251等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用

1、2.5等比數(shù)列的前舁項(xiàng)和2.5.1等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用學(xué)情分析師生將共同分析探究等比數(shù)列的前農(nóng)項(xiàng)和公式.公式的推導(dǎo)以教材屮的“錯(cuò)位相減 法”為最基本的方法，“錯(cuò)位相減法”也是一種算法，其設(shè)計(jì)的思路是“消除差別"，從而達(dá)到 化簡(jiǎn)的冃的.教學(xué)重點(diǎn)1等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)；2.等比數(shù)列前«項(xiàng)和公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo).教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影膠片、投彩儀等三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1了解現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的等比數(shù)列求和的計(jì)算問題；2.探索并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；3用方程的思想認(rèn)識(shí)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，利用公式知三求一；4.體會(huì)公式推導(dǎo)

2、過程小的分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想.二、過程與方法1. 采用觀察、思考、類比、歸納、探究得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué)；2. 發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性活動(dòng).三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1. 通過生活屮有趣的實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真 的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力；2. 在探究活動(dòng)中學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)解決問題的方法；3通過對(duì)有關(guān)實(shí)際問題的解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師國(guó)際象棋起源于古代印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者.這個(gè)故事大家聽說過嗎？生知道一些，踴躍發(fā)言.師“請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)格了里放上1顆麥粒，第二個(gè)格了里放上2顆麥粒，第

3、三個(gè)格了里放上4 顆麥粒，以此類推.每一個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒的2倍.直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述耍求：這就是國(guó)際象棋發(fā)明者向國(guó)王捉出的要求.師假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g,按目前世界小麥年度產(chǎn)量約60億噸計(jì).你認(rèn)為國(guó)王能不能 滿足他的要求？生各持己見.動(dòng)筆，列式，計(jì)算.生能列出式子：麥粒的總數(shù)為1+2+22+.+263=?師這是一個(gè)什么樣的問題？你們計(jì)算出結(jié)果了嗎？讓我們一起來分析一下.課件展示：1+2+22+.+2 63=?師我們將各格所放的麥粒數(shù)看成是一個(gè)數(shù)列，那么我們得到的就是i個(gè)等比數(shù)列.它的首項(xiàng) 是1,公比是2,求笫1個(gè)格子到笫64個(gè)格子所放的麥粒

4、數(shù)總和，就是求這個(gè)等比數(shù)列的前 64項(xiàng)的和.現(xiàn)在我們來思考一下這個(gè)式子的計(jì)算方法：記s=l+2+22+23+.+2 63,式中有64項(xiàng),后項(xiàng)與前項(xiàng)的比為公比2,當(dāng)每一項(xiàng)都乘以2后, 中間有62項(xiàng)是對(duì)應(yīng)相等的，作差可以相互抵消.課件展示：s=l+2+22+23+.+263,®2s=2+22+23+. .+263+264,(2)得2s-s=264-1.z64這個(gè)數(shù)很人，超過了 1.84x10®,假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g,那么麥粒的總質(zhì)量超過 t 7 000億噸.而目前世界年度小麥產(chǎn)量約60億噸，因此，國(guó)王不能實(shí)現(xiàn)他的諾言.師國(guó)王不假思索地給國(guó)際象棋發(fā)明者一個(gè)承諾，導(dǎo)致了一個(gè)

5、很不幸的后果的發(fā)生，這都是 他不具備基木的數(shù)學(xué)知識(shí)所造成的.而避免這個(gè)不幸的后果發(fā)生的知識(shí)，正是我們這節(jié)課所 要探究的知識(shí).推進(jìn)新課合作探究師在對(duì)一般形式推導(dǎo)z前，我們先思考一個(gè)特殊的簡(jiǎn)單情形：l+g+/=?師 這個(gè)式子更突出表現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，請(qǐng)同學(xué)們注意觀察.生 觀察、獨(dú)立思考、合作交流、自主探究.師若將上式左邊的每一項(xiàng)乘以公比°就出現(xiàn)了什么樣的結(jié)果呢？生 q+.+g"+/汁".生 每一項(xiàng)就成了它后面相鄰的一項(xiàng).師対上面的問題的解決有什么幫助嗎？師生共同探索：如果記 s“=l+$+.+/；那么 qs“=g+.+q"+q,l+1.要想得到s“,只要將

6、兩式相減,就立即有(lg)s“=lq"師提問學(xué)生如何處理，適時(shí)提醒學(xué)生注意q的取值.生如果獰1,則有s =1一§師當(dāng)然，我們還要考慮一下如果9=1問題是什么樣的結(jié)果.生如果g=l,那么sfl=n.師 上面我們先思考了一個(gè)特姝的簡(jiǎn)單情形，那么，對(duì)于等比數(shù)列的一般情形我們?cè)鯓铀伎迹?課件展示：a i+。2+如+幺“=?教師精講師在上面的特殊簡(jiǎn)單情形解決過程中，蘊(yùn)含著一個(gè)特殊而且重要的處理問題的方法，那就 是“錯(cuò)位相減，消除差別”的方法.我們將這種方法簡(jiǎn)稱為“錯(cuò)位相減法二師在解決等比數(shù)列的一般情形時(shí)，我們還可以使川“錯(cuò)位相減法二如果記 sn=a 1+0+03+ +?！?，那 么 q

7、s“=g 1 g+c/2姑如+如，要想得到s”只耍將兩式相減，就立即有(g)s尸“a”師再次提醒學(xué)生注意q的取值.如果獰1,貝ij有s = 4_%/l q師 上述過程如果我們略加變化一下，述可以得到如下的過程：如果記3“=。|+。姑。+.+幺旳"“，為|(么 qs尸a 1 q+ci+.+aiq'1+dq",要想得到s“,只要將兩式相減,就立即有(lg0f切/如果胖1,則有s”/(t).i師 上述推導(dǎo)過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒冇什么差別，都是用的“錯(cuò)位相減法二形式上，前一個(gè)出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個(gè)基本量：中四個(gè)；后者出現(xiàn)的 是四個(gè)，這將為我們今后運(yùn)用公式求等比數(shù)列

8、的而n項(xiàng)的和提供了選擇的余地.值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果舜1”的前提下得到的.言下z意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列 的公比爐1時(shí)，我們才能用上述公式.師現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們想一想，對(duì)于等比數(shù)列的一般情形，如果q=問題是什么樣的結(jié)果呢？ 生獨(dú)立思考、合作交流.生如果 q=l，s”=nd.師完全正確.如果q=l,那么s“=%正確嗎?怎么解釋?生正確旳=1時(shí)，等比數(shù)列的各項(xiàng)相等，它的前n項(xiàng)的和等于它的任一項(xiàng)的n倍.師 對(duì)了，這就是認(rèn)清了問題的本質(zhì).師 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)還冇其他的方法，下面我們一起再來探討一下：合作探究思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有：玉二魚=幺=.，仏4 a2%再由合比定理，則

9、得6+4+幻+ + =q,4+2+ +從而就有(1q)s,n”q.(以下從略)思路二：由 s“=gi+d2+d3+. +(/“ 得s“=d +d q+d29+ +d 1 q=ci 1 +q(d 1 +他+ +d 1 )=d 】+q(sn-an), 從而得(1 q)s”=d 1 -anq.(以下從略)師 探究中我們們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，s,廠s”二冷是一個(gè)非常有用的關(guān)系，應(yīng)該引起大家足夠的重視.在這個(gè)關(guān)系式中，料的取值應(yīng)該滿足什么條件？生 n>.師對(duì)的，請(qǐng)同學(xué)們今后多多關(guān)注這個(gè)關(guān)系式：如/>!.師 綜合上面的探究過程，我們得出:nci,q = l,或者 < ax -anq q h11 g

10、 '例題剖析【例題1】求下列等比數(shù)列的前8項(xiàng)的和:(2)。=27衛(wèi)9=1243,q<0合作探究 師牛共同分析: 由（1）所給條件，可得嗎=*, q二*，求/i=8時(shí)的和，直接用公式即可.由所給條件，需要從殲占中獲取求和的條件，才能進(jìn)-步求“=8時(shí)的和.而 心幾所以由條件可麗晉點(diǎn)，再由心可得將所得的值代入公式就可以了. 生寫出解答:（1）因?yàn)閍= ,q =,所以當(dāng)并=8時(shí),_255256,可得=%1243x27又由q<0,町得§ =,丄（1!）于是當(dāng)n=8時(shí)，s嚴(yán)2724產(chǎn)27 =空i-（4）81【例題2】某商場(chǎng)今年銷售計(jì)算機(jī)5 000臺(tái)，如果平均每年的銷售量比上一

11、年的銷售量增加10%,那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30 000臺(tái)（結(jié)果保留到個(gè)位）？師 根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列，并明確這是一個(gè)已知s尸30 000求n的問題.生理解題意，從屮發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并找出等比數(shù)列屮的基木罐，列式，計(jì)算.解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列an,其中 ai=5 000,=1+10%=!.l,sn=30 000.于是得到葺護(hù)= 30000,整理得l.ln=1.6,兩邊取對(duì)數(shù)，得n/gl.l=/gl.6,用計(jì)算器算得n =團(tuán)色=丄r（年）.lgl.l 0.041答：大約5年可以使總銷售量達(dá)到30 000臺(tái).練習(xí)：教材第66頁，練習(xí)第1、2、3題.課堂小結(jié)木節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：1等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)；特別是在推導(dǎo)過程中，學(xué)到了“錯(cuò)位相減法二2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.因?yàn)楣缴婕暗降缺葦?shù)列的基本量中的4個(gè)量，一般需耍知 道其中的3個(gè)，才能求出另外一個(gè)量.另外應(yīng)該注意的是，由于公式有兩個(gè)形式，在應(yīng)用中 應(yīng)該根據(jù)題意所給的條件，適當(dāng)選擇運(yùn)用哪一個(gè)公式.在使用等比數(shù)列求和公式時(shí)，注意q的取值是至關(guān)