2022年《高考數(shù)學解題的思維策略2021第一講數(shù)學思維的變通性

1、學習必備歡迎下載一、 高中數(shù)學解題的思維策略導讀數(shù)學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進行有效的訓練，本策略結(jié)合數(shù)學教學的實際情況，從以下四個方面進行講解：一、數(shù)學思維的變通性根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活設(shè)想和解題方案二、數(shù)學思維的反思性提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。三、數(shù)學思維的嚴密性考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤。四、數(shù)學思維的開拓性對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、對一個題目運用多種不同的解法。什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。策略的即時性、針對性、實用性，已在教學實踐中得到了全面驗證。第一講數(shù)學思維的變通性一、概念精品學

2、習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載數(shù)學問題千變?nèi)f化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活的設(shè)想和解題方案。 根據(jù)數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)， 本講將著重進行以下幾個方面的訓練：（1）善于觀察心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)

3、，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學題，都包含一定的數(shù)學條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。例如，求和) 1(1431321211nn. 這些分數(shù)相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且111) 1(1nnnn，因此，原式等于1111113121211nnn問題很快就解決了。（2）善于聯(lián)想聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此

4、，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組32xyyx. 這個方程指明兩個數(shù)的和為2，這兩個數(shù)的積為3。由此聯(lián)想到韋達定理，x、 y 是一元二次方程0322tt的兩個根，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載所以31yx或13yx.可見，聯(lián)

5、想可使問題變得簡單。（3）善于將問題進行轉(zhuǎn)化數(shù)學家 g . 波利亞在怎樣解題中說過： 數(shù)學解題是命題的連續(xù)變換?？梢?，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法。 那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題， 把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。 在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。例如，已知cbacba1111,)0,0(cbaabc, 求證a、 b、c三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。恰 當 的 轉(zhuǎn) 化 使 問 題 變 得 熟 悉 、 簡 單 。 要 證 的 結(jié) 論 ， 可 以 轉(zhuǎn) 化 為 ：0)()(accbba

6、思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓練。二、思維訓練實例（1） 觀察能力的訓練雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓練， 使學生不但能用常規(guī)方法解題， 而且能根據(jù)題目的具精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

7、- - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載體特征，采用特殊方法來解題。例 1 已知dcba,都是實數(shù)，求證.)()(222222dbcadcba思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而左端可看作是點到原點的距離公式。根據(jù)其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明不妨設(shè)),(),(dcbbaa如圖 121 所示，則.)()(22dbcaab

8、,2222dcobbaoa在oab 中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：aboboa當且僅當 o 在 ab 上時，等號成立。因此，.)()(222222dbcadcba思維障礙很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因， 是對這個公式不熟， 進一步講是對基礎(chǔ)知識的掌握不牢固。因此，平時應(yīng)多注意數(shù)學公式、定理的運用練習。例2已知xyx62322，試求22yx的最大值。解由xyx62322得.20, 0323,0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222xxxxyxx y o

9、),(baa),(dcb圖12精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載當2x時，22yx有最大值，最大值為.429) 32(212思路分析要求22yx的最大值，由已知條件很快將22yx變?yōu)橐辉魏瘮?shù),29)3(21)(2xxf然后求極值點的x值，聯(lián)系到02y，這一條件，既快又準地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思

10、維的變通性。思維障礙大部分學生的作法如下：由xyx62322得,32322xxy,29)3(2132322222xxxxyx當3x時，22yx取最大值，最大值為29這種解法由于忽略了02y這一條件，致使計算結(jié)果出現(xiàn)錯誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點， 而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。例3已知二次函數(shù)),0(0)(2acbxaxxf滿足關(guān)系)2()2(xfxf，試比較)5 .0(f與)(f的大小。思路分析由已知條件)2()2(xfxf可知，在與2x左右等距離的點

11、的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線2x對稱，又由已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡捷地解出此題。解（如圖 122）由)2()2(xfxf，知)(xf是以直線2x為對稱軸，開口向上的拋物線它與2x距離越近的點，函數(shù)值越小。x y o 2 圖122 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載)()5.0(25

12、 .02ff思維障礙有些同學對比較)5.0(f與)(f的大小，只想到求出它們的值。 而此題函數(shù))(xf的表達式不確定無法代值，所以無法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙， 做題時要全面看問題， 對每一個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義， 這樣才能順利解題。 提高思維的變通性。（2） 聯(lián)想能力的訓練例4在abc 中，若c 為鈍角，則tgbtga的值(a) 等于 1 (b)小于 1 (c) 大于 1 (d) 不能確定思路分析此題是在abc中確定三角函數(shù)tgbtga的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式tgbtgatgbtgabatg1)(可得下面解法

13、。解c為鈍角，0tgc.在abc中)(baccba且均為銳角，、ba.1. 01,0, 0. 01)()(tgbtgatgbtgatgbtgatgbtgatgbtgabatgbatgtgc即故應(yīng)選擇（ b）思維障礙有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固， 不能準確把握公式的特征， 因而不能很快聯(lián)想到運用基本公式。例5若.2,0)(4)(2zxyzyyxxz證明：思路分析此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - -

14、 - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載次方程的知識來證題。證明當0yx時，等式0)(4)(2zyyxxz可看作是關(guān)于t的一元二次方程0)()()(2zytxztyx有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1 ，根據(jù)韋達定理就有：1yxzy即zxy2若0yx，由已知條件易得,0 xz即zyx,顯然也有zxy2. 例6已知cba、均為正實數(shù) ,滿足關(guān)系式222cba,又n為不

15、小于 3的自然數(shù)，求證 :.nnncba思路分析由條件222cba聯(lián)想到勾股定理 ,cba、可構(gòu)成直角三角形的三邊，進一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明設(shè)cba、所對的角分別為 a、 b、.c 則c 是直角， a為銳角，于是,cos,sincbacaa且, 1cos0,1sin0aa當3n時，有aaaann22coscos,sinsin于是有1cossincossin22aaaann即, 1)()(nncbca從而就有.nnncba思維阻礙由于這是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，一些學生都會想到用數(shù)學歸納法來證明，難以進行數(shù)與形的聯(lián)想， 原因是平時不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學代數(shù)， 學幾

16、何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來。（3） 問題轉(zhuǎn)化的訓練我們所遇見的數(shù)學題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時，不僅要先觀察具體精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載特征，聯(lián)想有關(guān)知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉(zhuǎn)化的訓練是很必要的。1

17、轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目例 11 已知, 1111cbacba求證a、 b 、c中至少有一個等于1。思路分析結(jié)論沒有用數(shù)學式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。a、 b 、c中至少有一個為1，也就是說111cba、中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。證明., 1111abcabacbccba于是.0)() 1()1)(1)(1(cbabcacababccba111cba、中至少有一個為零，即a、 b 、c中至少有一個為 1。思維障礙很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學式子，把

18、陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習這種“翻譯” ，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。例12直線 l 的方程為2px，其中0p；橢圓 e的中心為)0 ,22(po，焦點在 x 軸上，長半軸為 2，短半軸為 1，它的一個頂點為)0,2(pa，問 p 在什么范圍內(nèi)取值時， 橢圓上有四個不同的點， 它們中的每一點到點a 的距離等于該點到直線 l 的距離。思路分析從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應(yīng)在拋物線pxy22（1）是，又從已知條件可得橢圓e 的方程為精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - -

19、 - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載14)22(22ypx（2）因此，問題轉(zhuǎn)化為當方程組（1） 、 （2）有四個不同的實數(shù)解時，求p 的取值范圍。將（ 2）代入（ 1）得：.024)47(22ppxpx（3）確定 p 的范圍，實際上就是求（3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組：0470240)24(4)47(222pppppp在0p的條件下，得.130p本題在解題過程中， 不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題。2逆向思維的訓練逆向思維不是按

20、習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考慮有阻礙時，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例 13 已知函數(shù)nmxxxf22)(，求證) 1 (f、)2(f、)3(f中至少有一個不小于 1. 思路分析反證法被譽為“數(shù)學家最精良的武器之一” ，它也是中學數(shù)學常用的解題方法。當要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載采用反證法。證明（反證法）假設(shè)原命題不成立，即) 1 (f、)2(f、)3(f都小于 1。則17319729131318112811211)3(1)2(1) 1(nmnmnmnmnmnmfff得9211nm，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即)1 (f、)2(f、)3(f中至少有一個不小于1。3一題多解訓練由于每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同， 因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題