定積分換元法和分部積分法ppt課件

1、二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法 第五章 一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), ,)(baCxf 函數(shù))(tx滿足:1)2) 在,上;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都延續(xù)所證等式兩邊被積函數(shù)都延續(xù), 因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個(gè)原函數(shù)是設(shè)xfxF是的原函數(shù) , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(

2、t那么( ),atb( ) t延續(xù)，且闡明闡明: :1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為，時(shí),定理 1 仍成立 .2) 必需留意換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不用代回 .3) 換元公式也可反過來運(yùn)用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt元不變元不變 限不變限不變tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1 1 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 第五章 例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解.sinsin053 dxxxxxxf

3、53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 第五章 例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 第五章 例例4 4 計(jì)算計(jì)算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x,

4、 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt201cossin12sincosttdttt 20cossinln21221 tt.4 第五章 0( ) ( )()aaaf x dxf xfx dx例例5 5：證明：證明證明：證明：,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf000( )()()aaaf x dxxtft dtfx dx 又代入即可。代入即可。 第五章 由此可知由此可知,0( )2( )aaaf x dxf x dx有； ( )f x當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)， ( )f x當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，有( )0.aaf

5、x dx偶倍奇零偶倍奇零奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積 第五章 1021dxx,costx 設(shè)設(shè)tdtdxsin 則則xt012 0 1021dxx 02)sin(sindttt 022sin tdt 0222cos1dtt 02)2cos1(21dtt022sin2121 tt4 第五章 例例7 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21,0,( ).1,0.1 cos

6、xxexf xxx4計(jì)算f(x-2)dx解解12(2)(2),2,(2)1,2.1 cos(2)xxexf xxx1122424-(x-2)1f(x-2)dxdx(x-2)edx1+cos(x-2)所以所以11tan.22-41e2 第五章 解解2 令令x-2=t，有，有14f(x-2)dx12f(t)dt10202-t1dttedt1+cost21011sec (22202-t2t)dtedt202101tan22-tte211tan.22-41e2 第五章 例例8 計(jì)算積分計(jì)算積分 10.(x xa dx a為常數(shù))解解 1當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0a 110011().32x xa dxx xa dx

7、a 2當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)01a10 x xa dx103()()111.323aax xa dxx xa dxaa3當(dāng)當(dāng)1a 時(shí)，10 x xa dx1011().32x xa dxa 證證1設(shè)設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 第五章 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf2設(shè)設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 d

8、xxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf 第五章 例例10 10 證明以下等式：證明以下等式：1122111(1).11xxdtdttt22221111(2)()().aaaaf xdxf xdxxxxx證明證明: :1 1等式兩邊被積函數(shù)一樣，應(yīng)從積分區(qū)間入手，設(shè)等式兩邊被積函數(shù)一樣，應(yīng)從積分區(qū)間入手，設(shè)211,tdtduuu 則于是111222111()111xxdtdutuu11221111.11xxdudtut 第五章 1(2),2xtdxdtt

9、設(shè)則于是222221111()()2aaaaf xdxf tdtxxtt2221111()()2aaaaaf tdtf tdttttt對等式右端第二個(gè)積分設(shè)對等式右端第二個(gè)積分設(shè)2atu22122()()aauaf uduuau 221()aaaf tdttt211()aaf xdxxx所以原式成立所以原式成立. . 第五章 例例11 11 是延續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明是延續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明 是偶函數(shù)；是偶函數(shù)； ( )f t若0( )xf t dt 是延續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)，證明是延續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)，證明 是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。 ( )f t若0( )xf t dt證明：令證明：令 對對 00(

10、 )( ),( )xxF xf t dtFxf t dt則（）0( ),xFxf t dt（）設(shè)設(shè)t=-ut=-u有有00()()()xxFxfudufu du （）0( ),()( )()( ),()( )xF xfuf uFxfu duF xfuf u 若（）若即即證畢證畢. .課堂練習(xí)1._d)(sindd0100ttxxx2. 設(shè)設(shè)( )(1)0,f tf一階連續(xù)可導(dǎo)，,lnd)(31xttfx).(ef求3. 證明證明 2dsin)(xxxxxf是以 為周期的函數(shù).課堂練習(xí)提示課堂練習(xí)提示1.提示提示: 令令, txu_d)(sindd0100ttxxx那么ttxxd)(sin010

11、0ud0 xu100sinx100sin2. 設(shè)設(shè)( )(1)0,f tf一階連續(xù)可導(dǎo)，,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 對知等式兩邊求導(dǎo),xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31思索思索: 假設(shè)改題為xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得331)(xxfexxfef1d)()(得3. 證明證明 證：2dsin)(xxxxxf是以 為周期的函數(shù).2dsin)(xxu

12、uxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 為周期的周期函數(shù). 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu、)(xv在區(qū)間在區(qū)間 ba,上具有連續(xù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有導(dǎo)數(shù)，則有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法例例1 1 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210a

13、rcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 那么那么例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 8 .42ln8 dxxxcossin2140 8 40cosln21 x例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)

14、2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例4 4 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因?yàn)闉閠tsin沒沒有有初初等等形形式式的的原原函函數(shù)數(shù)，無無法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部積積分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21

15、x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例5 設(shè)設(shè)fx在積分區(qū)間上延續(xù)，證明：在積分區(qū)間上延續(xù)，證明：000() ( )( ).xxuxu f u duf t dt du 證明證明1： 用分部積分法用分部積分法000( )( )uxxuf t dtuf u du右端00( )( )xxxf t dtuf u du00( )( )xxxf u duuf u du0() ( )xxu f u du證明證明2 左端左端= 00000000() ( )()( )( ) ()( )xuuxuu xuxuxu df t dtxuf t dtf t dt d xuf t dt du 證

16、明證明3 設(shè)設(shè)000( )() ( )( ).xxuF xxu f u duf t dt du 0000000( )() ( )( ) ( )( )( ) 0,xxuxxxuF xx u f u duf t dt duxf u duuf u duf t dt du 那么( )F xC所以所以 又因又因(0)0,)0,FF x所以，（原等式成立。例例6 6 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1

17、(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmI

18、m于是于是例例7 設(shè)設(shè)111,xyxye dx求解解 1111()()yxxxyxye dxyx e dxxy e dx122().yeeyee例例8 設(shè)設(shè)fx延續(xù)，計(jì)算延續(xù)，計(jì)算(1)()(2)()bbxtaaddf xt dtxt e dtdxdx解解 1令令x+t=u，那么，那么dt=du()( )bb xaa xddf xt dtf u dudxdx()()f bxf ax2 1,xtudtdux令則1001()()xxtudduxt e dtx edudxdxxx2001()xxuudue due dudxx小 結(jié)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 根本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊

19、積邊代限作業(yè)作業(yè)P253 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 7 (4), (9), (10) 一、一、 填空題：填空題：1 1、設(shè)、設(shè) n n 為正奇數(shù)，則為正奇數(shù)，則 20sin xdxn_；2 2、設(shè)、設(shè) n n 為正偶數(shù)，則為正偶數(shù)，則 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；練練 習(xí)習(xí) 題題134 225 3nnnn133 124 2 2nnnn11 2e2114()e 1

20、42 3 3、 01)1cos(sinxdxnxn. . 三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 連連續(xù)續(xù)，,1)(,2)0( ff證證明明：3sin )()(0 xdxxfxf . edxx1)sin(ln. 1解解 eedxxxxxx111)cos(ln)sin(ln edxxe1)cos(ln1sin eedxxxxxxe111)sin(ln()cos(ln1sin edxxee1)sin(ln11cos1sin edxx1)sin(ln edxx1)sin(ln)11cos1sin(21 ee eedxx1ln.2 ee

21、dxx1ln解解 11lnexdx exdx1ln 11lnexx 111edxxx exx1ln edxxx11)1()0()11()10( eeee1111 eeeee22 3 3、 01)1cos(sinxdxnxn. . 解解 原式原式dxxnxxnxxn)sinsincos(cossin01 dxxnxxnxdxnn 001sinsin)(sincossindxxnxxnxdnnn 00sinsin)(sincos1)(cossin1cossin00nxdxnnnxxnn dxxnxn 0sinsin0 三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .解解xxxf2sectan2)( 4)4( f0)0( fdxxfxf)()( 40 )()(40 xdfxf 2401( )2fx22)0(21)4(21ff 8 四、若四、若 ,0)(在在xf 連續(xù)，連續(xù)，,1)(,2)0( ff 證明：證明：3sin )()(0 xdxxf