高中數學 第二章 解析幾何初步 2.1.2 直線的方程課件2 北師大版必修2

1、-復習直線方程的點斜式：直線方程的點斜式：直線的斜率為直線的斜率為k，且經過點，且經過點p（ x1，y1 ），），則直線的方程是：則直線的方程是：)(11xxkyy說明：說明： 1 1、這個方程是由直線上一點和斜率確定的；、這個方程是由直線上一點和斜率確定的； 2 2、當直線的傾斜角為、當直線的傾斜角為0 0 時，直線方程為時，直線方程為y=yy=y1 1； 3 3、當直線傾斜角、當直線傾斜角90 90 時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示，時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示，這時直線方程為這時直線方程為x x= =x x1 1。一、基礎知識回顧：一、基礎知識回顧：oyxp直線的

2、斜率為k，與y軸的交點是p（0，b），則直線 l 的方程是：bkxy說明： 1、上述方程是由直線的斜率和它在y軸上的截距確定的，叫做直線方程的斜截式。 2、我們稱b為直線在y軸上截距。 3、截距b可以大于0，也可以等于或小于0。yxop121121xxxxyyyy經過點經過點p1（ x1，y1 ）、）、p2（ x2，y2 ）的直線）的直線的方程是：的方程是：說明：說明： 1、這個方程是由直線上兩點確定的；、這個方程是由直線上兩點確定的； 2、當直線的傾斜角為、當直線的傾斜角為0時（時（y=y1） ，或當直線傾斜角，或當直線傾斜角90 為時為時（x=x1） ，它的方程不能用兩點式求出。，它的方程

3、不能用兩點式求出。3、經過點經過點p p1 1（x x1 1，y y1 1）、）、p p2 2（x x2 2，y y2 2）的所有直線的方程可以寫成）的所有直線的方程可以寫成 （y-yy-y1 1）（）（x x2 2-x-x1 1）= =（y y2 2-y-y1 1）（）（x-xx-x1 1）yxop1p2直線l與x軸的交點為p1(a,0),與y軸的交點為p2（0，b）,其中a0，b0，則直線 l 的方程是：1byax說明：說明：1這一直線方程由直線在這一直線方程由直線在x軸和軸和y軸上截距確定，所以叫做直線方程軸上截距確定，所以叫做直線方程的截距式；的截距式；2截距式適用于橫、縱截距都存在且

4、不為截距式適用于橫、縱截距都存在且不為0的直線。的直線。yxop2p1直線方程的一般式：直線方程的一般式：)(0不同為零、bacbyax 說明：說明：在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關于直線的關于x，y的二元一次方程的二元一次方程。 在平面直角坐標系中，任何關于在平面直角坐標系中，任何關于x，y的二元一次方程都表示一條直線的二元一次方程都表示一條直線。【微思考微思考】直線方程的幾種形式是如何轉化的？直線方程的幾種形式是如何轉化的？54例1：直線 過點 （1，3），傾斜角的正弦是 求直線 的方程解：因為傾斜角解：因

5、為傾斜角 的范圍是：的范圍是： 0又由題意：又由題意：54sin所以：所以： 34tan直線過點直線過點 （1 1，3 3），由直線的點斜式方程得到），由直線的點斜式方程得到： ) 1(334xy即：即：4x-3y+13=04x-3y+13=0 或或 4x+3y-5=04x+3y-5=0二、題型講解（一）：求直線的方程變式變式1 1：根據下列條件寫出直線方程，并化為一般式方程：根據下列條件寫出直線方程，并化為一般式方程. .(1)(1)斜率為斜率為2 2，且在，且在y y軸上的截距為軸上的截距為1;1;(2)(2)經過點經過點p p1 1(-2,1),p(-2,1),p2 2(3,2)(3,2

6、)兩點兩點; ;(3)(3)在在x x軸、軸、y y軸上的截距分別為軸上的截距分別為3 3、-5;-5;(4)(4)經過點經過點p(4,-3)p(4,-3)，且垂直于，且垂直于x x軸軸. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)由題意知由題意知, ,直線的斜截式方程為直線的斜截式方程為y=2x+1,y=2x+1,化為一般式方程為化為一般式方程為2x-y+1=0.2x-y+1=0.(2)(2)由題意知由題意知, , 直線的兩點式方程為直線的兩點式方程為化為一般式方程為化為一般式方程為x-5y+7=0.x-5y+7=0.(3)(3)由題意知由題意知, , 直線的截距式方程為直線的截距式方程為化為一般式

7、方程為化為一般式方程為5x-3y-15=0.5x-3y-15=0.(4)(4)由題意知由題意知, ,直線方程為直線方程為x=4,x=4,化為一般式方程為化為一般式方程為x-4=0.x-4=0.例例2 2：過點：過點 p p（3 3，0 0）作直線）作直線 ，使它被兩相交直線，使它被兩相交直線2x-y-2=02x-y-2=0 和和x+y+3=0 x+y+3=0 所截得的線段所截得的線段abab 恰好被恰好被 p p點平分，點平分，求直線求直線 的方程的方程解：設解：設 a a點坐標（點坐標（x x1 1 ，y y1 1 ）線段線段abab 的中點為的中點為p p（3 3，0 0） 由中點公式，可

8、設由中點公式，可設 b b點坐標為（點坐標為（6-x6-x1 1，-y-y1 1）aa、b b兩點分別在直線兩點分別在直線 2x-y-2=02x-y-2=0 和和x+y+3=0 x+y+3=0 上上由兩點式可得直線由兩點式可得直線 的方程為：的方程為：8x-y-24=08x-y-24=0 oxyx+y+3=02x-y-2=0pabp（3，2）abyxo變式變式2 2：直線：直線 過點過點p（3，2）且與）且與x、y軸軸的正半軸分別相交于的正半軸分別相交于a、b兩點，兩點，oab的的面積是面積是12，求直線，求直線 的方程的方程方法方法1，題中的題中的oab的面積與截距有關，可的面積與截距有關，

9、可利用直線方程的截距式利用直線方程的截距式解：設直線的方程是解：設直線的方程是) 0, 0( 1babyax所以，所以，a（a，0），），b（0，b）4612423baabba所以，所求直線的方程是所以，所求直線的方程是146yx即：即：2x+3y-12=0方法小結方法小結：直線方程形式的選擇技巧：直線方程形式的選擇技巧一般地一般地, , (1)(1)已知一點通常選擇點斜式已知一點通常選擇點斜式; ;(2)(2)已知斜率通常選擇斜截式或點斜式已知斜率通常選擇斜截式或點斜式; ;(3)(3)已知截距通常選擇截距式已知截距通常選擇截距式; ;(4)(4)已知兩點通常選擇兩點式。已知兩點通常選擇兩點

10、式。注意注意：選擇直線的點斜式和斜截式時，應考慮斜率不存在的情選擇直線的點斜式和斜截式時，應考慮斜率不存在的情形；選擇截距式時，應考慮零截距及與坐標軸平行的情形；選形；選擇截距式時，應考慮零截距及與坐標軸平行的情形；選擇兩點式時，應考慮與坐標軸擇兩點式時，應考慮與坐標軸. .平行的情形平行的情形（二）直線方程的實際應用（二）直線方程的實際應用 直線方程的實際應用常常與實際應用題相結合， 它涉及到直線方程的求法、函數建模思想、消元思想、二次函數最值求解等知識的綜合應用，重要的是通過解析法的思想，把實際問題轉化成數學問題來求解.【例例3 3】某房地產公司要在荒地某房地產公司要在荒地abcdeabc

11、de上上劃出一塊長方形地面劃出一塊長方形地面( (不改變方位不改變方位) )，擬建造一幢八層的公寓樓擬建造一幢八層的公寓樓, ,問如何設計問如何設計才能使公寓樓占地面積最大才能使公寓樓占地面積最大? ?并求出最并求出最大面積大面積.(.(精確到精確到1 m1 m2 2) )【審題指導審題指導】通過讀題可發(fā)現：先應轉化成代數問題，也通過讀題可發(fā)現：先應轉化成代數問題，也就是建系、設點、列出關于未知量的函數式，再求解就是建系、設點、列出關于未知量的函數式，再求解. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】建立如圖所示的平面直角坐標系建立如圖所示的平面直角坐標系, ,則線段則線段abab的方程為的方程為則設點則設點p

12、 p的坐標為的坐標為(x,y),(x,y),公寓占地面積為公寓占地面積為s=(100-x)(80-y)s=(100-x)(80-y)xy1 0 x30 .3020222x250100 x (80 20)x 10 x 256000333250 x 56000 0 x 30.33 2xy20.3max50s600060173，50(5,)3，5019080(m)33變式變式3 3：如圖所示，某地長途汽車客運公司規(guī)定旅客：如圖所示，某地長途汽車客運公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定重量，可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定重量，則需要購買行李票，行李票費用則需要購買行李票，行李票費

13、用y(y(元元) )與行李重量與行李重量x(x(千克千克) )之間的關系用直線之間的關系用直線abab的方程表示的方程表示. .(1)(1)求直線求直線abab的方程；的方程；(2)(2)旅客最多可免費攜帶多少千克行李？旅客最多可免費攜帶多少千克行李？【解析解析】(1)(1)由圖知點由圖知點a(60,6)a(60,6)，b(80,10).b(80,10).由直線方由直線方程的兩點式或斜截式可求得直線程的兩點式或斜截式可求得直線abab的方程是的方程是 x-5y-30=0. x-5y-30=0.(2)(2)由由(1)(1)知知x-5y-30=0 x-5y-30=0， 令令y=0y=0，得，得x=

14、30,x=30,即旅客最多可免費攜帶即旅客最多可免費攜帶3030千克行李千克行李. .三三. .課堂小結課堂小結：1.1.直線方程形式的選擇技巧直線方程形式的選擇技巧一般地一般地, , (1)(1)已知一點通常選擇點斜式已知一點通常選擇點斜式; ;(2)(2)已知斜率通常選擇斜截式或點斜式已知斜率通常選擇斜截式或點斜式; ;(3)(3)已知截距通常選擇截距式已知截距通常選擇截距式; ;(4)(4)已知兩點通常選擇兩點式。已知兩點通常選擇兩點式。注意注意：選擇直線的點斜式和斜截式時，應考慮斜率不存在的情形；選擇直線的點斜式和斜截式時，應考慮斜率不存在的情形；選擇截距式時，應考慮零截距及與坐標軸平

15、行的情形；選擇兩點式選擇截距式時，應考慮零截距及與坐標軸平行的情形；選擇兩點式時，應考慮與坐標軸時，應考慮與坐標軸. .平行的情形平行的情形2.2.直線的應用直線的應用四四. .課后作：業(yè)課后作：業(yè)1.1.下列說法正確的是下列說法正確的是( )( ) 是表示過點是表示過點(x(x1 1,y,y1 1) )且斜率為且斜率為k k的直線的直線(b)(b)在在x x軸和軸和y y軸上的截距分別是軸上的截距分別是a a、b b的直線方程為的直線方程為(c)y=kx+b(c)y=kx+b與與y y軸的交點到原點的距離是軸的交點到原點的距離是b b(d)(d)不與坐標軸平行或重合的直線方程一定可以寫成兩點

16、不與坐標軸平行或重合的直線方程一定可以寫成兩點式或斜截式式或斜截式 11yyakxxxy1ab【解析解析】選選d.d.a a不正確，因為該方程不包含點不正確，因為該方程不包含點(x(x1 1,y,y1 1););b b不正確，該方程不包括截距為零的直線；不正確，該方程不包括截距為零的直線；c c不正確，截距不與距離完全相同不正確，截距不與距離完全相同. .只有當只有當b b0 0時時,y=kx+b,y=kx+b與與y y軸的交點到原點的距離是軸的交點到原點的距離是b.b.2.2.直線直線x-2y+4=0 x-2y+4=0的截距式方程為的截距式方程為( )( )【解析解析】選選d d依據截距式方

17、程的形式得直線依據截距式方程的形式得直線x-2y+4=0 x-2y+4=0的截距式方程的截距式方程為為 。選。選d d xyxya1b14242xyxyc1d12442xy1424.4.已知點已知點a(4a(4，0)0)，b(0b(0，2)2)，動點，動點p(x,y)p(x,y)在線段在線段abab上運動上運動. .(1)(1)求求xyxy的最大值的最大值; ;(2)(2)在在(1)(1)中中xyxy取最大值的前提下，是否存在過點取最大值的前提下，是否存在過點p p的直線的直線l，使使l與兩坐標軸的截距相等，若存在，求與兩坐標軸的截距相等，若存在，求l的一般式方程，若的一般式方程，若不存在，請說明理由不存在，請說明理由. . 【解題提示解題提示】寫出直線的方程寫出直線的方程, ,利用變量間的等量關利用變量間的等量關系建立函數關系系建立函數關系, ,并求其最值并求其最值. .解：解：(1)(1)由題意可知由題意可知abab的方程為的方程為 (0 x4, (0 x4, 0y2),0y2), x=4-2y, x=4-2y, xy=(4-2y) xy=(4-2y)y=-2(y-1)y=-2(y