基于Matlab和Ansys的復合材料板的結(jié)構(gòu)分析

1、 基于Matlab和Ansys的復合材料板的分析本文通過使用MATLAB和ansys這兩款軟件對假設的復合材料層積板進行結(jié)構(gòu)分析，對該材料同一點施加相同的力之后，觀察比對其余相同節(jié)點的位移及和扭轉(zhuǎn)角。 假定的復合材料分析的模型問題闡述：假設一個對稱的、尺寸為的方形積層板，使用SI單位的碳纖維（Gr70%-Epoxy30%）為復材，鋪層角為，共有4層，每層厚度為1mm。在底端約束固定，于頂端中央的節(jié)點上施加一個Z方向（垂直于復合材料板平面的方向為Z方向）的集中力，是對其進行靜力分析。基于MATLAB的復合材料層合板的分析復合材料板的剛度矩陣稱為層積板。常見的層積板是以正交材料堆疊而成。層積板中各

2、層的正交材料有，又是以高強度線狀材料與基底材料壓制而成。在復合材料力學中，我們可以列出彈性剪切模量G、泊松比、楊氏模量E的關(guān)系方程式。二維正交材料，各應變的關(guān)系式為： （1） （2） （3）若定義： （4） （5）則上式可寫成： （6）其中 （7）現(xiàn)在假設剛度矩陣為撓度矩陣的逆矩陣，也就是： （8）第（8）式可改寫成： （9）其中剛度矩陣 （10）又由于和的關(guān)系式，因此，也就是，剛度矩陣為對稱矩陣。通常我們將當做依參數(shù)，利用來定義。、和則當做獨立參數(shù)，由材料性質(zhì)直接決定。二維的正交材料的坐標轉(zhuǎn)換二維的正交材料的坐標變換如圖1-1所示。 Y X 旋轉(zhuǎn) 圖1-1 二維材料坐標變換 在上圖中1、2代

3、表單層材料的坐標系統(tǒng)，而X、Y則代表積層板的空間坐標系統(tǒng)。當各層的材料方向，與積層板的坐標方向不同時，需要將剛度矩陣作坐標變換，也就是以X、Y坐標表示。其應力轉(zhuǎn)換關(guān)系式為： （11）其中是轉(zhuǎn)換矩陣。假設兩坐標系統(tǒng)之間的夾角為，矩陣可表示為： （12）上式化簡為： （13）然后，將主軸應力，以空間的坐標軸表示。 （14）其中為轉(zhuǎn)換矩陣的逆矩陣，其內(nèi)容如下： （15）由于習慣上剪應變都是以角表示，而角的值為剪應變的兩倍，因此： （16）上式可表示為，其中稱為轉(zhuǎn)換矩陣，其內(nèi)容如下： （17）因此可將應變坐標寫成： （18）上式可表示為，其中的內(nèi)容如下; （19）將列出如下： 或者 （20）對于空間坐

4、標系統(tǒng)，也可寫成如上的關(guān)系式： （21）依照式（11）和式（12）應力的關(guān)系，將主軸應力旋轉(zhuǎn)至空間坐標系統(tǒng)，可對應變做同樣的轉(zhuǎn)換： （22） 將（20）與（21）兩式代入（22）式，可得： （23） 重新整理式（23），將等式兩側(cè)同乘可得： （24）由前述（10）式知，將等式左側(cè)的主軸應力，依照（14）和（15）的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)至空間坐標系統(tǒng)，并將（24）式代入，可得： （25）上式可簡化如下： （26）其中：= (27)層積板中各層的剛度可以用下式表示。整個層積板的剛度矩陣，即為各層剛度的總和。在對稱的層積板的情形，總體的剛度為層積板上半部剛度的兩倍。 (28)現(xiàn)選在數(shù)值為SI單位的碳纖維（Gr

5、70%Epoxy30%）的復合材料，假設其對稱，其參數(shù)如下表：名稱數(shù)值名稱參數(shù)鋪層角（Theta）剛度系數(shù)（E1）108Gpa單層厚度（h）0.001m剛度系數(shù)（E2）10.3Gpa總層數(shù)4泊松比（）0.28層積板尺寸0.4m0.4m切變模量（G12）7.17Gpa 表 1由MATLAB運行得出該假設復合材料層積板的第一層剛度為：= 第二層剛度為： = 因為我們前面假設材料為4層對稱積層板，故三層、四層和一層、二層之間存在如下關(guān)系：;且總剛度矩陣為：層積板的剛度矩陣 對于層積板的剛度矩陣，其基本分析原理如下： （29） 當元素為二維三角形時，如圖 1-2所示。 圖 1-2由形函數(shù)我們知道該元素

6、的位移場為： （30）將（30）式代入（1）式得： （31）其中： (32) （33）將（32）式、（33）式代入（31）式中，故應變可簡化為： (34)應變能為： （35）利用最小勢能法得知： (36)由（36）式可得知： (37)在復合材料中剛度矩陣,對每一層作積分，可得到積分板的剛度矩陣。 (38)由于在積層板中矩陣為x與y的函數(shù)，與Z坐標無關(guān)，因此可寫成： （39）若定義矩陣為 （40）剛度矩陣可表示為: (41)其中三節(jié)點元素中，各節(jié)點的自由度為位移、旋轉(zhuǎn)角度和，因此單一元素共有9個自由度，矩陣為： (42)4節(jié) 點元素的情況如圖1-3所示。 圖1-3 四節(jié)點元素有12個自由度而四節(jié)

7、點元素中，各節(jié)點的自由度亦為位移、旋轉(zhuǎn)角度及，因此單一元素共有12個自由度，矩陣為： (43)上述的矩陣定義于式中，因此，三節(jié)點元素的剛度矩陣為99的矩陣。而四節(jié)點元素的剛度矩陣為1212的矩陣。復合材料分析模型尺寸由表1可知，現(xiàn)將其均分成四個0.20.2的正方形元素，因此在SI單位中，節(jié)點i的坐標為（-0.1，-0.1），節(jié)點j的坐標為（0.1,0.1）。由于元素中的每個節(jié)點有z方向的位移、以及x、y方向的旋轉(zhuǎn)角度，因此，每個元素包含12個自由度（DOF=12）。內(nèi)插函數(shù)的多項式因此亦有12項。 進行MATLAB計算得到剛度矩陣執(zhí)行結(jié)果為： 接下來，我們將上述層積板的下緣約束固定，上緣的中央

8、節(jié)點，坐標為（0.0,0.2）處，施加一個100N的力。以此來計算出該節(jié)點的Z方向位移值，如圖1-4 節(jié)點7 節(jié)點8 元素3 節(jié)點9 節(jié)點4 節(jié)點5 元素4 元素1 節(jié)點6 節(jié)點1 元素2 節(jié)點2 節(jié)點3 圖1-4 寫出各元素的剛度矩陣如下：由于1、2節(jié)點約束固定，因此直接將其自由度刪除。第1個元素中就剩下第4、5節(jié)點的自由度。故元素1的剛度矩陣如下： 因此元素1的剛度矩陣，前三列分別對應到第4節(jié)點的、以及等自由度，第4到第6欄分別對應到第5節(jié)點的、以及等自由度。 對于第2個元素，由于2、3節(jié)點約束固定，因此直接將其自由度刪除。第2個元素就只剩下5、6兩個節(jié)點的自由度了，其剛度矩陣如下：以上數(shù)

9、據(jù)為第2元素的剛度矩陣，前3欄分別對應到第5節(jié)點的、和等自由度，后3欄分別對應到第6節(jié)點的、和等自由度。因為第3個元素中有第4、5、7、8節(jié)點的自由度，故其剛度矩陣為上列數(shù)據(jù)為第3元素的剛度矩陣，前6欄分別對應到4、5節(jié)點的、等自由度，后6欄分別對應于第7、8節(jié)點的、等自由度。因為第4個元素中有第5、6、8、9節(jié)點的自由度，因此其剛度矩陣為：上列數(shù)據(jù)為第4個元素的剛度矩陣，前6欄分別對應到5、6節(jié)點的、等自由度，后6欄分別對應到第8、9節(jié)點的、等自由度。分別列出上述元素1、2、3、4在總體坐標系的剛度矩陣，從而得知整個積層板的總體坐標系統(tǒng)的剛度矩陣： （44）對積層板的剛度矩陣作逆矩陣，并命名

10、為撓度矩陣。即: (45)由于 (46) 其中表示位移向量，因此。= 以此矩陣表示出在第8節(jié)點所施加的100N的力，由于節(jié)點4到9共6個節(jié)點，每個節(jié)點有3個自由度，因此向量為的向量，其中13到15位置分別對應到第8節(jié)點的、等自由度。將上述過程代入MATLAB中逐步運行后的所得到的4到9共6個節(jié)點的位移量、如下圖： 為了使上述結(jié)果更加直白，將上述MATLAB結(jié)果進行人為制表如下表 1-1 位移量 節(jié)點 4 0.01211437047915980.10318050460174-0.01276661045859385 0.01076139885629940.1024216434959880.0193

11、93274951191660.005842863968558290.07322972259586640.032206394948346470.0374267569427760.136990977472247-0.0088019808401626380.03661370565108180.1491500340008560.025333600156937490.02822541597293910.138086143558350.0524746563107311 表 1-1基于ANSYS的復合材料層合板的分析1前處理1.1 定義分析文件執(zhí)行ANSYS主程序后，點擊File>clear&

12、start new，然后選擇File>change jobname 對文件名進行修改，再選擇File>change Tile 修改當前分析窗口的名稱，修改完成后點擊Plot>replot。即可刷新出現(xiàn)在當前操作窗口左下角。1.2定義分析類型在主菜單（ANSYS Main Menu）中選擇preferences，在彈出的preferences for GUI Filtering的對話框中選擇structural作為分析的類型。1.3元素類型在主菜單中選擇Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete在彈出的Element Type

13、s對話框中點擊Add按鈕添加單元類型。在Library of Element Types 對話框中選擇shell（殼單元）中的Linear Layer 99(層狀4節(jié)點元素)選項，點擊OK按鈕完成設置?；氐紼Lement Type 對話框，上面顯示已經(jīng)添加了SHELL99的元素類型，單擊對話框中的close按鈕關(guān)閉對話框。1.4定義實體常數(shù)在主菜單中選擇Preprocessor >Real Constants >Add/Edit/Delete命令，在Real Constants對話框中，單擊Add按鈕，在Element Type for Real Constant對話框中選擇出現(xiàn)的

14、元素類型Type 1 SHELL99，然后點擊該對話框左下角的OK，此時彈出Real Constant Set Number 1,for SHELL99的對話框中Real Constant Set No.默認定義為1，直接點擊該對話框OK。在彈出的Real Constant Set Number 1,for SHELL99對話框中定義材料層數(shù)Number of layers(250max) NL一欄中輸入4，然后點擊OK。在隨后彈出的Real Constant Set Number 1,for SHELL99對話框中輸入各層的材料編號Mat no 我們使用前面唯一定義的材料1，鋪層角方向X-a

15、xis rotation中分別輸入45、-45、-45、45，厚度layer thk 中均輸入0.001，點擊OK退回到Real Constants對話框，然后單擊Close按鈕關(guān)閉對話框。1.5定義材料性質(zhì)在主菜單中選擇Preprocessor >Material Props >Material Models 在對話框Define Material Model Behavior中的Material Models Available一欄中選擇structural >Linear >Elastic >Orthotropic(正交材料)命令。在接下來彈出的對話框中接受

16、默認的材料特性集合編號1號，單擊OK按鈕繼續(xù)。輸入=108Gpa、=10.3Gpa、=0.28、等數(shù)值，單擊OK按鈕完成設置。由于我們指定了主軸泊松比=0.28而未定義與，若現(xiàn)在不輸入其值，在后續(xù)執(zhí)行時將顯示錯誤信息，因此我們定義=0.28、=0.28。然后點擊OK完成定義。1.6繪制幾何圖形我們前面假設的層積板X方向的長度為0.4，Y方向的長度也為0.4，在構(gòu)建幾何模型時，我們以其中心點為坐標原點，則該層積板的節(jié)點坐標如圖1-4所示，節(jié)點1的坐標為（-0.2，-0.2），節(jié)點3的坐標為（0.2，-0.2），節(jié)點7的坐標為（-0.2,0.2），節(jié)點9的坐標為（0.2，0.2）。以此，我們根據(jù)A

17、NSYS建模中的一般規(guī)律，由點構(gòu)成線，由線構(gòu)成面，由面到體的構(gòu)圖思路進行建模。其步驟為：在主菜單中選擇Preprocessor >Modeling >Create >Keypoints >In Active CS在彈出的Create Keypoints in Active Coordinate System的對話框中，輸入keypoint number 為1，關(guān)鍵點1對應于節(jié)點1，然后在Location in active CS中分別輸入關(guān)鍵點1及節(jié)點1的坐標（-0.2，-0.2,0），確定關(guān)鍵點1的坐標之后，點擊對話框下部的Apply，將節(jié)點1應用到當前坐標系。然后再

18、依次在節(jié)點編號（Keypoint number）中鍵入2、3、4、分別對應于節(jié)點3、節(jié)點7、節(jié)點9。依次在Location in active CS中鍵入相應關(guān)鍵點的X、Y、Z坐標值。完成點之后，由四個關(guān)鍵點構(gòu)成四條線。在主菜單中選擇preprocessor >Modeling >Create >lines >straight line,在create straight line對話框彈出后，我們依次選擇關(guān)鍵點1和關(guān)鍵點2、關(guān)鍵點2和關(guān)鍵點3、關(guān)鍵點3和關(guān)鍵點4、關(guān)鍵點4和關(guān)鍵點1。操作完成后點擊OK。完成了線的創(chuàng)建，接下來就是由線構(gòu)成面，在主菜單中，選擇preproc

19、essor >modeling >Create >Areas >Arbitrary >By lines ，在彈出的Create Area by Lines 對話框出現(xiàn)后，依次選擇我們上一步繪制的四條線，全部選定之后，點擊OK。完成模型的建立之后我們下一步將對剛才建立的模型進行網(wǎng)格的劃分，首先我們需要定義元素尺寸，在中菜單中選擇Preprocessor >Meshing >size cntrls >Manualsize >Areas >All Areas,在彈出的Element Sizes on All Selected Areas對話

20、框中鍵入SIZE Element edge length 中元素邊長我們輸入0.2，然后點擊OK完成對元素邊長的設置。隨后，我們進行網(wǎng)格的劃分，在主菜單中選擇preprocessor >Meshing >Mesh >Areas >Free,在彈出Mesh Areas對話框后，我們選擇上一步建模所生成的面，點擊OK即可對該模型進行網(wǎng)格劃分。1.7 定義載荷及約束首先，我們在圖1-4中定義了該復合層積板的下邊緣是固定的，因此，在有限元進行分析時，要首先加載一個約束，故在主菜單中選擇Solution >Define loads >Apply >Structu

21、ral >Displacement >on lines ，在彈出的的對話框Apply U ,ROT on lines后，在模型中選取底端的線段，然后點擊OK，在隨后彈出的對話框Apply U,ROT on Lines中的Lab2 DOFs to be constrained一欄，選擇ALL DOF（限制前面所選擇直線的全部自由度）,然后點擊OK。在模型的下邊線出現(xiàn)黃色的密集三角號，象征表示全部約束被應用于該線，即模型下端被固定。約束定義完成之后，下一步定義在材料的上緣的中央節(jié)點，坐標為（0.0,0.2）處，施加一個100N的載荷。Solution>Define Loads>Apply>Structural>Force/moment>on Nodes,在彈出的Apply F/M on N