清華機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、2021-11-23機(jī)械工程學(xué)時(shí)與學(xué)分：學(xué)時(shí)與學(xué)分：40/2.540/2.5 基本教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)安排基本教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)安排 一緒論一緒論 4 4 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 二自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 6 6 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 三時(shí)間響應(yīng)分析三時(shí)間響應(yīng)分析 8 8 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 四頻率特性分析四頻率特性分析 8 8 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 五系統(tǒng)的穩(wěn)定性五系統(tǒng)的穩(wěn)定性 8 8 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 六系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正六系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正 4 4 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)2021-11-23機(jī)械工程二、自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.0 基本概念2.1 系統(tǒng)的微分方程2.2 laplace 變換及系統(tǒng)傳遞函數(shù)2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化

2、2.4 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5 相似原理2021-11-23機(jī)械工程 2.02.0基本概念基本概念1)1)建立數(shù)學(xué)模型的意義建立數(shù)學(xué)模型的意義( (1)1)可可定性定性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性; ;(2)(2)更能更能定量定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能; ;(3)(3)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系系。2)2)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的形式系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的形式（1 1）最基本形式是微分方程）最基本形式是微分方程, ,它在時(shí)域中描述系它在時(shí)域中描述系統(tǒng)統(tǒng)( (或元件或元件) )動(dòng)態(tài)特性；動(dòng)態(tài)特性；（2

3、2）傳遞函數(shù)形式，它極有利于對(duì)系統(tǒng)在復(fù)數(shù)）傳遞函數(shù)形式，它極有利于對(duì)系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域及頻域進(jìn)行深入的研究、分析與綜合域及頻域進(jìn)行深入的研究、分析與綜合 。2021-11-23機(jī)械工程3) 3) 數(shù)學(xué)模型的建立方法數(shù)學(xué)模型的建立方法 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有兩種方法：建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有兩種方法：分析法和實(shí)驗(yàn)法分析法和實(shí)驗(yàn)法, ,本本章僅就分析法進(jìn)行討論。章僅就分析法進(jìn)行討論。(1)(1)分析法分析法: :根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關(guān)定律來(lái)推導(dǎo)根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關(guān)定律來(lái)推導(dǎo)出數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型。出數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型。(2)(2)實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法: :對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)實(shí)對(duì)

4、于復(fù)雜系統(tǒng)，需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合擬合出比較接近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。出比較接近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2021-11-23機(jī)械工程 4) 4)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)定義定義：描述系統(tǒng)的輸入和輸出之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方程，如：描述系統(tǒng)的輸入和輸出之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方程，如2.0.12.0.1 如果系數(shù)如果系數(shù) 均為常數(shù)，則式均為常數(shù)，則式(2-1)(2-1)為線性定常微分方程，簡(jiǎn)稱常微分方程。相應(yīng)的動(dòng)態(tài)系為線性定常微分方程，簡(jiǎn)稱常微分方程。相應(yīng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)。大多數(shù)物理系統(tǒng)均屬于這一類，這是大多數(shù)物理系統(tǒng)均屬于這一類，這是我們研究的重

5、點(diǎn)。我們研究的重點(diǎn)。 若若 是時(shí)間是時(shí)間t t的函數(shù)，則該方程為線性時(shí)變的，相應(yīng)的系的函數(shù)，則該方程為線性時(shí)變的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為統(tǒng)也稱為線性時(shí)變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)；例如，宇宙飛船控制系統(tǒng)便是一個(gè)；例如，宇宙飛船控制系統(tǒng)便是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)，因?yàn)殡S著宇宙飛船上燃料的消耗，飛船質(zhì)量發(fā)生時(shí)變系統(tǒng)，因?yàn)殡S著宇宙飛船上燃料的消耗，飛船質(zhì)量發(fā)生變化，而且當(dāng)飛船遠(yuǎn)離地球后，重力也在發(fā)生變化。變化，而且當(dāng)飛船遠(yuǎn)離地球后，重力也在發(fā)生變化。 ()( )( ).1010( )( )( )( )( ) 2.0.1mnnooomiiia xta x ta x tb xtb x tb x t (0,1,2, ),(0,1,

6、2,)ija in bjm, ija b2021-11-23機(jī)械工程若若 中有系數(shù)依賴于中有系數(shù)依賴于 或它們的導(dǎo)函數(shù)，或者，在微或它們的導(dǎo)函數(shù)，或者，在微分方程中出現(xiàn)分方程中出現(xiàn)t t的其他函數(shù)形式，則該方程就是非線性的，的其他函數(shù)形式，則該方程就是非線性的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)，下面模型，下面模型是非線性的。是非線性的。 線性及非線性這一特性并不隨系統(tǒng)的表示方法而改變，它是線性及非線性這一特性并不隨系統(tǒng)的表示方法而改變，它是系統(tǒng)本身的固有特性。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的根本區(qū)別在系統(tǒng)本身的固有特性。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：于：線性系統(tǒng)滿足疊加原理，而

7、非線性系統(tǒng)則不滿足疊加原線性系統(tǒng)滿足疊加原理，而非線性系統(tǒng)則不滿足疊加原理。理。 線性化線性化：為了分析研究非線性系統(tǒng)，在一定范圍內(nèi)將一些非：為了分析研究非線性系統(tǒng)，在一定范圍內(nèi)將一些非線性因素忽略，近似地用線性數(shù)學(xué)模型來(lái)代替，這便是所謂線性因素忽略，近似地用線性數(shù)學(xué)模型來(lái)代替，這便是所謂數(shù)學(xué)模型的線性化。數(shù)學(xué)模型的線性化。 本質(zhì)非線性系統(tǒng)：本質(zhì)非線性系統(tǒng)：例如電氣系統(tǒng)中某些元件存在繼電特性、例如電氣系統(tǒng)中某些元件存在繼電特性、飽和、死區(qū)和磁滯等現(xiàn)象，只能采取非線性方法進(jìn)行分析與飽和、死區(qū)和磁滯等現(xiàn)象，只能采取非線性方法進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)。這方面內(nèi)容，本課程不作要求這方面內(nèi)容，本課程不作要求

8、。 , ija b( ),( )ix t x t2( )( )( )( )( )ooooix tx tx tx tx t2021-11-23機(jī)械工程 2.1 2.1系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程一用分析法（解析法）一用分析法（解析法）列寫微分方程的一般方法列寫微分方程的一般方法(1)(1)確定系統(tǒng)或各元件的輸入、輸出變量確定系統(tǒng)或各元件的輸入、輸出變量。系統(tǒng)的給定輸入量或。系統(tǒng)的給定輸入量或擾動(dòng)輸入量都是系統(tǒng)的輸入量，而被控制量則是輸出量；擾動(dòng)輸入量都是系統(tǒng)的輸入量，而被控制量則是輸出量；(2)(2)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，忽略次要因素；進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，忽略次要因素；(3) (3) 從系統(tǒng)的輸入端開始，

9、按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理定理，遵循的物理定理，列寫出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微列寫出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程；分方程；(4)(4)消除中間變量消除中間變量，寫出只含有輸入、輸出變量的微分方程；，寫出只含有輸入、輸出變量的微分方程；(5)(5)標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化。整理所得微分方程，整理所得微分方程，輸出量降冪排列輸入量降冪排列輸出量降冪排列輸入量降冪排列一般將與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左側(cè)，與輸入量有關(guān)的一般將與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左側(cè)，與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。各項(xiàng)放在方程的右側(cè)

10、，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。 2021-11-23機(jī)械工程例例1 1 圖示為兩個(gè)形式相同的圖示為兩個(gè)形式相同的rcrc電路串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡(luò)，電路串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡(luò)，試寫出以輸出電壓和輸入試寫出以輸出電壓和輸入電壓為變量的濾波網(wǎng)絡(luò)的電壓為變量的濾波網(wǎng)絡(luò)的微分方程。微分方程。 解：列寫系統(tǒng)微分方程解：列寫系統(tǒng)微分方程(1)(1)輸入輸入: :電壓電壓 輸出輸出: :電壓電壓 中間變量中間變量(1)(1)簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化(3)(3)根據(jù)克希荷夫定律，可寫根據(jù)克希荷夫定律，可寫出下列原始方程式：出下列原始方程式：1, 2i i2u1u1 1 部件的數(shù)學(xué)模型部件的數(shù)學(xué)模型2021-11-23機(jī)械工程電路分析的基本

11、方法電路分析的基本方法-克希荷夫定律克希荷夫定律(1)克希荷夫第一定律克希荷夫第一定律(克希荷夫電流定律克希荷夫電流定律kcl)：在電路任何時(shí)刻，對(duì)任一結(jié)點(diǎn)，所有支路電流的代在電路任何時(shí)刻，對(duì)任一結(jié)點(diǎn)，所有支路電流的代數(shù)和恒等于零，即流出結(jié)點(diǎn)的取數(shù)和恒等于零，即流出結(jié)點(diǎn)的取+號(hào)，流入結(jié)點(diǎn)的號(hào)，流入結(jié)點(diǎn)的取取-號(hào)。號(hào)。n為支路數(shù)。為支路數(shù)。(2)克希荷夫第二定律克希荷夫第二定律(克希荷夫電壓定律克希荷夫電壓定律kvl)：在電路任何時(shí)刻，沿任一回路，所有支路電壓的代在電路任何時(shí)刻，沿任一回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零，即電壓的參考方向與指定的繞行方數(shù)和恒等于零，即電壓的參考方向與指定的繞行方向

12、一致的取向一致的取+號(hào)，相反的取號(hào)，相反的取-號(hào)。號(hào)。n為支路數(shù)。為支路數(shù)。也寫為基爾霍夫定律2021-11-23機(jī)械工程222122111()i ri dtiidtcc2221i dtuc (4) (4)消去中間變量消去中間變量 式（式（2.1.12.1.1）就是系統(tǒng)的微分方程。）就是系統(tǒng)的微分方程。 2221122112212212()(2.1.1)d udur c r cr cr cr cuudtdt1112111()i riidtuc2021-11-23機(jī)械工程注意雖然電路又兩個(gè)雖然電路又兩個(gè)rc電路所組成，但不能把它看作兩電路所組成，但不能把它看作兩個(gè)獨(dú)立的個(gè)獨(dú)立的rc電路的連接。因

13、為第二級(jí)電路的電路的連接。因?yàn)榈诙?jí)電路的i2 要影響要影響第一級(jí)電路的第一級(jí)電路的u1，列寫方程式應(yīng)考慮這個(gè)影響。這種，列寫方程式應(yīng)考慮這個(gè)影響。這種后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響叫做后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響叫做負(fù)載效應(yīng)負(fù)載效應(yīng)。存在負(fù)載效應(yīng)。存在負(fù)載效應(yīng)時(shí)，必須把全部元件作為整體加以考慮。時(shí)，必須把全部元件作為整體加以考慮。本例如果不考慮負(fù)載效應(yīng)時(shí)，有：第一級(jí)：第二級(jí)：消去中間變量得到：顯然與前面得到的結(jié)果不同。2021-11-23機(jī)械工程 例2 圖示為電樞控制式直流電機(jī)原理圖，設(shè) 為電樞兩端的控制電壓， 為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度， 為折合到電機(jī)軸上的總的負(fù)載力矩。當(dāng)激磁不變時(shí)，用電樞控制的情況下， 為給定輸入

14、， 為干擾輸入， 為輸出。系統(tǒng)中為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)電樞兩端的反電勢(shì)； 為電動(dòng)機(jī)的電樞電流； 為電動(dòng)機(jī)的電磁力矩。 aulmaulmaim2021-11-23機(jī)械工程 (1) 輸入變量為電壓 ；輸出變量為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度 ;中間變量 ; (2)根據(jù)克希荷夫定律，電機(jī)電樞回路的方程為 式中，l，r分別為電感與電阻。當(dāng)磁通固定不變時(shí)， 與轉(zhuǎn)速 成正比，即 式中， 為反電勢(shì)常數(shù)。這樣（2.1.5）式為 根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程為aadadili reudt(2.1.5)(2.1.5)ddekaadadili rkudtldjmmdt(2.1.6)(2.1.6)(2.1.7)(2.1.7)de

15、alum、adie、dk2021-11-23機(jī)械工程 式中，j為轉(zhuǎn)動(dòng)部分折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)激磁磁通固定不變時(shí)，電動(dòng)機(jī)的電磁力矩與電樞電流成正比。即 式中，km為電動(dòng)機(jī)電磁力矩常數(shù)（3）消除中間變量將（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了與轉(zhuǎn)速成正比的阻尼力矩。應(yīng)用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中間變量ia，可得令 ，則上式為 式（2.1.11）即為電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型。由式可見，轉(zhuǎn)速既由ua控制，又受ml影響。m amk i(2.1.82.1.8)m aldjk imdt(2.1.92.1.9)221laldmdmddmdmdmddljrjlrumk

16、 kk kkk kk kdtdtdt (2.1.10)(2.1.10),(),1,admmddmml rt rjk ktkc tjc22lammdamamldmddt ttc uc tc mdtdtdt (2.1.11)(2.1.11)2021-11-23機(jī)械工程二微分方程的增量化表示二微分方程的增量化表示 前面從數(shù)學(xué)角度討論了系統(tǒng)的模型。下面是考慮工程實(shí)際進(jìn)一步討論模型。 (1)電動(dòng)機(jī)處于平衡狀態(tài)，變量各階導(dǎo)數(shù)為零，微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程： 此時(shí)，對(duì)應(yīng)輸入輸出量可表示為： 則有 這就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)。 damlc uc m（2.1.122.1.12） 0aauu0llmm0000damlc uc

17、m（2.1.132.1.13）2021-11-23機(jī)械工程 （2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)并不能長(zhǎng)期穩(wěn)定，閉環(huán)控制系統(tǒng)的任務(wù)就是要系統(tǒng)工作在穩(wěn)態(tài)。當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，輸出量相應(yīng)變化，輸入輸出量可以記為： 則式（2.1.11）可記為： 考慮到 ，上式可變?yōu)?2.14 式的意義是：對(duì)于定值控制系統(tǒng)，總是工作在設(shè)定值即穩(wěn)態(tài)或平衡點(diǎn)附近，將變量的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在該平衡點(diǎn)，則微分方程轉(zhuǎn)換為增量方程，它同樣描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，但它由于不考慮初始條件，求解及分析時(shí)方便了許多。 000damlc uc m22lammdamamld mddt ttcuc tcmdtdtdt (2.1.14)(2.1.14)20000002()

18、()()()()()lla mmdaam amllddd mmtttc uuc tc mmdtdtdt0aaauuu0lllmmm02021-11-23機(jī)械工程2控制系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立3線性定常微分方程的求解線性定常微分方程的求解初值定理：初值定理：終值定理終值定理:例：例：例：例：2021-11-23機(jī)械工程三非線性微分方程的線性化三非線性微分方程的線性化某些非線性系統(tǒng)，可以在一定條件下，進(jìn)行線性化。圖2.1.3是一個(gè)液壓伺服系統(tǒng)，下面通過(guò)它討論線性化問(wèn)題。2021-11-23機(jī)械工程 (1)輸入變量為閥心位移x；輸出變量為活塞位移y;中間變量 (2)按照液壓原理建立動(dòng)

19、力學(xué)方程 負(fù)載動(dòng)力學(xué)方程為 流量連續(xù)性方程為 q與p一般為非線性關(guān)系 mycyappq、qay( , )qq x p(2.1.15)(2.1.15) (2.1.16)(2.1.16) (2.1.17) (2.1.17)2021-11-23機(jī)械工程（3）線性化處理 將(2.17)在工作點(diǎn)領(lǐng)域做泰勒展開，當(dāng)偏差很小時(shí)，可略去展開式的高階項(xiàng)，保留一次項(xiàng)，并取增量關(guān)系，有： 式中 則(2.18)可以寫成 當(dāng)系統(tǒng)在預(yù)定工作條件 ， ， 下工作 即分別為q,x,p,故（2.1.19）可以寫為0000( , )(,)()()oox xx xppppqqqq x pq xpxpxp (2.1.18)(2.1.

20、18)0 xxx 0ppp qcqkxkp (2.1.192.1.19)00(,)0q xp00 x 00p ,qxpqcqk xk p (2.1.202.1.20)2021-11-23機(jī)械工程 （4）消除中間變量 由(2.20)可得 整理后可得線性化后的動(dòng)力學(xué)方程為：1()qcpk xqk2()qccakamycyxkk(2.1.21)(2.1.21)(2.1.22)(2.1.22)2021-11-23機(jī)械工程 圖圖2.1.4 q,p,x2.1.4 q,p,x三者線性關(guān)系三者線性關(guān)系2021-11-23機(jī)械工程 小偏差線性化時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： （1）必須明確系統(tǒng)工作點(diǎn)，因?yàn)椴煌墓ぷ鼽c(diǎn)所得線

21、性化方程的系數(shù)不同。本題中參數(shù)在預(yù)定工作點(diǎn)的值均為零 （2）如果變量在較大范圍內(nèi)變化，則用這種線性化方法建立的數(shù)學(xué)模型，在除工作點(diǎn)外的其它工況勢(shì)必有較大的誤差。所以非線性模型線性化是有條件的，即變量偏離預(yù)定工作點(diǎn)很小。 （3）如果非線性函數(shù)是不連續(xù)的（即非線性特性是不連續(xù)的），則在不連續(xù)點(diǎn)附近不能得到收斂的泰勒級(jí)數(shù)，這時(shí)就不能線性化。 （4）線性化后的微分方程是以增量為基礎(chǔ)的增量方程。 2021-11-23機(jī)械工程 2.2 2.2 系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論最基本的數(shù)學(xué)工具。1.微分方程轉(zhuǎn)化傳統(tǒng)函數(shù)：將實(shí)數(shù)域中的微分、積分運(yùn)算化為復(fù)數(shù)域中的代數(shù)運(yùn)算，簡(jiǎn)化了分析、設(shè)計(jì)中的計(jì)

22、算工作量。2.傳統(tǒng)函數(shù)導(dǎo)出頻率特性：在頻域?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì). 一. 定義定義 輸入、輸出的初始條件為零，線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件）的輸出 的laplace變換 與輸入 的laplace變換 之比，稱為該系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件）的傳遞函數(shù)g(s)。( )ix t0( )xs0( )x t( )ix s2021-11-23機(jī)械工程 數(shù)學(xué)說(shuō)明數(shù)學(xué)說(shuō)明：線性定常系統(tǒng)微分方程如下：線性定常系統(tǒng)微分方程如下： 輸入、輸出的初始條件均為零時(shí)，作輸入、輸出的初始條件均為零時(shí)，作laplacelaplace變換可得：變換可得： 由定義可得：由定義可得： 將式（將式（2.2.32.2.3）畫成方框圖，如圖）畫成方框

23、圖，如圖2.2.12.2.1所示。所示。 圖2.2.1 系統(tǒng)框圖 則： ( 2.2.4)( 2.2.4)1111011011()( )() ( ),nnmmnnomminnmmddddddaaaax tbbbb x tdtdtdtdtdtdt(2.2.1)(2.2.1)111100110()( )()( )nnmmnnmmia sasa saxsb sbsb sbx s(2.2.22.2.2)110101110( )( )( ),. ( )( )mmmmsnniinnsl x tb sbsbbxsg snml x tx sa sasaa(2.2.32.2.3)( )g s( )ix s( )o

24、xs( )( )( )ixsg s x s2021-11-23機(jī)械工程二二. .零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù) g(sg(s) )因式分解因式分解： k為常數(shù)當(dāng) 時(shí)，均能使g（s）=0,故稱 為g(s)g(s)的零點(diǎn)的零點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)，均能使g（s）取極值： 故稱 為為g(s)g(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn) 1.g(s)的分母系數(shù)與微分方程左邊系數(shù)是一致的，是系統(tǒng)的本質(zhì)參數(shù)；2.極點(diǎn)方程與微分方程的特征方程是一致的，極點(diǎn)即微分方程的特征根；3.當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)一定時(shí)，系統(tǒng)的零、極點(diǎn)決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。1212()().()( )( ),( )()().()mink szszszxsg snmx s

25、spspsp(1,2,.,)jszjm(1,2,.,)jzjm(1,2,., )isp inlim( )ispg s (1,2,., )ip in2021-11-23機(jī)械工程 放大系數(shù)是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出與輸入之比放大系數(shù)是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出與輸入之比。當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù) 由終值定理可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為：由終值定理可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為： g(0)g(0)分別由定義及分解式得：分別由定義及分解式得： 放大系數(shù)為放大系數(shù)為g(0)g(0) ，它由微分方程的常數(shù)項(xiàng)決定。，它由微分方程的常數(shù)項(xiàng)決定。 系統(tǒng)響應(yīng)：系統(tǒng)響應(yīng)：已知輸入的情況下，可由微分方程求解；可由傳已知輸入的情況下，可由微分

26、方程求解；可由傳遞函數(shù)求出輸出的拉氏變換，再進(jìn)行拉氏反變換求得。遞函數(shù)求出輸出的拉氏變換，再進(jìn)行拉氏反變換求得。( )1ix t ( )1/ix ss則有000lim( )lim( )lim( )( )lim( )(0)ooitsssx tsxssg s x sg sg001212()().()(0)()().()bmankzzzgppp2021-11-23機(jī)械工程三典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)三典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)：典型環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)和延時(shí)環(huán)節(jié)。系統(tǒng)總可以分解為典型節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)和延時(shí)環(huán)節(jié)。系統(tǒng)總可以分解為典型環(huán)節(jié)組成。環(huán)

27、節(jié)組成。 下面介紹這些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其推導(dǎo)下面介紹這些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其推導(dǎo)： 2021-11-23機(jī)械工程1比例環(huán)節(jié)（或稱放大環(huán)節(jié)，無(wú)慣性環(huán)節(jié)，零階環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)（或稱放大環(huán)節(jié)，無(wú)慣性環(huán)節(jié)，零階環(huán)節(jié)）輸出不失真也不延遲而按比例反映輸入的環(huán)節(jié)輸出不失真也不延遲而按比例反映輸入的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，其動(dòng)力學(xué)方程為：稱為比例環(huán)節(jié)，其動(dòng)力學(xué)方程為：k k為環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。其傳遞函數(shù)為為環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。其傳遞函數(shù)為：( )( ),ix tkx t( )( ).( )ix sg skx s （2.2.52.2.5） 2021-11-23機(jī)械工程2 2、慣性環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）、慣性環(huán)節(jié)（或一

28、階慣性環(huán)節(jié)） 動(dòng)力學(xué)方程為一階微分方程動(dòng)力學(xué)方程為一階微分方程 的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為： 式中，式中，k k為放大系數(shù)；為放大系數(shù)；t t為慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)，慣性環(huán)節(jié)的方為慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)，慣性環(huán)節(jié)的方框圖如圖框圖如圖2.2.42.2.4所示。所示。itxxkx( ),1kg sts（2.2.62.2.6） 圖2.2.4慣性環(huán)節(jié)2021-11-23機(jī)械工程3 3微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 具有輸出正比于輸入的微分，即具有具有輸出正比于輸入的微分，即具有 的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)，顯然，其傳遞函數(shù)為：的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)，顯然，其傳遞函數(shù)為： 式中，式中，t t為微分環(huán)節(jié)的

29、時(shí)間常數(shù)，微分環(huán)節(jié)的方框?yàn)槲⒎汁h(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，微分環(huán)節(jié)的方框圖如圖圖如圖2.2.72.2.7所示所示( )( )oix ttx t( )( )( )oixsg stsx s（2.2.72.2.7）圖2.2.7微分環(huán)節(jié)2021-11-23機(jī)械工程4、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 具有輸出正比于輸入對(duì)時(shí)間的積分，即具有具有輸出正比于輸入對(duì)時(shí)間的積分，即具有 的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，顯然，其傳遞函數(shù)為：的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，顯然，其傳遞函數(shù)為： 式中，式中，t t為積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，積分環(huán)節(jié)的方框?yàn)榉e分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，積分環(huán)節(jié)的方框圖如圖圖如圖2.3.132.3.13所示。所示。1( )( )oix tx t dtt( )1( )( )oixsg sx sts圖2.2.13 積分環(huán)節(jié)（2.2.82.2.8） 2021-11-23機(jī)械工程5 5、振蕩環(huán)節(jié)（或稱二階振蕩環(huán)節(jié)）、振蕩環(huán)節(jié)（或稱二階振蕩環(huán)節(jié)） 振蕩環(huán)節(jié)是二階環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為振蕩環(huán)節(jié)是二階環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為： 或?qū)懗?為無(wú)阻尼固有頻率；為無(wú)阻尼固有頻率；t t為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)， 為阻尼比。方框圖見圖為阻尼比。方框圖見圖2.2.172.2.17。 階躍輸入時(shí)，輸出有兩種情況階躍輸入時(shí)，輸出有兩種情況： （1 1）當(dāng)）當(dāng)0101g s g s h s1|( )( )