高三數(shù)學培優(yōu)補差輔導專題講座-三角函數(shù)單元易錯題分析與練習

1、第三講：三角函數(shù)單元部分易錯題解析1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線圍著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形；按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，稱它形成一個零角；射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊；2、象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x 軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角；假如角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限；3.終邊相同的角的表示：（ 1）終邊與終邊相同 的終邊在終邊所在射線上2kkz ， 注意：相等的角的終邊肯定相同，終邊相同的角不肯定相等. 如與角1

2、825的終邊相同，且5肯定值最小的角的度數(shù)是，合弧度；（答：25 ；36（ 2）終邊與終邊共線 的終邊在終邊所在直線上）k kz .（ 3）終邊與終邊關(guān)于 x 軸對稱2k kz .（ 4）終邊與終邊關(guān)于y 軸對稱2k（ 5）終邊與終邊關(guān)于原點對稱2kkz .kz .（ 6）終邊在 x 軸上的角可表示為：k,kz ；終邊在y 軸上的角可表示為：k, kz ；終邊在坐標軸上的角可表示為：2k, kz . 如的終邊與的26終邊關(guān)于直線yx 對稱，就 ；（答： 2k, kz ）34、與的終邊關(guān)系 ：由“兩等分各象限、一二三四”確定. 如如是其次象限角，2就是第 象限角（答：一、三）25. 弧長公式 ：

3、 l| r ，扇形面積公式：s1 lr1 | r2 ，1 弧度 1rad57.3 .22如已知扇形aob 的周長是6cm，該扇形的中心角是1 弧度， 求該扇形的面積； （答： 2 cm2 ）6、任意角的三角函數(shù)的定義：設是任意一個角， p x, y 是的終邊上的任意一點 （異于 原 點 ）， 它 與 原 點 的 距 離 是rx2y20， 那 么 siny ,cosx，rrtany,x0x， cotx y yr0 ， secxx0 ， cscry0 y；三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點p 的位置無關(guān)； 如（ 1）已知角的終邊經(jīng)過點p5， 12 ，就sincos的 值 為 ；（ 答 ：71

4、3）；（ 2 ） 設是 第三 、 四象 限角 ，sin2m33，就 m 的取值范疇是 （答：（ 1， ）；（ 3）如 | sin|cos0 ，4m2sin| cos|試判定cotsintancos 的符號（答：負）y7. 三角函數(shù)線的特點是：正弦線 m“p 站在 x 軸上 起點在 x軸上 ”、余弦線 om“躺在 x 軸上 起點是原點 ”、正切線 at“站在點 a1,0 處 起點是 a ” . 三角函數(shù)線的重要應用是比較三bs tpomax角函數(shù)值的大小和解三角不等式；如（ 1） 如0 ，就8sin,cos, tan的大小關(guān)系為 答： tansincos ；（ 2） 如為銳角，就,sin, ta

5、n的 大 小 關(guān) 系 為（ 答 ： s i nt a n）；（ 3 ） 函 數(shù)2y12 c o xsl g2s i nx3 的定義域是 （ 答：2 k,2 k33 kz ）8. 特殊角的三角函數(shù)值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin122010 1626232244cos3210 106262122244tan313002-32+33cot313002+32-332222229. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（ 1）平方關(guān)系：sincos1,1tansec,1cotcsc（ 2）

6、倒數(shù)關(guān)系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（ 3）商數(shù)關(guān)系：tansin,cotcoscossin同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應用是，已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值； 在運用平方關(guān)系解題時，要依據(jù)已知角的范疇和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范疇， 以便進行定號； 在詳細求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先依據(jù)角的范疇確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的肯定值； 如（ 1）函數(shù) ysintancoscot的值的符號為 （答：大于0）；（ 2）如 02x2，就使1sin 2 2xcos2x 成立的 x 的取值范

7、疇是 （答： 0,4 3,4 ）；（ 3） 已知 sinm3 ， cos m542 m m52 ，就 tan （答：5tan）；（ 4 ） 已知1 ，就sin3cos ；sin 2sincos2 ；12tan1sincos （答：513 ）；（ 5） 已知sin 200a ，就tan160a等于a 、ab、1a2352c、1a a1a 2d、a（答： b）；（ 6）已知f cos x1 a2cos3 x ，就 f sin 30 的值為 （答： 1）；10. 三角函數(shù)誘導公式（k） 的本質(zhì)是：奇變偶不變（對k 而言，指k 取奇數(shù)或2偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）. 誘導公式的

8、應用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2k+, 02； 2轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)； 如（ 1） cos 9tan7sin 2123的值為 （答：）；（2）4623已 知 sin 5404 ， 就5c o s 2 7 0 ， 如為 第 二 象 限 角 ， 就sin180cos360 243 ；（答：；）tan180510011、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：令sinsincoscossincoscoscossinsinsin 22sincos22令cos2cossintantantan2cos2cos21+cos2112sin 21tantan2tan 22

9、tan1tan21sin 21cos2222如（ 1）以下各式中， 值為的是a 、 sin152cos15b、cossin1212tan 22.5c、1tan 2 22.5d、1cos302（答： c）；（ 2）命題 p： tan ab 0 ，命題q： tan atan b0 ，就 p 是 q 的a 、充要條件b、充分不必要條件c、必要不 充 分 條 件d 、 既 不 充 分 也 不 必 要 條 件 （ 答 ： c ）； （ 3 ） 已 知s i n c o sc o s 3 ，那s么i ncos 25的值為 （答：7）；（ 4 ）2513的值是 （答： 4）；5 已知tan110 0a ，求

10、tan 500 的值（用a 表sin10sin 80a31a 2示）甲求得的結(jié)果是13a，乙求得的結(jié)果是，對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的2 a判定是 （答：甲、乙都對）12.三角函數(shù)的化簡、運算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)；即首 先觀看角與角之間的關(guān)系，留意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀看代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點；基本的技巧有:（ 1）巧變角 （已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如， 2 ，2 ，22，222等）， 如（ 1）已知 tan2， tan13，那么 tan 的

11、值是 （答：）；（ 2）已知 0544，且 cos41，sin222，求 cos的值（答：4907292）；（ 3） 已知,為銳角， sin29x,cos23y ， cos3 ，就 y 與 x 的函5數(shù)關(guān)系為 （答： y31x24 x3x1 ）5552 三角函數(shù)名互化 切割化弦 ， 如（ 1） 求值 sin50 13 tan10 （答： 1）；（ 2）已知 sincos1,tan2 ，求 tan2 的值（答：1 ）1cos 238(3) 公式變形使用（ tantantan1tantan；如（ 1） 已知 a 、b為銳角，且滿意tana tan btan atan b1 ，就 cos ab （答

12、：22）；2設abc 中， tan atan b三角形（答：等邊）33 tan atan b ，sin acos a3，就此三角形是 4(4) 三角函數(shù)次數(shù)的降升 降冪公式：cos21cos 22， sin 21cos 22與升冪公式：21cos 22cos2， 1cos22sin ；如1 如, 32 ，化簡1111 cos22222為 （答： sin）；（ 2）函數(shù)2f x 5 sin xcos x53cos2 x53 xr 的單調(diào)遞增區(qū)間為 （答： k,k5 kz ）21212(5) 式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化 對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同 ； 如（ 1） tancossinsintancotcsc（答

13、： sin）；（2） 求證：1sin12sin 21tan 21tan22；（ 3）化簡：2cos4 x2tan2cos2 xxsin 2 12（答： 1 cos 2x ）x244(6) 常值變換主要指“1”的變換 （ 1sin 2 xcos2 xsec2 xtan2 xtan xcot xtan 4sin 2等），如已知 tan2 ，求 sin2sincos3cos23（答：）.5(7) 正余弦“ 三兄妹 sin xcosx、sin xcosx ”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二”， 如（ 1）t 21如sin xcos xt ，就 sincxosx （答： ，特殊提示 ：這里 t22,2 ；（2） 如

14、0,sincos1 ， 求 tan的值；（答：47）；（ 3） 已知23sin 22sin 21tank ，試用 k 表示 sincos的值（答：1k ） ；4213、幫助角公式中幫助角的確定： a sin xb cos xa 2b2 sinx其中角所在的象限由a, b 的符號確定，角的值由 tanba確定 在求最值、化簡時起著重要作用；如（ 1）如方程 sin x3 cosxc 有實數(shù)解， 就 c 的取值范疇是 （.答： 2,2 ）；（2） 當函數(shù) y2 cos x3 sin x 取得最大值時，tan x 的值是 答：3 ；（ 3） 假如2fxsin x312cosx64 sin 2 是奇函

15、數(shù)，就tan= 答 ： 2 ；（ 4 ） 求 值 ：20 答： 32sin 2 20cos 2 2014、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)ysinx 和余弦函數(shù)ycos x 圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別為0，, 3, 222的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象；15、正弦函數(shù)ysinx xr 、余弦函數(shù)ycos xxr 的性質(zhì) ：（ 1）定義域 ：都是 r；（ 2）值域 ：都是1,1 ， 對 ysinx ，當 x2kkz時， y 取最大值1；當2x2k3kz時， y 取最小值 1；對 y 2cos x ，當 x2kkz時， y 取最大值

16、 1，當 x2kkz時， y 取最小值 1；如（ 1）如函數(shù)yab sin3 x 6的最大值為3 ，最小值為21，就 a ， b（答： a21 , b21 或 b1 ）；（ 2）函數(shù)f xsin x3 cosx（ x, ）的值域是 （答： 1, 2 ）；（ 3）如 2，22就 ycos6 sin的最大值和最小值分別是 、 （答： 7 ； 5）；（ 4 ） 函數(shù)f x2 cos xsin x3 sin23xsinx cos x 的最小值是 ，此時 x （答： 2；kkz ）；（ 5）己知 sin12cos1，求 t222sincos的變化范疇 （答：0,1 ）；（ 6）如 sin222 sin

17、22cos，求 ysinsin的最大、最小值（答：ymax1 ， ymin222 ）； 特殊提示 ：在解含有正余弦函數(shù)的問題時，你深化挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？（ 3）周期性 ： ysin x 、ycos x 的最小正周期都是2；f xasinx和f xa cosx 的 最 小 正 周 期 都 是 t2； 如 1如|f xsinx ， 就3f 1f 2 f 3 f 2 00 （答： 0）； 2函數(shù)f xcos4x2sinx cos xsin 4x 的最小正周期為 （ 答：）；3設函數(shù)f x2sinx 2 ，如對任意 xr5都有 f x1 f xf x2 成立，就| x1x2| 的最小值為 （

18、答： 2）（ 4 ） 奇 偶 性 與 對 稱 性 ： 正 弦 函 數(shù) ysinxxr是 奇 函 數(shù) ， 對 稱 中 心 是k,0kz，對稱軸是直線xkkz；余弦函數(shù)y2cos xxr 是偶函數(shù)，對稱中心是k,0kz，對稱軸是直線xkkz （正 余弦型函數(shù)的對稱軸2為過最高點或最低點且垂直于x 軸的直線，對稱中心為圖象與x 軸的交點） ；如（ 1） 函數(shù)ysin52 x的 奇 偶 性 是 （ 答 ： 偶 函 數(shù) ）； （ 2 ） 已 知 函 數(shù)2f x axbsin 3 x1 a,b 為常數(shù)），且f 5 7 ，就 f 5 （答： 5）；（ 3）函 數(shù) y2 c o xs s i xnc o sx

19、 的 圖 象 的 對 稱 中 心 和 對 稱 軸 分 別 是 、kk （ 答 ：,1 kz 、28x kz ）；（ 4 ） 已 知28fxs i n x 3c 為o 偶s 函數(shù)x，求 的值；（答：k kz ） 6（ 5 ） 單 調(diào) 性 ：ysin x在2k,2 k2kz上 單 調(diào) 遞 增 ， 在22 k,2 k3kz單調(diào)遞減； ycos x 在 2k,2 kkz上單調(diào)遞減，22在 2k,2 k2 kz上單調(diào)遞增； 特殊提示 ，別忘了 kz ！16、形如ya sinx 的函數(shù)：（ 1）幾個物理量： a 振幅；f相；1 頻率（周期的倒數(shù)） ；x相位；初t（ 2）函數(shù)ya sinx 表達式的確定：a

20、 由最值確定；2y由 周期 確 定 ；由圖 象 上的 特殊 點 確定 ，如329f xa sinx a0,0 ，| 的圖象如下列圖，就x2-2f x （答：f x2sin 15 x ）；23 題 圖（ 3）函數(shù)323ya sinx 圖象的畫法 ：“五點法”設xx， 令 x 0，, 222求出相應的x 值，運算得出五點的坐標，描點后得出圖象；圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法；（ 4）函數(shù)ya sinxk 的圖象與ysinx 圖象間的關(guān)系：函數(shù) ysin x 的圖象縱坐標不變，橫坐標向左（>0）或向右（<0）平移 | 個單位得ysinx的圖象；函數(shù)ysinx圖象的縱坐標不變，橫坐標變

21、為原先的1 ，得到函數(shù)ysinx的圖象；函數(shù)ysinx圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵鹊腶 倍，得到函數(shù)ya sinx 的圖象；函數(shù)ya sinx 圖象的橫坐標不變，縱坐標向上（k0 ）或向下（k0 ），得到y(tǒng)a sinxk 的圖象；要 特殊留意 ，如由 ysinx 得 到 ysinx的圖象，就向左或向右平移應平移| 個單位， 如（ 1） 函數(shù) y2sin2 x1 的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到4ysinx 的圖象？（答：y2sin2 x1 向上平移1 個單位得y42sin2 x 的圖象， 再向左平移個單位48得 y2sin 2 x 的圖象，橫坐標擴大到原先的2 倍得 y12sinx 的圖象，最

22、終將縱坐標縮小x到原先的即得 y2sinx 的圖象）； 2要得到函數(shù)ycos 的圖象，只需把函數(shù) 24ysin x 2的 圖 象 向 平移 個單位（答：左；）；（3）將函數(shù) y22sin2 x71 圖3像，按向量 a 平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，這樣的向量是否唯獨？如唯獨，求出 a ；如不唯獨，求出模最小的向量（答：存在但不唯獨，模最小的向量a,1 ）；（ 4） 如6函數(shù) fxcos xsin xx0, 2的圖象與直線yk 有且僅有四個不同的交點，就 k的取值范疇是（答： 1,2 ）（ 5）爭論函數(shù)ya sinx 性質(zhì)的方法：類比于爭論ysinx 的性質(zhì) ，只需將ya sinx 中的x看

23、成 ysinx 中的 x ，但在 求ya sinx 的單調(diào)區(qū)間時，要特殊留意a 和的符號， 通過誘導公式先將化正；如（ 1）函數(shù)ysin2 x 3的遞減區(qū)間是 （答： k5,k kz ）；（ 2）xylogcos 的12121234遞 減 區(qū) 間 是 （ 答 ： 6k3,6k3 kz ）；（ 3 ） 設 函 數(shù)f xa sinx a0,0,244 的圖象關(guān)于直線x22對稱，它的周期是，3就a 、f x的圖象過點10,2b 、 f x在 區(qū) 間52, 123上 是 減 函 數(shù)c 、f x的圖象的一個對稱中心是 512,0d 、 fx 的最大值是a （答： c）；（ 4） 對于函數(shù)fx2sin2x

24、給出以下結(jié)論：圖象關(guān)于原點成中心對稱；圖象關(guān)于直線3x成軸對稱； 圖象可由函數(shù)y 122sin 2 x 的圖像向左平移個單位得到； 圖像向左3平移個單位， 即得到函數(shù)y 122cos 2 x 的圖像； 其中正確結(jié)論是 （答： ）；（ 5）已知函數(shù)f x2sinx 圖象與直線y1 的交點中，距離最近兩點間的距離為，3那么此函數(shù)的周期是 （答：）17、正切函數(shù)ytan x 的圖象和性質(zhì) ：（ 1）定義域： x | x的定義域了嗎？k, kz 2；遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時，你留意到正切函數(shù)（ 2）值域是r，在上面定義域上無最大值也無最小值；（ 3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線ya 的兩個相鄰交

25、點之間的距離是一個周期；肯定值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加肯定值或平方，其周期性是：弦減半、 切不變 既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定；如 ysinx, y21sin x的周期都是, 但 ysin xcosx 的周期為，而 y| 2sin3 x|, y| 2sin3 x2 |， y| tan x | 的周2期不變；626（ 4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是k,02kz， 特殊提示 ：正 余 切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與x 軸的交點， 另一類是漸近線與x 軸的交點， 但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處；（

26、 5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間k,kkz內(nèi)都是增函數(shù)；但要注22意在整個定義域上不具有單調(diào)性；如下圖：三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)yy=y ataantanx+x y= asainsinx+xx3yoxx4x=tx1x=x2yox3x4xx=x1x=x2鄰中心軸相距4鄰中心 |x3-x4|=t/2鄰軸 |x1-x2|=t/2鄰中心 |x3-x4|= t/2鄰漸近線 |x1 -x2 |=t無對稱軸無窮對稱中心 :由y=0確定無窮對稱軸 :由y=a或- a確定無窮對稱中心 :由y= 0或 y無意義確定任意一條 y軸的垂線與正切函數(shù)圖象都相交 ,且相鄰兩交點的距離為一個周期！18. 三角

27、形中的有關(guān)公式：(1) 內(nèi)角和定理 ：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能遺忘！ 任意兩角和 與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余. 銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2) 正弦定理 ：abc2r r 為三角形外接圓的半徑. 留意 ：正弦sin asin bsinc定理的一些變式：ciabcsin asin bsin c ； iisin aa ,sin b 2 rb ,sin c 2r；iiia2r2rsin a, b2rsin b, b2rsin c ；已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，如

28、運用正弦定理，就務必留意可能有兩解.222(3) 余弦定理 ： a2三角形的外形 .b2c22bc cosa,cos abca 2bc等，常選用余弦定理鑒定(4) 面積公式 ：s1 ah1 absin c1 r abc（其中 r 為三角形內(nèi)切圓半徑）.a222如abc 中，如三角形）；sin2acos2 bcos2a sin2 bsin2c ，判定abc 的外形（答：直角特殊提示：（ 1 ）求解三角形中的問題時，肯定要留意abc這個特殊性：abc , sin ab sincabc,sincos22；（ 2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化；如（ 1）a

29、bc 中， a 、b 的對邊分別是 a、 b ，且 a=60 , a6, b4 ，那么滿意條件的abca 、 有一個解b 、有兩個解c、無解d、不能確定（答：c）；（ 2）在abc 中， a b 是 sin asin b成立的 條件（答：充要）；（ 3）在abc 中， 1tan a 1tan b 2 ，就 log sin2 c （ 答 ：12）； 4 在abc 中 ， a , b , c分 別 是 角a 、 b 、 c所 對 的 邊 ， 如 abc sin asin bsinc 3a sin b ，就c （答： 60 ）；（5）在abc 中，a2b2c2如其面積s，就c = （答： 30 ）；

30、（ 6）在abc 中， a 4360 , b1 ，這個三角形的面積為3 ，就abc 外接圓的直徑是 （答： 2393）；（ 7）在 abc中， a、b、c 是角 a、b 、c 的對邊， a3,cos a1 , 就cos2bc =， b2c2 的最大值為（答：1 ; 93232）；（ 8 ） 在 abc中ab=1 ， bc=2 ，就角c的取值范疇是（答：0c）；（ 9 ） 設o是銳角三角形abc的外心，如6c75，且aob ,boc ,coa 的面積滿意關(guān)系式s aobs boc3s coa ，求a （答： 45 ）19. 反三角函數(shù) ：（ 1）反三角函數(shù)的定義（以反正弦函數(shù)為例）： arcsi

31、n a 表示一個角，這個角的正弦值為a ,且這個角在,內(nèi) 1 22a1 ；2 反正弦 arcsin x 、反余弦arccosx 、反正切 arctan x 的取值范疇分別是, 0, 22, , .22在用反三角表示兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角、直線的傾斜角、l1 到 l 2 的角、l1 與 l 2 的夾角以及兩向量的夾角時，你是否留意到了它們的范疇？0,0,2,0,， 0,2， 0,0,0, 220、求角的方法 ：先確定角的范疇，再求出關(guān)于此角的某一個三角函數(shù)（要留意挑選，其標準有二：一是此三角函數(shù)在角的范疇內(nèi)具有單調(diào)性；二是依據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）；如（ 1）如

32、,0, ，且 tan、 tan是方程x25 x60 的兩根，就求的值 （答： 34）；（ 2）abc 中， 3sin a4cos b6,4sin b3cos a1 ，就c （ 答 ：）；（ 3 ） 如 02且3sinsinsin0 ，coscoscos例題選講：0 ，求的值（答：2） .3例題 1已知角的終邊上一點的坐標為（ sin 23, cos 23），就角的最小值為 （）；52511a、b、c、d、6336正解： dtancos 233 ,5或3611，而 sin 2 630 cos 203所以，角的終邊在第四象限，所以選d，116誤會：tantan 2,32, 選 b3例題 2a ，b

33、，c 是abc 的三個內(nèi)角，且tana, tan b 是方程3x 25 x10 的兩個實數(shù)根，就abc 是（）a、鈍角三角形b、銳角三角形c、等腰三角形d、等邊三角形正解： a 由韋達定理得：tan a3tan b5tanabtan a5tan b35tan a tan b131tan a tan b223在abc 中，tan ctanabtan ab502c 是鈍角，abc 是鈍角三角形；例題 3已知方程 x24 ax3a10 （ a 為大于 1 的常數(shù)）的兩根為tan， tan，且、,，就22tan的值是 .2錯誤分析：忽視了隱含限制tan, tan是方程 x24ax3a10 的兩個負根，

34、從而導致錯誤 .正確解法：a1t a nt a n4 a0 ， tantan3a1otan, tan是方程 x24ax3a10 的兩個負根又,22,0即,0222由 tan=tantan=4a= 4 可得tan2.1tantan13a132答案 : -2 .例題 4函數(shù) f xa sin xb 的最大值為3，最小值為2，就 a ， b ；12ab3a解： 如 a0就ab2b52如 a0就1ab3a2ab2b52說明： 此題簡單誤認為a0 ，而漏掉一種情形；這里提示我們考慮問題要周全；例題 5函數(shù) fx=sin x cos x的值域為 ；1sin xcos x錯解：2121,2222錯因：令 t

35、sin xcos x后忽視 t1,從而g t t112正解：21 ,11,212222例題 6如 2sin 2sin 23sin,就sin 2sin 2的取值范疇是錯解： 4,2錯因：由sin2sin2sin 23sin1,1 其中1sin1 ，得錯誤結(jié)果；由0sin 23sin2sin 21得 sin1 或 0sin1結(jié)合（ 1）式得正確結(jié)果；正解：0 ,25 24例題 7已知，求 ycos6 sin的最小值及最大值；解：22y2sin 26sin12sin3 211令 tsin就 |t|1y2 t223 21122而對稱軸為t32當 t1 時， ymax7 ；當 t1 時， ymin5說明

36、： 此題易認為sin3時，ym i n211，最大值不存在，這是忽視了條件2|sin|1， 32不在正弦函數(shù)的值域之內(nèi)；例題 8求函數(shù)f x2 tan x1 tan2 x的最小正周期；解： 函數(shù)f x2 tan x21tanx的定義域要滿意兩個條件；t a nx 要有意義且tan2 x10xk，且 xk224kz 當原函數(shù)式變?yōu)閒 xtan 2 x 時，此時定義域為xk24kz 明顯作了這樣的變換之后，定義域擴大了，兩式并不等價 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？第一作出ytan 2 x 的圖象：y0x而原函數(shù)的圖象與ytan 2 x 的圖象大致相同只是在上圖中去掉xk kz 所對應的點2

37、從去掉的幾個零值點看，原函數(shù)的周期應為說明： 此題極易由ytan 2x 的周期是而得出原函數(shù)的周期也是，這是錯誤的，緣由22正如上所述； 那么是不是說非等價變換周期就不同呢？也不肯定，如 1993 年高考題：函數(shù) y1tan21tan22 x 的最小正周期是（）；a.b.c.d.2 x422；此題就可以由ycos4 x 的周期為而得原函數(shù)的周期也是；但這個解法22并不嚴密，最好是先求定義域，再畫出圖象，通過空點來觀看，從而求得周期；例題 9求函數(shù)f xsin 2 x2 2 cos4x3 的值域答案：原函數(shù)可化為f xsin 2 x2cos xsin x3,設 cos xsin xt,t2,2

38、就 sin 2 x1t 2就 f xt 22t4t1 25當t1時, f x max5 ，當 t2時,f x min222錯解： ,5 錯因：不考慮換元后新元t 的范疇；例題 10已知函數(shù)f xsinx0,0 是 r 上的偶函數(shù)， 其圖像關(guān)于點3m ,0 對稱，且在區(qū)間0，4上是單調(diào)函數(shù)，求和的值；2正解： 由f x 是偶函數(shù)，得f xf x故 sinxsinx ,cossinxcossinx對任意 x 都成立，且0,cos0依題設 0，233由 f x 的圖像關(guān)于點m 對稱，得f xf x44取 x0得f 34f 3, 4f 304f 3 4sin 3x4cos32x ,4cos 3x 04又0 ，得 3x4k, k20,1,2.2 2k31, k0,1,2.當 k0 時，2 , f3 xsin 2 x3 在 0,2 上是減函數(shù)；2當 k1 時，2, fxsin 2 x 在 0,2 上是減函數(shù)；2當 k 2 時，10 ,3f xsinx 在 0,2 上不是單調(diào)函數(shù)；2所以，綜合得2或2 ；3誤會： 常見錯誤是未對k 進行爭論，最終只得一解；對題目條件在區(qū)間基礎練習題 0, 上是單調(diào)函數(shù)，不進行