第五節(jié)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

1、第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 是否存在冪級(jí)數(shù)在其收是否存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以斂域內(nèi)以 f (x)為和函數(shù)為和函數(shù)?問(wèn)題問(wèn)題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?證明證明即即內(nèi)內(nèi)能能展展成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在若若,),()(0 xuxf nnxxaxxaaxf)()()(0010 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ),

2、2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)問(wèn)題問(wèn)題nnnxxnxfxf)(!)()(000)( 定義定義泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于 f (x)? 不一定不一定.?21,0( )0,0 xexf xx 例例如如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麥克勞林級(jí)數(shù)為的麥克勞林級(jí)數(shù)為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級(jí)數(shù)在該級(jí)數(shù)在可見可見).()(,0

3、 xfxfx收收斂斂于于的的麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)處處處處不不外外除除 在在x = = 0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo),證明證明必要性必要性)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii ),()()(1xsxfxrnn ,)(能能展展開開為為泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(lim1xfxsnn )(limxrnn)()(lim1xsxfnn ;0 充分性充分性),()()(1xrxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxrnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的泰勒級(jí)數(shù)收斂于定理定理 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在)(0 xu上有定義

4、上有定義, ,0 m, ,對(duì)對(duì)),(00rxrxx , ,恒有恒有 mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00rxrx 內(nèi)可展內(nèi)可展開成點(diǎn)開成點(diǎn)0 x的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù). .證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxmn),(00rxrxx ,),()!1(010收斂收斂在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)可展成點(diǎn)可展成點(diǎn)x),(00rxrxx 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:

5、;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0)(lim)2()(mxfxrnnn 或或討論討論).(,xf斂于斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收若成立若成立例例1解解.)(展開成冪級(jí)數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 m上上在在,mm xnexf )()(me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于m的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成將將xxxf 解解),2sin()()

6、( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1()(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成將將xrxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1lim nnn , 1 , 1 r若若內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1

7、()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用)()1(xsx nxnnxx!)1()1(! 2)1(2222 )(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛頓二項(xiàng)式展開式牛頓二項(xiàng)式展開式注意注意: :

8、.1的的取取值值有有關(guān)關(guān)處處收收斂斂性性與與在在 x有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(642314212111132 nnxnnxxxx 1 , 1(!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過(guò)通過(guò)變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方等方法法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211c

9、os242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn211)(arctanxx ,12)1(012 nnnnx1 , 1 xxx 11 )1ln(,1)1(01 nnnnx1 , 1( x,)1(20nnnx ,)1(0nnnx )1 , 1( xxarctan)1 , 1( x)1ln(x 例例例例例例4設(shè)設(shè)xxfarctan)( 求求) 0()(nf解：解：211)(xxf 02)1(nnnx)11( x 01212)1()(nnnxnxf)11( xkkakf !)0()(故故0) 0()2( nf)!2() 1() 0()12(nfnn 例

10、例5.2cossin)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成將將xxxxf 解解xxxf2cossin)( sin3sin21xx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn2121001(3 )1( )(1)(1)2(21)!2(21)!nnnnnnxxf xnn xxnnnnn.)!12()13()1(2112120例例6.)1ln()(2的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成將將xxxxf 解解111ln)(3 xxxxf)1ln()1ln(3xx 11)1()1ln(11 xnxxnnn31111()()( )(1)(1)nnnnnnxxf xnn 131.nnnnnxnx11 x例

11、例7處展開成泰勒級(jí)數(shù)處展開成泰勒級(jí)數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成 )1(3141)( xxxxxf31131 xx,)1(31)31(11 nnnnnxx31 x!)1()(nfn于是于是,31n .3!)1()(nnnf 故故三、小結(jié)三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法.思考題解答思考題解答 從已知的展開式出發(fā)從已知的展開式出發(fā), 通過(guò)變量代換、四則運(yùn)通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法算或逐

12、項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,求出給定函數(shù)求出給定函數(shù)展開式的方法稱之展開式的方法稱之.思考題思考題什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開法？什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開法？補(bǔ)充題：補(bǔ)充題：1. 求級(jí)數(shù)和求級(jí)數(shù)和 12!)1(nnn解解由由,!10 xnnexn 乘以乘以 x ，得，得xnnxexn 10!1求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得,)1(!)1(0 xnnexxnn 再乘以再乘以 x，得，得,)1(!)1(10 xnnexxxnn 再求導(dǎo)，得再求導(dǎo)，得xnnexxxnn)13(!)1(202 ennn5!)1(02 15!)1(12 ennn2.2.2!12的和的和求求 nnnn解解,!10 xnnexn 122 !nnnn.

13、4321e ,!11xnnexnn 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得,!1xnnxexnn 乘以乘以 x ，得，得由由再求導(dǎo)，得再求導(dǎo)，得,)1(!112xnnexxnn 再乘以再乘以 x，得，得,)1(!12xnnexxxnn xxxxxxf211211arctan)(22 xarctan dxxx 0211 xnnndxx002) 1( 01212)1(nnnnx)11( x3.1lnarctan)(2克勞林級(jí)數(shù)克勞林級(jí)數(shù)展開成麥展開成麥將將xxxxf 解解積分，得積分，得 xdxxfxf0)()(dxnxxnnn 001212) 1( 022)22)(12()1(nnnnnx)11( x)0)0( f一

14、一、 將將下下列列函函數(shù)數(shù)展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 將將函函數(shù)數(shù)3)(xxf 展展開開成成)1( x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間 . .三三、 將將 函函 數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展 開開 成成)4( x的的 冪冪 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) . .四四、 將將級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函數(shù)數(shù)展展開開成成)1( x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 x