初中數(shù)學(xué)最值問題初步探討

1、    初中數(shù)學(xué)最值問題初步探討    摘 要：最值問題貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，在中考試卷中占據(jù)著較重的分?jǐn)?shù)。最值問題的形式多種多樣，其解法也靈活多變，如果再加上生活背景，這就使得學(xué)生在遇到此類問題時(shí)覺得難度較大，不容易搞懂。在初中數(shù)學(xué)最值問題中，“花費(fèi)最少”“時(shí)間最短”等最值問題都與日常生活有著緊密聯(lián)系，這就使得課堂教學(xué)難度加大，本文對(duì)此進(jìn)行初步探討。關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);最值問題;初步探討在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，最值的求解是一類綜合性較強(qiáng)的問題，在中考中常以壓軸題形式出現(xiàn)，這就增加了解題難度，使得學(xué)生在考場(chǎng)上丟失大量分?jǐn)?shù)。初中數(shù)學(xué)最值問題最

2、主要是考查學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，不管是代數(shù)形式還是幾何問題都存在有待解決的最值問題。下面，筆者從以下幾個(gè)方面對(duì)最值問題展開論述，希望對(duì)大家有所幫助。一、 運(yùn)用配方法求最值在講解最值問題時(shí)，配方法是一種重要的基本解題方法。當(dāng)遇到二次多項(xiàng)式、一元二次方程時(shí)，學(xué)生要從配方的角度展開思考，運(yùn)用配方法來進(jìn)行解答，從而快速解出問題的答案。配方法的主要思路是將式子配成若干個(gè)完全平方式，通常以求取問題最小值為主，主要考查學(xué)生的觀察和計(jì)算能力。筆者認(rèn)為，配方法是解答最值問題的主要方式之一，學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練掌握并能夠快速應(yīng)用。如，當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，方程y=3x2+12x+6的最小值為  &

3、#160; 。y=3x2+12x+6=3（x2+4x+2+2-2）=3（x2+4x+4）-6=3（x+2）2-6。很顯然，當(dāng)x=-2時(shí)，y的最小值為-6。如，當(dāng)x，y是實(shí)數(shù)，則x2+4y2-4xy+2015的最小值為    。原式=x2+4y2-4xy+2015=（x2+4y2-4xy）+2015=（x-2y）2+2015。顯然有（x-2y）20，所以當(dāng)x-2y=0時(shí)，所得到的代數(shù)值最小，最小值為2015。二、 基本不等式求最值在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會(huì)在講授最值問題的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生掌握基本不等式。這類問題有個(gè)共性，當(dāng)遇到兩個(gè)數(shù)的積為定值，求兩數(shù)平

4、方和最小值時(shí)，教師不妨帶領(lǐng)學(xué)生在解題時(shí)考慮不等式“a2+b22ab”，當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取等號(hào)。但是，在問題求解過程中，學(xué)生一定要注意式子的每一項(xiàng)均為正數(shù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行靈活運(yùn)用。如，若xy=5，那么代數(shù)式1x4+14y4的最小值是  。解，分1x4+14y4=1x22+12y2221x212y2=1（xy）2=25。所以：1x4+14y4的最小值是25。三、運(yùn)用判別法求最值在遇到最值問題時(shí)，有時(shí)候看起來沒有任何思路，如果應(yīng)用配方法或不等式法來求解較為困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意來構(gòu)造關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程，再利用x為實(shí)數(shù)，通過方程判別式來求出y的取值范圍，最終得到

5、最值。這種求解問題的方法稱為判別式法，主要應(yīng)用的范圍為分式型二次函數(shù)。如，求x2-x+1x2+x+1的最大值與最小值分別為多少。設(shè)x2-x+1x2+x+1=y，通過分式整理得：x2-x+1=yx2+yx+y。即（1-y）x2-（1+y）x+1-y=0。因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，所以0，即（1+y）2-4（1-y）20，從而解得13y3。因此，x2-x+1x2+x+1的最大值為3，最小值為13。如，求函數(shù)y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值。原式可以化為：y12x2+x+1=3x2+6x+5，整理公式得（6-y）x2+（12-2y）x+（10-2y）=0，因?yàn)閤的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，因此關(guān)于x的二次

6、方程均有實(shí)數(shù)根。=（12-2y）2-4×（6-y）（10-2y）=-4y2+40y-960，即，y2-10y+240，得4y6。因此，函數(shù)y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值為6。四、 數(shù)形結(jié)合求最值在做題時(shí)，當(dāng)遇到一些代數(shù)條件中的問題有幾何意義時(shí)，或通過分析發(fā)現(xiàn)問題與幾何有所關(guān)聯(lián)時(shí)，教師不妨采取數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想來求解問題最值。如，求x2+4+（8-x）2+16取最小值時(shí)實(shí)數(shù)x的值。x2+4+（8-x）2+16=（x-0）2+（0-2）2+（x-8）2+（0-4）2。此時(shí)，學(xué)生可以構(gòu)造圖形，作a（0，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)a（0，-2），設(shè)直線ab的解析式為y=kx+b，從而得：0k+b=-28k+b=-4解得k=34b=-2，得到y(tǒng)=34x-2，使y=0，則x=83。所以，當(dāng)x=83時(shí)，x2+4+（8-x）2+16存在最小值。雖然最值問題的解題思路和方法多種多樣，但是，“萬變不離其宗”，學(xué)生只要從配方法、基本不等式、判別法及數(shù)形結(jié)合等多種角度深入分析，就能迅速解答問題，從而在考場(chǎng)上取得理想的數(shù)