周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第七節(jié)第七節(jié) 周期為周期為2l2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 定理:設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件,則10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxf它的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為:,為其中系數(shù)nnba,.)2, 1 ,0(cos)(1ndxlxnxflalln,.)2, 1(sin)(1ndxlxnxflblln高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí):,.)2 , 1(sin)(20ndxlxnxflbln1sin)(nnlxnbxf其中

2、系數(shù)bn為:當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí):10cos2)(nnlxnaaxf其中系數(shù)an為:,.)2 , 1 , 0(cos)(20ndxlxnxflaln高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系證明說明:,lxz只要令)(:,lxzlxl換成把)()()(zflzfxf,2)(滿足狄里克雷條件的周期函數(shù)為周期為zf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系:)(展開成傅立葉級(jí)數(shù)把zf10)sincos(2)(nnnnzbnzaazfnzdzzfbnzdzzfannsin)(1,cos)(1其中于是有并注意到在上述的式中令),()(.xfzfl

3、xz10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxfllnllndxlxnxflbdxlxnxflasin)(1cos)(1而且高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例1 設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù),它在-2,2)上表達(dá)式為:f(x)=0, -2x0k. 0 x2(常數(shù)k0),把f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù).解: 此時(shí)l=2)0(02sin2cos212020nxnnkdxxnkankkdxdxa2002021021高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系20202cos2sin21xnnkdxxnkbn=,.6 , 4 ,

4、2, 0,.5 , 3 , 1,2nnnk)cos1 (nnk高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系.)25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf0 xyk2-2其圖形如下,.)4, 2, 0,(xx2,.4, 2, 0kx收斂于在高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 一一 定義在區(qū)間定義在區(qū)間-l,l-l,l上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開 把函數(shù)f(x)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的步驟是: 1.確定函數(shù)f(x)的周期2l,以及它在-l,l上的奇偶性,或者根據(jù)題意確定對(duì)0,l上函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓還是偶延

5、拓.2.選定相應(yīng)公式準(zhǔn)確計(jì)算f(x)的傅里葉系數(shù)an,n=0,1,2,.與bn,n=1,2,并寫出相應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù). 3.根據(jù)狄里克雷定理寫出所得到的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系給定函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開應(yīng)注意如下幾點(diǎn): (1)準(zhǔn)確確定函數(shù)f(x)的周期,與判斷它的奇偶性,對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算是很重要的. 由定積分性質(zhì)可知,若f(x)在-l,l上是奇函數(shù)或偶函數(shù),則計(jì)算傅里葉系數(shù)就簡單些.它只是正弦級(jí)數(shù),或者是余弦級(jí)數(shù).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系如果函數(shù)f(x)在-l,l上沒有奇,偶

6、性特性,則可經(jīng)過(2)準(zhǔn)確掌握函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的坐標(biāo)變換由函數(shù)f(x)構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù)f(x),然后把f(x)展開為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù),再經(jīng)過逆變換得到原來函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù).公式高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系,.)2,1 ,0(cos)(1ndxlxnxflalln設(shè)函數(shù)f(x)在-l,l上可積,則f(x)的傅里葉系數(shù)以這些系數(shù)組成的函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxf,.)2,1(sin)(1ndxlxnxflblln高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科

7、技學(xué)院數(shù)理系對(duì)于以2l為周期的函數(shù)g(x),由定積分的周期性性laalldxxgdxxg2)()(常常把以2l為周期的周期函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)質(zhì)可知,不論a是什么值,都有中積分化為從0到2l的積分.這樣使積分簡單.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(3)不要把函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)與f(x)(xs)(xfx為f(x)的連續(xù)點(diǎn)x為f(x)的第一類間斷點(diǎn)x為區(qū)間的邊界點(diǎn)本身相混同.當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間-l,l上滿足狄里克雷定理?xiàng)l件時(shí),它的傅里葉級(jí)數(shù)必定收斂,且其和函數(shù)s(x)0() 0(21xfxf)0() 0(21lflf高等數(shù)學(xué)電子教案

8、高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系因?yàn)楦道锶~級(jí)數(shù)通項(xiàng)的周期性,所以傅里葉級(jí)數(shù)必能以2l為周期延拓到-l,l之外,使其對(duì)任何實(shí)數(shù)x都收斂,因此它的和函數(shù)s(x)也是定義在實(shí)數(shù)軸上以2l為周期的函數(shù),即s(x+2l)=s(x).如果f(x)是定義在-l,l上,則-l,l之外的f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)與函數(shù)f(x)無關(guān).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(4)利用給定函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式可以求某些數(shù)項(xiàng)例),0(sin)(),0(, 0)(xxxfxxf設(shè)級(jí)數(shù)的和值.在某個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)等于其和函數(shù)的等式中,令變量x取某個(gè)特定值

9、,即得到所求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和值.)().()2(的傅里葉級(jí)數(shù)試求且xfxfxf在整個(gè)實(shí)數(shù)軸的周期函數(shù)周期為顯然分析)(2,:xf它的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)上連續(xù).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系nxdxxfancos)(100) 1sin() 1sin(21cossin1dxxnxnnxdxx, 3 , 2 , 0) 1() 1(11) 1cos(1) 1cos(21210nnnxnnxnn010cossin1xdxxa高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系0, 3 , 2, 0sinsin1sin)(1nnxdxxnxdxxfbn在

10、求傅里葉系數(shù)an,bn時(shí),發(fā)現(xiàn)在n=1時(shí)沒有意義,故要0121sinsin1xdxxbxnxnxxfnncos) 1() 1(1sin211)(22再單獨(dú)計(jì)算.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系二二 定義在區(qū)間定義在區(qū)間0,l0,l上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開 定義在區(qū)間0,l上函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開,通常有以下幾種情況: (1)把f(x)在0,l上展開成正弦級(jí)數(shù). 這時(shí),要把f(x) x0,l,奇延拓到-l,0上,在-l,l上構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)f(x),把該奇函數(shù)f(x)在-l,l上展開為傅里葉級(jí)數(shù),然后限制在0,l上. 即為所求的正弦級(jí)

11、數(shù).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (2)把f(x)在0,l上展開成余弦級(jí)數(shù). 這時(shí),應(yīng)把f(x), x0,l,奇延拓到-l,0上,在-l,l上構(gòu)造一個(gè)偶函數(shù)f(x), 在-l,l上展開為傅里葉級(jí)數(shù),然后限制在0,l上.即為所求的余弦級(jí)數(shù). (3)把f(x)在(0,l)內(nèi)展開為以周期為2l的傅里葉級(jí)數(shù).這時(shí),在區(qū)間-l,l上構(gòu)造一函數(shù)f(x),使它在0,l上f(x)=f(x),在-l,0)上可以定義f(x)為任意函數(shù),特別定義f(x)=0,即高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系)(xf000)(xllxxf當(dāng)然,也可定義

12、)(xflxllxxf200)(把擴(kuò)充后的函數(shù)f(x)在-l,l上展開為傅里葉級(jí)數(shù),然后限制在(0,l)上即為所求的傅里葉級(jí)數(shù),往往它既含有正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (4)把f(x)在0,l上展開為以l為周期的傅里葉級(jí)數(shù)., 2 , 1 , 02cos)(20nxlnxflaln它與前三項(xiàng)工作不同的是:前面的函數(shù)展開工作是以2l為周期; 這里以l為周期,且所得到的傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng). 本項(xiàng)工作只要注意到f(x)的以l為周期的周期性,便得到相應(yīng)的傅里葉系數(shù)公式為, 2 , 12sin)(20nxlnxflbln

13、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例2 把圖所示的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)y202lxpxy(x)是定義在0,l上的函數(shù),要把它展開成正弦級(jí)數(shù),必須對(duì)y(x)進(jìn)行奇延拓,我們計(jì)算延拓后的函數(shù)的傅立葉系數(shù)0 xy2l4pll解:lxlxlp2,2)(高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系dxlxnxylbln0sin)(2sin2)(sin22220dxlxnxlpdxlxnpxllll則令對(duì)上式右端的第二項(xiàng),xlt)(sin2sin222020dtltlnptdxlxnpxlbllnsin2)1(sin2220120dtltnptd

14、xlxnpxllnl高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系.0,.6,4,2nbn時(shí)當(dāng)dxlxnxlpbnln20sin24,.5,3, 1時(shí)當(dāng)2sin222nnpl.)5sin513sin31(sin2)(222lxlxlxplxf)0(lx 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例3 設(shè)f(x)=x2 (0 x), 把f(x)在0,上分別)3 , 2 , 1 , 0(0nan先把f(x)作奇延拓,則展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系020sin2sin)(2nxdxx

15、nxdxxfbn)cos2|cos)1(2002nxdxxnxxn002sin2|sin2) 1(2nxdxnnxxnnn33144) 1(2) 1(nnnnn031|cos42) 1(nxnnn), 0sin)2() 1(22)(2313xnxnnnxfnn高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系其次把f(x)作偶延拓xdxxa2020322xnxdxxnxxnnxdxxan00202sin2|sin2cos202024) 1(cos|cos4nnxdxnxxnnnxnxfnncos4) 1(3)(122高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科

16、技學(xué)院數(shù)理系 上面把f(x)=x2在0,上展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù),是把f(x)作奇延拓或偶延拓,所以得到的正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)都是以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù).如果要把f(x)=x2在0,)上展開成以為周期的傅里葉級(jí)數(shù),解法就不同,這時(shí)傅里葉系數(shù)為20200322)(21dxxdxxfa高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系nxdxxdxxnxfan2cos22cos)(210200022sin2|2sin1nxdxxnxxn002cos1|2cos11nxdxnnxxnn20212sin211nnxnn高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院

17、數(shù)理系002022cos2|2cos12sin2nxdxxnxxnnxdxxbn0022sin1|2sin11nxdxnnxxnnnnxnn022|2cos211), 0()2sin2cos1(3)(122xnxnnxnxfn高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系由本例可見,對(duì)于同一個(gè)函數(shù),可根據(jù)需要采用不同的方式展開為相應(yīng)形式的傅里葉級(jí)數(shù).盡管上述的形式不同,但在(0,)上都表示同一個(gè)函數(shù)f(x)=x2高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 下面我們利用函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式,求收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 利用函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式也是求收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的方法之一.這里的關(guān)鍵是把常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)看作某個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式在某點(diǎn)(函數(shù)的連續(xù)點(diǎn))所得到的級(jí)數(shù).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例4 求下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和121).1 (nn1211) 1().2(nnn12) 12(1)3(nn高等數(shù)學(xué)電子教案高等