習(xí)題課2冪級數(shù)

1、1 內(nèi)容及要求內(nèi)容及要求(1) 熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法 (2) 會利用冪級數(shù)的運(yùn)算法則求一些冪級數(shù)的和函數(shù)會利用冪級數(shù)的運(yùn)算法則求一些冪級數(shù)的和函數(shù)麥克勞林展開式，并會利用間接展開法將一些函數(shù)麥克勞林展開式，并會利用間接展開法將一些函數(shù)展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù). . mxxxxxex)1( )1ln( cos sin 11 )3( 、熟熟悉悉無窮級數(shù)無窮級數(shù) 習(xí)題課二習(xí)題課二2 典型例題典型例題 例例1 填空填空1(1)2 (1)nnnxn 冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域-2，2）級級數(shù)數(shù)時時，的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)，則則當(dāng)當(dāng)是是已已知知212)2

2、(1 xxaxnnn絕對收斂絕對收斂級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑為為時時條條件件收收斂斂，則則冪冪當(dāng)當(dāng)已已知知3)1()3(1 xxannnr = 4.,2)(,)5(1211111的的收收斂斂半半徑徑為為數(shù)數(shù)為為，和和函函的的收收斂斂半半徑徑為為，為為，和和函函數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑為為冪冪級級數(shù)數(shù)，則則和和函函數(shù)數(shù)為為的的收收斂斂半半徑徑為為已已知知 nnnnnnnnnnnnnxaxaxnaxsrxar)(xs 2r)2(21xsr處處在在級級數(shù)數(shù)時時收收斂斂，則則冪冪當(dāng)當(dāng)已已知知2)1(1)1()4(111 xxnaxxannnnnn絕對收斂絕對收斂例例2 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪

3、級數(shù)的收斂域: :nnnxn 1)1(2)1( , 1)1(2limlimnnnnnnnax=1時級數(shù)發(fā)散，故該冪級數(shù)的收斂域?yàn)闀r級數(shù)發(fā)散，故該冪級數(shù)的收斂域?yàn)?1，1). nnnxn2)11()2(1 ,limeannn1rer1 1122)11)1(,)11,1|nnnnnnnenenex（級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉?)11lim)11lim212 eenennnnnnn（).11(ee，收收斂斂域域?yàn)闉?111,( 1,1)( 2,0).nnnntxntnt 令令則則原原級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉橐滓字牡氖帐諗繑坑蛴驗(yàn)闉楣使试壖墧?shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉?21|2/21|lim22)1(21xxnxn

4、nnnnn(2,2) 故故所所求求級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉閚nxn)1()3(1 nnnxn212)4( ;2|時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂故故當(dāng)當(dāng)x.2|時時，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)x.,21發(fā)發(fā)散散時時，級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉橛钟之?dāng)當(dāng)nnx例例3 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)求下列冪級數(shù)的和函數(shù): :;)1(12nnnx;212)2(122nnnxn;)2()3(1nnnnx,!12)5(02nnxnn.!2)12(0的的和和并并求求nnnn解解(1)：易知該冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋阂字搩缂墧?shù)的收斂域?yàn)?1，1). 設(shè)其和函數(shù)為設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則，則;)1()4(1nnxn 1121222)(nnnnnx

5、xnxxs)(212 nnxx)1 , 1( )1()1(222222 xxxxxx解解(2)(2)： ,2)()(lim21xxuxunnn;2|時時，冪冪級級數(shù)數(shù)收收斂斂當(dāng)當(dāng)x發(fā)發(fā)散散。級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) 1212,2nnx故該冪級數(shù)的收斂域?yàn)楣试搩缂墧?shù)的收斂域?yàn)?).2,2( 122212)(nnnxnxs設(shè)設(shè))(21112 nnnx)21(112 nnnx;212)2(122nnnxn).2,2( ,)2(2222xxx)22(23 xx)212(2xx解解(3)(3)： 易知冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋ㄒ字獌缂墧?shù)的收斂域?yàn)椋? 0，2 2） 令令x-1=t , 1111)1(nnnnnnnttntx

6、n)1( ttt)(1 nntt).2 , 0(,)2(1)1(22xxxtt1(3)(1) ;nnn x 解解(4)：易知該冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋阂字搩缂墧?shù)的收斂域?yàn)?，1， 設(shè)其和函數(shù)為設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則，則 1)211(21)(nnxnnxs 1122121nnnnnxnx),(1xfnxnn設(shè)設(shè),11)(11xxxfnn)0()()(0fdxxfxfx )1 , 1 ),1ln(10 xxxdxx1(4);(2)nnxn n ),(21xgnxnn 設(shè)設(shè) xdxxxxgx02201)()1 , 1 ),1ln(22xxxx 0 , 00)1 , 1 ,)1ln(21)(2xxxxx

7、xxg且且)(21)(21)(xgxfxs 211ln(1)ln(1), 1,1)02420,03,14xxxxxxxx 且且 112) )(nnxxgxxx 12解解(5)：易知所給冪級數(shù)的收斂半徑：易知所給冪級數(shù)的收斂半徑r=+，設(shè)其，設(shè)其 和函數(shù)為和函數(shù)為s (x)，則，則2020120!)(!)(xnnnnxxenxxnxdxxs 22)21()()(2xxexxexs 205)2(!2)12(esnnnn ,!12)5(02nnxnn.!2)12(0的的和和并并求求nnnn例例4 將下列函數(shù)展成將下列函數(shù)展成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù): :;21)()1(2xxxxf;44arctan)

8、()2(22xxxf).21,21( ,)2(1 310 xxnnn解解(1)(1) )21111(31)(xxxf )2()2(21 (312 nnxxx)1 (312 nxxx.)2(1)()3(2xxf2222222)4()4(2)4(2)44(11)()2(xxxxxxxxf 04442)1(2)2(112nnnnxxxx 014142)1(nnnnx)0()()(0fdxxfxfx 4)2(12)1(024 nnnxnx(2，2). ;44arctan)()2(22xxxf4168xx注：級數(shù)的收斂域?yàn)樽ⅲ杭墧?shù)的收斂域?yàn)?，2.)2(121)2(1)()3(020 xdxxdxxfxx )21(2121x 101,|222nnnxx . 2|,2)(111xnxxfnnn.)2(1)()3(2xxf例例5 求極限求極限111393lim