大學(xué)數(shù)學(xué)：補(bǔ)充_3 (1)平面方程

1、第三節(jié)第三節(jié)一、平面方程平面方程二、兩平面的相互關(guān)系二、兩平面的相互關(guān)系三、點(diǎn)到平面的距離三、點(diǎn)到平面的距離空間的平面與直線空間的平面與直線 第三節(jié)第三節(jié)一、平面方程平面方程二、兩平面的相互關(guān)系二、兩平面的相互關(guān)系三、點(diǎn)到平面的距離三、點(diǎn)到平面的距離空間的平面與直線空間的平面與直線 四、空間直線的方程四、空間直線的方程 五、兩直線、直線與平面的夾角五、兩直線、直線與平面的夾角六六 平面束平面束八、八、兩直線共面的條件，異面直線的距離兩直線共面的條件，異面直線的距離七、點(diǎn)到直線的距離七、點(diǎn)到直線的距離曲面方程曲面方程的概念的概念二次曲面方程的定義：二次曲面方程的定義：22212345678910

2、0a xa ya za xy a yz a zx a x a y a z a 三元二次方程三元二次方程621(0)iia 表示的圖形稱為表示的圖形稱為二次曲面二次曲面. .以下給出幾例常用的二次曲面以下給出幾例常用的二次曲面.空間曲線的空間曲線的一般方程一般方程和和參數(shù)方程參數(shù)方程空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S將曲線將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)表示成參數(shù)t 的函數(shù)的函數(shù): :稱它為空間曲線的稱它為空間曲線的 參數(shù)方程參數(shù)方程. .)(

3、txx )(tyy )(tzz zyxo0Mn一、平面方程一、平面方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點(diǎn)設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向且垂直于非零向000()()()0A xxB yyC zzM稱稱式式為平面為平面 的的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程, ,求該平面求該平面 的的方程方程. .( , , ),M x y z 任取點(diǎn)任取點(diǎn)000(,)xxyyzz法向量法向量. .量量( ,),nA B C 0M Mn 00nMM0M M 則有則有 故故n 稱稱 為為平平面面的的1 1、平面的點(diǎn)法式方程、平面的點(diǎn)法式方程kji例例1 1. .求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)1,M 又又) 1,9,14(0)4() 1

4、(9)2(14zyx015914zyx即即1M2M3M解解: 取該平面取該平面 的法向量為的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. 利用點(diǎn)法式得平面利用點(diǎn)法式得平面 的方程的方程346231nn3121MMMM此平面的此平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程也可寫成也可寫成 0132643214xyz1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz一般情況一般情況 : 過三點(diǎn)過三點(diǎn)(,) (1, 2, 3)kkkkMxyzk 的平面方程為的平面方程為說明說明:2 2、平面的三點(diǎn)式方程、平面的三點(diǎn)式方程特別特別, ,當(dāng)平面與三

5、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的此式稱為平面的截距式方程截距式方程. . ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1xyzabc時(shí)時(shí), ,( ,0)abc ()xa bc ()ya c0zabbcxacyabzabc平面方程為平面方程為 PozyxRQ分析分析: :利用三點(diǎn)式利用三點(diǎn)式 按第一行展開得按第一行展開得 即即0 xa yza b0a 0c3 3、平面的、平面的截距式截距式方程方程4 4、平面的一般方程、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為

6、此方程稱為平面的一般平面的一般0AxByCzD任取一組滿足上述方程的數(shù)任取一組滿足上述方程的數(shù)000,xyz則則000()()()0A xxB yyC zz0000AxByCzD顯然方程顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià)與此點(diǎn)法式方程等價(jià), , 222(0 )ABC( ,)nA B C 的平面的平面, , 因此方程因此方程的圖形是的圖形是法向量為法向量為 方程方程.特殊情形特殊情形 當(dāng)當(dāng) D = 0 時(shí)時(shí), A x + B y + C z = 0 表示表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面的平面; 當(dāng)當(dāng) A = 0 時(shí)時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于平面平行于 x 軸軸; A

7、 x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0 表示表示 B y + D =0 表示表示0DCzByAx)0(222CBA平行于平行于 y 軸軸的平面的平面;平行于平行于 z 軸軸的平面的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.(0,),nB Ci 例例2. 求通過求通過 x 軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.例例3. .用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.

8、 .解解: 因平面通過因平面通過 x 軸軸 ,0AD故故設(shè)所求平面方程為設(shè)所求平面方程為0ByCz代入已知點(diǎn)代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得得BC3化簡化簡, ,得所求平面方程得所求平面方程03 zy(自己練習(xí)自己練習(xí)) 二、兩平面的相互關(guān)系二、兩平面的相互關(guān)系設(shè)平面設(shè)平面1的法向量為的法向量為 平面平面2的法向量為的法向量為則兩平面夾角則兩平面夾角 的余弦為的余弦為 cos 即即121212A AB BC C222222ABC222111ABC兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角( (常為銳角常為銳角) )稱為稱為兩平面的夾角兩平面的夾角. .122n1n),(1111CBAn ),(2222C

9、BAn 2121cosnnnn 2特別有下列結(jié)論特別有下列結(jié)論：12(1) 1212120A AB BC C12(2)/111222ABCABC),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 12nn 21/ nn2n1n2n1n因此有因此有例例4. 一平面通過兩點(diǎn)一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為020 ,ABC即即2AC 的法向量的法向量0 ,ABC()BACC )0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去約去C , 得得0) 1() 1() 1(

10、2zyx即即20 xyz(1)(1)(1)0A xB yC z)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面則所求平面故故, ),(CBAn方程為方程為 n21MMn且且外一點(diǎn)外一點(diǎn), ,求求),(0000zyxP0AxByCzD問題問題. 設(shè)設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA000222AxByCzDdABC 1110AxByCzD解解: :設(shè)平面法向量為設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)在平面上取一點(diǎn)是平面是平面到平面的距離到平面的距離d .0P, ,則則P0 到平面的距離為到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(

11、CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式)三、點(diǎn)到平面的距離三、點(diǎn)到平面的距離(1)236.xyz最后最后,看看平面的作圖問題看看平面的作圖問題1.632xyzxyzoABC(6,0,0)A(0,3,0)B(0,0,2)C(2)330.xyzABC 表示平面表示平面過原點(diǎn)過原點(diǎn),不過三軸不過三軸,在在xoy和和yoz上找兩點(diǎn)上找兩點(diǎn)(2,2,0)A(0,1,3)B兩直線兩直線OA, OB在平面上在平面上.xyzoABOAB 表示平面表示平面(4)320 xy (3)236yz在在yoz平面上作直線平面上作直線132yz過其與過其與y軸和軸和z軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為(0,3,0)A(0,0,2

12、)B作作 x 軸的平行線軸的平行線此平面平行于此平面平行于x軸軸xyzoAB用平行四邊形表示平面用平行四邊形表示平面此平面過此平面過z軸軸xyzoA用平行四邊形表示平面用平行四邊形表示平面(2,3,0)A在在xoy平面上作直線平面上作直線320 xy其上一點(diǎn)其上一點(diǎn)(5)5x (6)0 x xyzoxyzoA用平行四邊形表示平面用平行四邊形表示平面用平行四邊形表示平面用平行四邊形表示平面總結(jié)總結(jié)：可以用三角形：可以用三角形 和和 平行四邊形平行四邊形 作平面的圖形作平面的圖形.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方平面基本方程程:一般式一般式點(diǎn)法式點(diǎn)法式截距式截距式0AxByCzD222(0 )ABC1czbyax三點(diǎn)式三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx000()()()0A xxB yyC zz(0)abc 0212121CCBBAA111222ABCABC2.平平面面與平面與平面之間的關(guān)系之間的關(guān)系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夾角公式夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111C