyyxy1110110001C 則 221213231323223344fyyy yy yy yy y22121323227yyy yy y 222222113322333377114912() )2() )2224241616yy yyyy yyyy22213233712()2()644yyyyy 再令 （2）113223337414zyyzyyzy 則 222123226fzzz 所作可逆線性變換為 （2）代入（1）得113223337414yzzyzzyz271041014001C 可逆. 為可逆線性變換.1123212333322xzzzxzzzxz

12、123112112 , | 0001CC CCC121 2()XCYc c Zc c Z7.2.3 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 矩陣的初等變換法是對二次型矩陣 ，構(gòu)造一個的矩陣 ，對 交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換，對 作列變換時，同時對 作相同的列變換，當(dāng) 化作標(biāo)準(zhǔn)形時， 就化作了 . 這就是作可逆線性變換那個可逆矩陣. 對角陣.A2n nAEAAEAECTAC ACEC 例例7 用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆線性變換 分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個元素不為0，將第一列和第二列變換，同時將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0.T010111011fXX

13、 解：010111100100111100011010011101010001100010010011010100111110001001001001由此得標(biāo)準(zhǔn)形 所用的可逆線性變換為所以 222123fyyy011,110001XCYCT222123fyyyY CY7.3 正定實(shí)二次型7.3.1 實(shí)二次型的慣性定律 我們知道 元二次型都可以通過一個可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，因?yàn)橛貌煌目赡婢€性變換把同一個實(shí)二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形時，這些標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)一般說是不同的.nf 但在實(shí)可逆線性變換下，同一個實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中的正系數(shù)、負(fù)系數(shù)及零系數(shù)的個數(shù)是不變的，（實(shí)可逆線性變換可以不同），

14、這就是實(shí)二次型的慣性定律. 定理定理7.2 設(shè) 元實(shí)二次型 經(jīng)實(shí)可逆線性變換 分別化成標(biāo)準(zhǔn)形nTf X AX12,XCYYC Z 及 2221122nnfk yk yk y2221 122nnfl zl zl z則 中正數(shù)的個數(shù)，負(fù)數(shù)的個數(shù)及0的個數(shù)都與 中正數(shù)的個數(shù)，負(fù)數(shù)的個數(shù)及0的個數(shù)相同，正數(shù)的個數(shù)稱為 的正慣性指數(shù)，記為 負(fù)數(shù)的個數(shù)稱為的負(fù)慣性指數(shù)，記為 .12,nk kk12, ,nl llfPf,( )rP rrA7.3.2 正定二次型 對于實(shí)二次型有一個特別重要的性質(zhì)正定性. 1定義7.3 設(shè)有 元實(shí)二次型 ，如果對且 ，都有 ，則稱 為正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定）二次型. 的矩

15、陣稱為正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定）矩陣.nTf X AXX0nRXT0( 0,0,0)f X AXff 2正定陣 實(shí)對稱陣，但反之不一定. 3二次型正定的充要條件： 定理定理7.3 實(shí)二次型 正定 正慣性指數(shù) （標(biāo)準(zhǔn)形中 個系數(shù)全為正）. 證：設(shè) ，經(jīng)實(shí)可逆性變換 化為 . 反證：若 某個f( )PnrAnTf X AXXCY2221122nnfk yk yk y0 (1).ikin 取 ，而 00100 Y0001000 XCYC而 TTT222000010100inifkkkkX AXY C ACY與 正定矛盾，正慣性指數(shù) . 維實(shí)向量 ，由 可逆知 故 為正定二次型.fPnn12nxxx

16、X0C1210nyyyYCXTTT2211()0 (0)1,nnik yk ykinX AXYC AC Yf 推論推論 7.1 實(shí)二次型 正定 的矩陣 的特征值全大于 .ffA0,0,1,2,iin 證證 是實(shí)二次型，由定理7.1知 正交變換 ，使 由定理7.3知， 正定 fXPY2221122nnfyyyf0,1,2,iin其中 . 推論推論7.2 實(shí)二次型 正定 實(shí)可逆陣 使， . 證 維實(shí)向量 可逆， . 所以 是正定二次型.f QTAQ QnXQ0,QX0TTTT2() () |0X AXX Q QXQXQXQXf 已知 是正定二次型，由推論7.1知， 正交陣 ，使 ， fP12TnP

17、 AP0 (1,2, )iin 1112TT22nnnAPPPP令 ， 則 1T2nQP1T2nQP所以 由 可逆及 可逆，知 可逆.TAQ QP1nQ定理定理7.4 實(shí)對稱陣 為正定的 的各階順序主子式都大于零.即 A A11121212221112112122120,0,| 0nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaA 總結(jié)：二次型正定的充要條件 實(shí)二次型 正定 的正慣性指數(shù) . 的特征值全大于 實(shí)可逆陣 ，使 . 的各階順序主子式全 與 合同 ff,( )Prn rrA A0,0 (1,2, )iin QTAQ Q A0 AETT()AQ QQ EQ 注：當(dāng) 正定時，可證 ，正定.A1*

18、2(0),kkAAA AAE 負(fù)定 正定.ff 的奇數(shù)階主子式 ，偶數(shù)階主子式 . A00 重點(diǎn)與難點(diǎn)：在實(shí)二次型（或?qū)崒ΨQ陣）中，合同是一種分類的辦法，正定性是另一種分類的方法，重點(diǎn)是正定二次型（或正定矩陣）. 注：說 或 是正定的，已經(jīng)包涵了 實(shí)對稱， 可逆 ， 及 .利用 的正定性，來證明其他的問題，則是一個難點(diǎn)，要具體問題具體分析. 1正定陣（正定二次型的判斷）fAATAAA0iia | 0AA 例例8 判別二次型 的正定性. 解解 二次型的對應(yīng)矩陣為1212111( ,)nnniiiiif x xxxx x1100021110022101002100012100012 A ， 210

19、00121000120020002100012A 和 具有相同的正定性，故判定 的正定性即可（將分?jǐn)?shù)運(yùn)算化成參數(shù)運(yùn)算）A2A2A 2130121000212100400012003|2|0002111000121kk kkkkkA 10,1,2,kkn 122120,3012PP 的全部順序主子式都大于0. 正定， 正定.2AAf 例例9 判斷 階 矩陣 是否正定陣. n(2)n A211121112A . 解法解法1 1 順序主子式： ， 正定.122120,3012PP211111111121121010(1)(1)112112001kkkP 10. (1,2, ),kkn A 解法解法2

20、 2 求 的特征值. 得 的特征值為 全 . 故 正定. 2矩陣（二次型）正定性的證明A1211121|(1)(1)0112nnEAA1231,1,nn0A例例1010 設(shè) 是 階正定陣，證明 也正定.證證 因?yàn)?正定,所以 是實(shí)對稱，即 ， 可逆， 也是實(shí)對稱.An1AAATAAA1 TT111()(),AAAA證證1 用正定陣 全部特征值 . 已知 正定， 的 個特征值 都 . 又 的特征值為 都 , 正定.0AAn12,n 01A12111,n01A 證證2 正定 實(shí)可逆陣 使 . 求逆 令 為實(shí)可逆陣，所以 正定.A QTAQ Q1T11T111 T()()()AQ QQQQQ1 T(

21、) ,PQP1T1,AP PA 例例11 設(shè) 是 階實(shí)對稱陣，其中 正定, 試證當(dāng)實(shí)數(shù) 充分大時， 也正定. 證證 由 正定， 可逆陣 ，使 ，即 ，令 . 仍是對稱陣，故 正交陣 ，,A BnAtt ABAQTT11,()AQ QQAQE1 T1()QAQE1T,PQP APETTTT()tttPAB PP APP BPEP BPTTTT(),P BPP BPP BPR 使 ，其中 是 的特征值.12TT()ndddRP BP R1,nddTP BP12TTTT()()nddtttdREP BP RERP BP RE 12TTT()() ()ntdtdtttdR PAB PRPRAB PR

22、正定（由Th7.3）. 當(dāng) 時， 全 ， . 由Th7.3知 正定，從而 正定，（ 實(shí)對稱顯然）.t AB12max|, |,|ntddditd01,2,inTtEP BPt ABt AB 例例12 設(shè) 為實(shí) ，證明 是正定的 .m nAmnTAA( )rmA證證 是實(shí)對稱陣. 若 正定，則 .TTTT(),AAAAAATAATT|0,()( )m mrmrAAAAA 又 . 設(shè) ，則齊次方程組 只有0解. 對 ，有 ，設(shè) . 由二次型定義知， 正定. ,( ),( )m nrmrmAAA( )rmATn mAX0X0TA X0TT12( ,)nb bbA XTTTT22212() ()0nb

23、bbXAA XA XA XTAA7.4 曲面與曲線 在3.3節(jié)已熟悉了平面和空間的直線與三元一次方程之間的關(guān)系，現(xiàn)在在前兩節(jié)研究二次型的基礎(chǔ)上，本節(jié)重點(diǎn)又從代數(shù)轉(zhuǎn)向幾何，主要是討論二次曲面.與平面、直線一樣，曲面和曲線也可以看成是滿足某種條件的點(diǎn)的集合. 在坐標(biāo)系下，這個條件表現(xiàn)為方程.下面對幾何特征很明顯的幾種常見的曲面和曲線建立它們的方程.7.4.1 球面0000(,)Mxyzr3( , , ),M x y zRM0|M Mr2222000()()()xxyyzzr2222xyzr22222220000002220 xyzx xy yz zxyzr（1）是三元二次方程 （2）二次項(xiàng) 的系數(shù)

24、相同 （3）沒有交叉項(xiàng). 222,xyz222000()()()xxyyzzk0k 0000(,)Mxyzk0k 0k 例例1.2222220 xyzxy配方得222(1)(1)4xyz表示球心為 的球面.(1,1,0),2r 設(shè)柱面的母線 軸，準(zhǔn)線 是平面 上的曲線 ，則此柱面方程為 . 一般地，含有兩個變量的方程在平面上表示一條曲線，在空間里表示一個柱面, 母線平行于不出現(xiàn)的那個變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸，同理 表示母線平行于 軸的柱面， 表示母線平行于 軸的柱面.7.4.2 柱面CLCL/LzCxoy( , )00f x yz( , )0f x y ( , )0f x z y( , )0f y z

25、 x22221xyab1xz7.4.3 旋轉(zhuǎn)曲面平面曲線C繞平面一直線 L 旋轉(zhuǎn)一周，所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面. 曲線C 稱為母線，L稱為旋轉(zhuǎn)軸.設(shè)在面 yOz上，給定曲線C ：0:( , )0 xCf y z將其繞軸z旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)曲面方程. 總之，在坐標(biāo)面上的曲線繞其上一個軸轉(zhuǎn)動得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣寫處：將曲線方程中與轉(zhuǎn)軸相同的變量不動，而把另一個變量換為它自己的平方與方程未出現(xiàn)的變量的平方和的平方根即可.CC(,)Mxyz0111(,)Mxyz1zz11(,)0f y z0,M Mz222211|,xyyyxy 22(, )0fxyzy22( ,)0f yxz例5 橢圓 繞 軸旋

26、轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)橢球面：0,xzkyz22zkxy 2222()zk xy22220zxyk1tanyzk222201yxzabx222221xyzab例7 拋物線 繞軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)拋物面 一般地說：在一個方程中，若有兩個變量以平方和的形式出現(xiàn)，它就是旋轉(zhuǎn)曲面的方程.222201xyzbcz222221xyzbc20,2zypx222yzpx例如，以原點(diǎn)為球心，1為半徑的球面 與 面的交線，是 平面上的以原點(diǎn)為圓心的單位圓，其方程為 7.5 空間曲線及其方程 1:( , , )0F x y z2:( , , )0G x y z( , , )0( , , )0F x y zG x y zCCCxozxo

27、z2210 xzy例9 方程組 表示怎樣的曲線. 解 第一個方程表示以原點(diǎn)為球心，a為半徑的球的上半球面.第二個方程表示準(zhǔn)線為 的面上的圓且母線平行于 軸的圓柱面.方程組為上半球面與圓柱面的交線. 也稱為維維亞尼曲線.2211xyxz221xyz1xyy22222222zaxyaaxyxOy222220aaxyzz2221664xyz224640 xyzxOy222416640 xyzzzOx2216640 xzyyOz22416640yzx 與平面曲線一樣，空間曲線 也可由參數(shù)方程表示， 上的動點(diǎn) 為參數(shù) 的函數(shù)，給定 得 上的一點(diǎn) 隨 的變動便得到 c 的全部點(diǎn).即 為曲線 的參數(shù)方程.t

28、CC( , , )M x y z0tC0000(,)Mx y zt( ):( )( )xx tCyy tzz tC222xya0( ,0,0)M a0M( , , )M x y zxOy( , ,0)M x y0, M OMtcossin,;xavyabzb其中為參數(shù)OMM2hb 以空間曲線 為準(zhǔn)線，作母線平行于 軸（或 軸、或 軸）的柱面，這個柱面與坐標(biāo)面 （或 、 ）的交線稱為曲線 在坐標(biāo)面 （或 、 ）上的投影（曲線）.CzxyxOyyOzzOxCxOyyOzzOxC( , , )0( , , )0F x y zG x y zzC( , )0H x y CxOy:L( , )00H x

29、yzzCxyCyozzox2221xyz222(1)(1)1xyzxOyzCz1yz1zy 2220 xyyxOy222200 xyyz 在第五節(jié)我們講了空間曲面的概念，建立了球面方程和各種柱面方程等.這節(jié)我們要專門討論二次曲面，在平面幾何中我們研究了二次曲線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等，在空間解析幾何中我們將三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面，平面稱為一次曲面. 7.4節(jié)講過球面、圓柱面、拋物面和雙曲面，這些都是二次曲面在那節(jié)里我們只是粗略地描繪它們的圖形. 平面解析幾何中有時用描點(diǎn)法研究它的圖形，對于三元方程所表示的曲面的形狀，顯然難以用描點(diǎn)法得到，這節(jié)我們用截痕法來研究常用的二次曲面，即用坐標(biāo)和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌）.2222221( , ,0)xyza b cabc, ,a b c221xa22221,1yzbc