高中數學 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數的基本關系課件 北師大版必修4

1、1 同角三角函數的基本關系第三章 三角恒等變形學習目標1.能通過三角函數的定義推導出同角三角函數的基本關系式.2.理解同角三角函數的基本關系式.3.能運用同角三角函數的基本關系式進行三角函數式的化簡、求值和證明.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學知識點同角三角函數的基本關系式思考1計算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么結論？嘗試證明它.答案答案答案3個式子的值均為1.由此可猜想：對于任意角，有sin2cos21，下面用三角函數的定義證明：設角的終邊與單位圓的交點為p(x，y)，則由三角函數的定義，

2、得sin y，cos x.sin2cos2x2y2|op|21.思考2由三角函數的定義知，tan 與sin 和cos 間具有怎樣的等量關系？答案(1)同角三角函數的基本關系式平方關系： .商數關系： .(2)同角三角函數基本關系式的變形sin2cos21的變形公式sin2 ；cos2 .tan 的變形公式sin ；cos .梳理梳理sin2cos211cos21sin2cos tan 題型探究 類型一利用同角三角函數的關系式求值命題角度命題角度1已知角已知角的某一三角函數值及的某一三角函數值及所在象限，求角所在象限，求角的其余三角的其余三角 函數值函數值例例1若sin ，且為第四象限角，則ta

3、n 的值為答案解析同角三角函數的關系揭示了同角三角函數之間的基本關系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三個值之間，知道其中一個可以求其余兩個.解題時要注意角的象限，從而判斷三角函數值的正負.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值.又是第三象限角，解答命題角度命題角度2已知角已知角的某一三角函數值，未給出的某一三角函數值，未給出所在象限，求角所在象限，求角的的 其余三角函數值其余三角函數值例例2已知cos ，求sin ，tan 的值.解答是第二或第三象限角.(1)當是第二象限角時，則(2)當是第三象限角時，則利用同角三角函數

4、關系式求值時，若沒有給出角是第幾象限角，則應分類討論，先由已知三角函數的值推出的終邊可能在的象限，再分類求解.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練2已知cos ，求13sin 5tan 的值.解答是第二或第三象限角.(1)若是第二象限角，(2)若是第三象限角，綜上可知，13sin 5tan 0.類型二利用同角三角函數關系化簡解答是第三象限角，cos 0.解答這類題目的關鍵在于公式的靈活運用，切實分析好同角三角函數間的關系，化簡過程中常用的方法有：(1)化切為弦，即把非正弦、余弦的函數都化為正弦、余弦函數，從而減少函數名稱，達到化簡的目的.(2)對于含有根號的，常把根號下化成完全平方式，然后去根號達到化簡

5、的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數式，往往借助于因式分解，或構造sin2cos21，以降低函數次數，達到化簡的目的.反思與感悟解答解答解解是第二象限角，cos 0，類型三利用同角三角函數關系證明證明原等式成立.證明三角恒等式的過程，實質上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：(1)證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡.(2)證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一).(3)比較法：即證左邊右邊0或 1(右邊0).(4)證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立.反思與感悟證明證明證明方法一方法一(比較法作差)方法二方法二(比較法作商)方法三方法三(綜合法)(1sin x)(1s

6、in x)1sin2xcos2xcos xcos x，類型四齊次式求值問題解答例例5已知tan 2，求下列代數式的值.解答(1)關于sin 、cos 的齊次式，可以通過分子、分母同除以cos 或cos2轉化為關于tan 的式子后再求值.(2)注意例5第(2)問式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進行“1”的代換，由1sin2cos2代換后，再同除以cos2，構造出關于tan 的代數式.反思與感悟解答所以tan 3.解答(2)sin22sin cos 1.當堂訓練1.若sin ，且是第二象限角，則tan 的值等于23451答案解析23451答案解析2.已知sin cos ，則sin cos 等于

7、答案解析23451答案解析234514.若tan 2，則sin cos .解答23451規(guī)律與方法1.利用同角三角函數的基本關系式，可以由一個角的一個三角函數值，求出這個角的其他三角函數值.2.利用同角三角函數的關系式可以進行三角函數式的化簡，結果要求：(1)項數盡量少；(2)次數盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數；(4)能求值的盡可能求值.3.在三角函數的變換求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一個，可以利用方程思想，求出另外兩個的值.4.在進行三角函數式的化簡或求值時，細心觀察題目的特征，靈活、恰當地選用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數、降低次數是三角函數關系式變形的出發(fā)點.利用同角三角函數的基本關系主要是統(tǒng)一函數，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化簡或恒等式證明時，注意方法的靈活運用，常用技巧：(1)“1”的代換；(2)減