2022年萬有引力公式,經(jīng)典例題

1、萬有引力定律及其應(yīng)用學(xué)問網(wǎng)絡(luò) :萬有引力定律天體運(yùn)動地球衛(wèi)星一、萬有引力定律 ：（ 1687 年）2fg m1m2r適用于兩個質(zhì)點(diǎn)或勻稱球體；r 為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；g 為萬有引力恒量（ 1798 年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出）g6.671110n22m/ kg二、萬有引力定律的應(yīng)用1. 解題的相關(guān)學(xué)問：（ 1）在高考試題中，應(yīng)用萬有引力定律解題的學(xué)問常集中于兩點(diǎn)：一是天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即g mm22m v m 4rm2r；二是地球?qū)ξ矬w的萬有引力近似等于物體的重力，即r 2r 2t 2g mm mg 從而得出 gmr 2 g；r 22（ 2）圓周運(yùn)動的

2、有關(guān)公式：t爭論：， v=r ；mmv2gm由 g2rm r 2可得： vrr 越大， v 越??；由 g mmr 2m2r可得：gm3r 越大， 越??；r由 g mmr 22m 2rt可得： t2r 3gmr 越大， t 越大；由 g mmr 2ma向可得： a向gm2r 越大， a 向 越??；r點(diǎn)評： 需要說明的是， 萬有引力定律中兩個物體的距離，對于相距很遠(yuǎn)因而可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體就是指兩質(zhì)點(diǎn)的距離；對于未特殊說明的天體，都可認(rèn)為是勻稱球體，就指的是兩個球心的距離；人造衛(wèi)星及天體的運(yùn)動都近似為勻速圓周運(yùn)動；2. 常見題型萬有引力定律的應(yīng)用主要涉及幾個方面：（ 1）測天體的質(zhì)量及密度：（萬有引

3、力全部供應(yīng)向心力）2mm242 r 3由 gmr 2tr得 mgt 2又 m4r 33 r 3得3gt 2 r3【例 1】中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大；現(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為1t=s；問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維護(hù)該星的穩(wěn)固，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解；運(yùn)算時星體可視為勻稱球30體； 引力常數(shù) g=6.6710 11 m 3 /kg.s 2 解析： 設(shè)想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解；設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為 m，半徑為 r，自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小物塊質(zhì)量為m，就有g(shù)mmm2r2m4r3r2t3

4、由以上各式得3gt 2，代入數(shù)據(jù)解得：1.271014 kg/ m3 ；點(diǎn)評： 在應(yīng)用萬有引力定律解題時，常常需要像此題一樣先假設(shè)某處存在一個物體再分析求解是應(yīng)用萬有引力定律解題慣用的一種方法；（ 2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度：g mmr2mg0ggm0r2軌道重力加速度：gmm2gmmghgh2rhrh【例 2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動，已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質(zhì)量 m 與衛(wèi)星的質(zhì)量 m之比 m/m= 81，行星的半徑 r0 與衛(wèi)星的半徑 r 之比 r0/r 3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r 與行星的半徑 r0 之比 r/

5、 r0 60；設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度為g，就在衛(wèi)星表面有g(shù)mm r 2mg經(jīng)過運(yùn)算得出： 衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600；上述結(jié)果是否正確？如正確，列式證明；如有錯誤，求出正確結(jié)果；解析： 題中所列關(guān)于g 的表達(dá)式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度；正確的解法是衛(wèi)星表面gm g行星表面gmr02 mg2=g0即 =r 2r0rmg 0即 g =0.16g0；（ 3）人造衛(wèi)星、宇宙速度：人造衛(wèi)星分類（略）：其中重點(diǎn)明白同步衛(wèi)星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與發(fā)衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)分）【例 3】我國自行研制的“風(fēng)云一號”、“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星運(yùn)

6、行的軌道是不同的；“一號”是極地圓形3軌道衛(wèi)星；其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號”是地球同步衛(wèi)星；兩顆衛(wèi)星相比號離地面較高；號觀看范疇較大；號運(yùn)行速度較大；如某天上午8 點(diǎn)“風(fēng)云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時刻將是；解析： 依據(jù)周期公式 t= 2r知，高度越大，周期越大，就“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星離地面較高；依據(jù)運(yùn)gm行軌道的特點(diǎn)知，“風(fēng)云一號”觀看范疇較大；依據(jù)運(yùn)行速度公式v=gm 知，高度越小，速度越大，就“風(fēng)r云一號” 運(yùn)行速度較大，由于“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的周期是12h，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測，在這種軌道 上運(yùn)動的衛(wèi)星通過任意緯度的地方時時間保持

7、不變；就下一次它通過該城市上空的時刻將是其次天上午8 點(diǎn)；【例 4】可發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，使其圓軌道滿意以下條件（ ）a 、與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓b 、與地球表面上某一經(jīng)度線是共面的同心圓c、與地球表面上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地面是運(yùn)動的d、與地球表面上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地面是靜止的解析： 衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心力由萬有引力供應(yīng) ,且萬有引力始終指向地心，因此衛(wèi)星的軌道不行能與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓，故 a 是錯誤的；由于地球在不停的自轉(zhuǎn)，即使是極地衛(wèi)星的軌道也不行能與任一條經(jīng)度線是共面的同心圓，故 b 是錯誤的；赤道上的衛(wèi)星除

8、通信衛(wèi)星采納地球靜止軌道外， 其它衛(wèi)星相對地球表面都是運(yùn)動的，故 c、d 是正確的；【例 5】偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為 h，要使衛(wèi)星在一天的時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情形下全都拍照下來， 衛(wèi)星在通過赤道上空時， 衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍照地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為 r，地面處的重力加速度為 g，地球自轉(zhuǎn)的周期為 t；n解析： 假如周期是 12 小時，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測；假如周期是 6 小時，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行四次觀測；假如周期是24 小時，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行n 次觀測；設(shè)上星運(yùn)行周期為t1，就有g(shù)mm hr

9、242 hrtm21物體處在地面上時有g(shù)mm 0r 2m0 g解得： t12hrr 3g在一天內(nèi)衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為t ，即在日照條件下有t1t 次經(jīng)過赤道上空， 所以每次攝像機(jī)拍照的赤道t12 r2 r42hr3弧長為 stt1t1，將 t 1 結(jié)果代入得sttg【例 6】在地球（看作質(zhì)量勻稱分布的球體）上空有很多同步衛(wèi)星，下面說法中正確選項(xiàng)（）a 它們的質(zhì)量可能不同b 它們的速度可能不同c它們的向心加速度可能不同d它們離地心的距離可能不同解析： 同步衛(wèi)星繞地球近似作勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由同步衛(wèi)星的地球間的萬有引力供應(yīng)；設(shè)地球的質(zhì)mm42量為 m ，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球半徑為 r，

10、同步衛(wèi)星距離地面的高度為h，由 f 引=f 向， g2=m22（ r+h ）得： h= 3 gmt42-r，可見同步衛(wèi)星離地心的距離是肯定的；rhtmmv2gm由 g=m2r得： v=h,所以同步衛(wèi)星的速度相同；rhrhmm由 g=ma 得： a= gm即同步衛(wèi)星的向心加速度相同；rh 2rh 2由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質(zhì)量可以不同外，其它物理量值都應(yīng)是固定的；所以正確選項(xiàng)為a ；點(diǎn)評：需要特殊提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關(guān)學(xué)問必需引起高度重視，由于在高考試題中多次顯現(xiàn)；所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的且和地球有相同周期、角速度的衛(wèi)星；其運(yùn)行軌道與赤道平面重合；【例 7】地球同步衛(wèi)星

11、到地心的距離r 可由 r 3a 2b 2c求出，已知式中a 的單位是 m， b 的單位是 s， c 的42單位是 m/s2，就：a a 是地球半徑， b 是地球自轉(zhuǎn)的周期， c 是地球表面處的重力加速度；b a 是地球半徑； b 是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動的周期，c 是同步衛(wèi)星的加速度；ca 是赤道周長， b 是地球自轉(zhuǎn)周期，c 是同步衛(wèi)星的加速度d a 是地球半徑， b 是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動的周期，c 是地球表面處的重力加速度；解析： 由萬有引力定律導(dǎo)出人造地球衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)半徑的表達(dá)式，再將其與題給表達(dá)式中各項(xiàng)對比，以明確式中各項(xiàng)的物理意義；ad 正確；【例 8】我國自制新型“長征”運(yùn)載火箭，將模擬載

12、人航天試驗(yàn)飛船“神舟三號”送入預(yù)定軌道，飛船繞地球漫游太空 t 7 天后又順當(dāng)返回地面；飛船在運(yùn)動過程中進(jìn)行了預(yù)定的空間科學(xué)試驗(yàn)，獲得圓滿勝利；設(shè)飛船軌道離地高度為h，地球半徑為r，地面重力加速度為g.就“神舟三號”飛船繞地球正常運(yùn)轉(zhuǎn)多少圈.用給定字母表示 如 h 600 km， r 6400 km，就圈數(shù)為多少 .gmmv2解析： （1）在軌道上rh2m rh2 rv=th 在地球表面：gmm2=mg r聯(lián)立式得： t= 2 rhrhrg故 n= tttrg2 rhrh代人數(shù)據(jù)得： n=105 圈（ 4）雙星問題：【例 9】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期

13、相同的勻速圓周運(yùn)動；現(xiàn)測得兩星中心距離為r，其運(yùn)動周期為 t，求兩星的總質(zhì)量；解析： 設(shè)兩星質(zhì)量分別為m 1 和 m 2，都繞連線上o 點(diǎn)作周期為 t 的圓周運(yùn)動，星球1 和星球 2 到 o 的距離m 1m 2224 2 r2l1分別為 l1 和 l2；由萬有引力定律和牛頓其次定律及幾何條件可得m1 ：gr 2m（1） l 1m 22tgt對 m 2： gm 1m 2r 22 m 2（t）2 l2 m 142r2l 2gt 24兩式相加得 m 1 m 22 r24（l 1 l2）2r3；gt 2gt 2（ 5）有關(guān)航天問題的分析：【例 10】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為h 3. 4105

14、 m 的圓軌道上運(yùn)行了47 小時；求在這段時間內(nèi)它繞行地球多少圈？（地球半徑r=6.37106m，重力加速度 g 9.8m/s2）m ；解析： 用 r 表示飛船圓軌道半徑r=h+ r=6. 71106m 表示地球質(zhì)量， m 表示飛船質(zhì)量，表示飛船繞地球運(yùn)行的角速度，g 表示萬有引力常數(shù)；由萬有引力定律和牛頓定律得gmm r 2m2 r利用 g mr 2gr2 g 得r 32 由于 2 t， t 表示周期；解得2 rrtt，又 n=代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為n=31；rgt【例 11】2003 年 10 月 16 日北京時間 6 時 34 分，中國首位航天員楊利偉乘坐“神舟”五號飛船在內(nèi)蒙古中部地區(qū)

15、勝利著陸， 中國首次載人航天飛行任務(wù)獲得圓滿勝利；中國由此成為世界上繼俄、美之后第三個有才能將航天員送上太空的國家；據(jù)報(bào)道，中國首位航天員楊利偉乘坐的“神舟”五號載人飛船，于北京時間十月十五日九時，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征二號f”型運(yùn)載火箭發(fā)射升空；此后，飛船依據(jù)預(yù)定軌道環(huán)繞地球十四圈，在太空飛行約二十一小時，如其運(yùn)動可近似認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動，飛船距地面高度約為340 千米， 已知萬有引力常量為 g=6.67 × 10 11 牛·米 2/千克 2，地球半徑約為 6400 千米，且地球可視為勻稱球體，就試依據(jù)以上條件估算地球的密度；（結(jié)果保留1 位有效數(shù)學(xué)）解析： 設(shè)地球半

16、么為r，地球質(zhì)量為 m，地球密度為 ；飛船距地面高度為h，運(yùn)行周期為 t，飛船質(zhì)量為m；據(jù)題意題 tt21n3600s=5400s14mm42 mrh飛船沿軌道運(yùn)行時有f引f向即grh 2t 2而 mv4r33由式得：3 r gth3 2 r3代入數(shù)據(jù)解得33.146400103340103 36103 kg/m 36.6710 11540026400103 3（ 6）天體問題為背景的信息賜予題近兩年， 以天體問題為背景的信息賜予題在全國各類高考試卷中頻頻顯現(xiàn)，不僅考查同學(xué)對學(xué)問的把握，而且考查考生從材料、 信息中獵取有用信息以及綜合才能；這類題目一般由兩部分組成：信息賜予部分和問題部分；信息

17、賜予部分是向同學(xué)供應(yīng)解題信息，包括文字表達(dá)、數(shù)據(jù)等，內(nèi)容是物理學(xué)爭論的概念、定律、規(guī)律等，問題部分是環(huán)繞信息賜予部分來綻開，考查同學(xué)能否從信息賜予部分獲得有用信息，以及能否遷移到回答的問題中來；從題目中提煉有效信息是解決此類問題的關(guān)鍵所在；【例 12】 地球質(zhì)量為 m，半徑為 r，自轉(zhuǎn)角速度為；萬有引力恒量為g，假如規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為 0，就質(zhì)量為 m 的物體離地心距離為r 時，具有的萬有引力勢能可表示為epmmg；國際空間站r是迄今世界上最大的航天工程， 它是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個龐大人造天體， 可供宇航員在其上居住和科學(xué)試驗(yàn)； 設(shè)空間站離地面高度為 h，假如雜該空間站

18、上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為 m 的小衛(wèi)星， 使其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，由該衛(wèi)星在離開空間站時必需具有多大的動能？解析： 由 g mmr 2mv 2r得，衛(wèi)星在空間站上動能為1 mv2ek2gmm 2 rh衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為epgmmrh機(jī)械能為 e1eke pgmm 2 rh同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)行時有g(shù) mmr 2m2r故其軌道半徑 r3mg2由上式可得同步衛(wèi)星的機(jī)械能e2g mm2r1 m32g 2 m 22衛(wèi)星運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，故離開航天飛機(jī)的衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)為e2 設(shè)離開航天飛機(jī)時衛(wèi)星的動能為ekx就 ekx e2ep1 m3g 2 m 22g mm2rh【例

19、 13】 1997 年 8 月 26 日在日本舉辦的國際學(xué)術(shù)大會上，德國maxplanck 學(xué)會的一個爭論組宣布了他們的爭論成果：銀河系的中心可能存在大黑洞，他們的依據(jù)是用口徑為3.5m 的天文望遠(yuǎn)鏡對獵戶座中位于銀河系中心鄰近的星體進(jìn)行近六年的觀測所得的數(shù)據(jù)；他們發(fā)覺，距離銀河系中約60 億千米的星體正以2000km/s 的速度環(huán)繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)；依據(jù)上面數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范疇內(nèi)（見提示2）通過運(yùn)算確認(rèn)，假如銀河系中 心的確存在黑洞的話，其最大半徑是多少？（引力常數(shù)是g 6.67× 10 20km3 ·kg 1s 2）解析： 表面上的全部物質(zhì)，即使速度等于光速c 也逃脫

20、不了其引力的作用；此題的題源背景是銀河系中心的黑洞，而題目的“提示”內(nèi)容就給出了此題的基本原理：（ 1）它是一個“密度極大的天體”，表面引力強(qiáng)到“包括光在內(nèi)的全部物質(zhì)都逃脫不了其引力的作用”，（2）運(yùn)算采納“拉普拉斯黑洞模型”；這些描畫當(dāng)代前沿科 學(xué)的詞匯令人耳目一新，讓人感到高深莫測；但是反復(fù)揣摩提示就會看到，這些詞句恰恰是此題的“眼”，我們據(jù)此可建立起“天體環(huán)繞運(yùn)動模型”，且可用光速c 作為“第一宇宙速度”來進(jìn)行運(yùn)算；2設(shè)位于銀河系中心的黑洞質(zhì)量為m ，繞其旋轉(zhuǎn)的星體質(zhì)量為m，星體做勻速圓周運(yùn)動， 就有： g mm =m vr 2r依據(jù)拉普拉斯黑洞模型有：mmc2g=mr2r聯(lián)立上述兩式并

21、代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得：r2.67× 105km三、針對訓(xùn)練1. 利用以下哪組數(shù)據(jù)，可以運(yùn)算出地球質(zhì)量：（） a 已知地球半徑和地面重力加速度b已知衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑和周期c已知月球繞地球作勻速圓周運(yùn)動的周期和月球質(zhì)量d 已知同步衛(wèi)星離地面高度和地球自轉(zhuǎn)周期2. “探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)覺a、b 兩顆天體各有一顆靠近表面飛行的衛(wèi)星，并測得兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下判定錯誤選項(xiàng)a 天體 a、b 表面的重力加速度與它們的半徑成正比b兩顆衛(wèi)星的線速度肯定相等c天體 a、b 的質(zhì)量可能相等d 天體 a、b 的密度肯定相等3. 已知某天體的第一宇宙速度為8 km/s

22、，就高度為該天體半徑的宇宙飛船的運(yùn)行速度為22a 2km/sb 4 km/sc 4km/sd 8 km/s4. 探測器探測到土星外層上有一個環(huán).為了判定它是土星的一部分仍是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度 v 與該層到土星中心的距離r 之間的關(guān)系來確定a 如 v r，就該環(huán)是土星的一部分b如 v2r，就該環(huán)是土星的衛(wèi)星群c如 v1/r，就該環(huán)是土星的一部分d 如 v21/ r，就該環(huán)是土星的衛(wèi)星群52002 年 12 月 30 日凌晨，我國的“神舟”四號飛船在酒泉載人航天發(fā)射場發(fā)射升空，按預(yù)定方案在太空飛行了 6 天零 18 個小時，環(huán)繞地球108 圈后，在內(nèi)蒙古中部地區(qū)精確著陸，圓滿完

23、成了空間科學(xué)和技術(shù)試驗(yàn)任務(wù)，為最終實(shí)現(xiàn)載人飛行奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).如地球的質(zhì)量、 半徑和引力常量 g 均已知， 依據(jù)以上數(shù)據(jù)可估算出 “神舟”四號飛船的a. 離地高度b.環(huán)繞速度c.發(fā)射速度d.所受的向心力6航天技術(shù)的不斷進(jìn)展，為人類探究宇宙制造了條件.1998 年 1 月發(fā)射的“月球勘探者號”空間探測器，運(yùn)用最新科技手段對月球進(jìn)行近距離勘探，在月球重力分布、磁場分布及元素測定等方面取得最新成果.探測器在一些環(huán)形山中心發(fā)覺了質(zhì)量密集區(qū)，當(dāng)飛越這些重力反常區(qū)域時a 探測器受到的月球?qū)λ娜f有引力將變大b探測器運(yùn)行的軌道半徑將變大 c探測器飛行的速率將變大d 探測器飛行的速率將變小7（ 1998 年全

24、國卷）宇航員站在某一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球；經(jīng)過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為l；如拋出時的初速度增大到2 倍，就拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為3 l；已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為r，萬有引力常數(shù)為g；求該星球的質(zhì)量m；8我國自制新型“長征”運(yùn)載火箭，將模擬載人航天試驗(yàn)飛船“神舟三號”送入預(yù)定軌道，飛船繞地球漫游太空 t 7 天后又順當(dāng)返回地面 .飛船在運(yùn)動過程中進(jìn)行了預(yù)定的空間科學(xué)試驗(yàn)，獲得圓滿勝利；（ 1）設(shè)飛船軌道離地高度為h，地球半徑為 r，地面重力加速度為g.就“神舟三號”飛船繞地球正常運(yùn)轉(zhuǎn)多少圈 .用給定字母表示 .（ 2）如 h 600 km， r 6400 km，就圈數(shù)為多少 .9（ 2004 年全國理綜第 23 題， 16 分）在士氣號火星探測器著陸的最終階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來；假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，