第3章 平穩(wěn)時(shí)間序列分析(1)

1、第3章 平穩(wěn)時(shí)間序列分析本章教學(xué)內(nèi)容與要求：了解時(shí)間序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA模型的性質(zhì)；掌握時(shí)間序列建模的方法步驟及預(yù)測(cè)；能夠利用軟件進(jìn)行模型的識(shí)別、參數(shù)的估計(jì)以及序列的建模與預(yù)測(cè)。本章教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：利用軟件進(jìn)行模型的識(shí)別、參數(shù)的估計(jì)以及序列的建模與預(yù)測(cè)。計(jì)劃課時(shí)：21（講授16課時(shí)，上機(jī)3課時(shí)、習(xí)題3課時(shí)）教學(xué)方法與手段：課堂講授與上機(jī)操作§3.1 方法性工具一個(gè)序列經(jīng)過預(yù)處理被識(shí)別為平穩(wěn)非白噪聲序列，那就說明該序列是一個(gè)蘊(yùn)含著相關(guān)信息的平穩(wěn)序列。在統(tǒng)計(jì)上，我么通常是建立一個(gè)線性模型來擬合該序列的發(fā)展，借此提取該序列中的有用信息。ARMA(auto regress

2、ion moving average)模型是目前最常用的一個(gè)平穩(wěn)序列擬合模型。時(shí)間序列分析中一些常用的方法性工具可以使我們的模型表達(dá)和序列分析更加簡(jiǎn)潔、方便。一、差分運(yùn)算（一）p階差分相距一期的兩個(gè)序列值之間的減法運(yùn)算稱為1階差分運(yùn)算。記為的1階差分：對(duì)1階差分后的序列再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱為2階差分，記2為的2階差分：2=-以此類推，對(duì)p-1階差分厚序列再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱為p階差分。記p為的p階差分：p=p-1-p-1（二）k步差分相距k期的兩個(gè)序列值之間的減法運(yùn)算稱為k步差分運(yùn)算。記k為的k步差分：k=例：簡(jiǎn)單的序列：6，9，15，43，8，17，20，38，4，10，1階差分：

3、，即1階差分序列：3，6，28，-35，9，3，18，-34，6，2階差分：2=-=32=-=222=-=-40即2階差分序列2：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，2步差分：2 2 2即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28二、延遲算子（滯后算子）（一）定義延遲算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過去撥去了一個(gè)時(shí)刻。記B為延遲算子，有（二）性質(zhì)1.2.3.若c為任一常數(shù)，有4.對(duì)任意兩個(gè)序列和，有5.，其中（三）用延遲算子表示差分運(yùn)算1.p階差分p=例如上例中，2xt=C20xt-C21xt-1+C22x

4、t-2因此，2x3=x3-2x2+x1=15-18+6=32x4=x4-2x3+x2=43-30+9=222.k步差分k =三、線性差分方程在實(shí)踐序列的時(shí)域分析中，線性差分方程是非常重要的，也是極為有效的工具，事實(shí)上，任何一個(gè)ARMA模型都是一個(gè)現(xiàn)象差分方程。因此，ARMA模型的性質(zhì)往往取決于差分方程的性質(zhì)。為了更好地討論ARMA模型的性質(zhì)，先簡(jiǎn)單介紹差分方程的一般性質(zhì)。常系數(shù)微分方程是描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性工具，相應(yīng)的，描述離散型時(shí)間系統(tǒng)的主要工具就是常系數(shù)差分方程。（一）線性差分方程的定義定義：稱如下形式的方程為序列的線性差分方程： （1）式中，為實(shí)數(shù)；為t的已知函數(shù)。特別地，若，則差分

5、方程 （2） 稱為齊次線性差分方程。否則，成為非齊次線性差分方程。（一） 齊次線性差分方程的解設(shè)Zt=t,帶入齊次線性差分方程（2）得，t+a1t-1+apt-p=0，方程兩邊同除以t-p，得特征方程 p+a1p-1+ap=0 （3）這是一個(gè)一元p次方程，應(yīng)該至少有p個(gè)非零實(shí)根，稱這p個(gè)實(shí)根為特征方程（3）的特征根，不防記作1、2、p.特征根的取值情況不同，齊次線性差分方程的解會(huì)有不同的表達(dá)形式。1、 1、2、p為p個(gè)不同的實(shí)根，（2）的解為 zt=c11t+c22t+cppt，c1、c2、cp為任意常數(shù)。2、 1、2、p中有相同實(shí)根。假設(shè)1、2、d為d個(gè)相同實(shí)根，d+1、d+2、p為不同實(shí)根

6、，則（2）的解為zt=(c1+c2t+cdtd-1)+cd+1d+1t+cd+2d+2t+cppt，c1、c2、cp為任意常數(shù)。3、1、2、p中有復(fù)根（自己看）（三）非齊次線性差分方程的解線性差分方程（1）的解是齊次線性差分方程（2）的通解+非齊次線性差分方程（1）的一個(gè)特解構(gòu)成。例1、 求解以下線性差分方程zt-6zt-1+9zt-2=0設(shè)Zt=t代人得 t-6t-1+9t-2=0，同除以t-2得 2-6+9=0，得1=2=3所以，齊次方程zt-6zt-1+9zt-2=0的通解為zt=c11t+c22t=c1+c23t例2、求解以下線性差分方程zt-3zt-1+2zt-2=3t(1) 、求齊

7、次方程zt-3zt-1+2zt-2=0的通解設(shè)Zt=t代人得 t-3t-1+2t-2=0，同除以t-2得 2-3 +2=0，得1=1，2=2所以，齊次方程zt-3zt-1+2zt-2=0的通解為zt=c11t+c22t=c1+c22t(2) 、求非齊次方程zt-3zt-1+2zt-2=3t的特解（非唯一，求解方式可多種，只要找到一個(gè)解滿足方程即可）設(shè)zt=c3t代入原方程得：c3t-3c3t-1+2c3t-2=3t 2c=9,c=9/2，即zt=4.53t為原方程的一個(gè)特解（3）、所以原方程的解Zt=c1+c22t+4.5*3t四、時(shí)間序列模型與線性差分方程（意義）線性差分方程在實(shí)際序列分析中

8、有重要的應(yīng)用，常用的時(shí)序模型和某些模型自協(xié)方差函數(shù)合自相關(guān)系數(shù)都可以視為線性差分方程，而線性差分方程對(duì)應(yīng)的特征根的性質(zhì)對(duì)判斷模型的平穩(wěn)性有非常重要的意義。§3.2 ARMA模型的性質(zhì)一、AR模型（一）定義：具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為p階自回歸模型，簡(jiǎn)記為AR(P)：1.AR(P)的三個(gè)限制條件：（1），保證了模型的最高階數(shù)為p。（2），要求隨機(jī)干擾序列為零均值白噪聲序列。（3），說明當(dāng)期的隨機(jī)干擾與過去的序列值無關(guān)。通常情況下，記AR(P)模型為2. 中心化的AR(P)模型如果則以上自回歸模型稱為中心化的AR(P)模型：，后面的分析都是針對(duì)中心化的模型進(jìn)行的。3.用延遲算子表示AR(P)

9、： 成為p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。自回歸模型描述了后一時(shí)刻的行為與前面時(shí)刻的行為有關(guān)。（二）格林函數(shù)（Green函數(shù)）設(shè)為平穩(wěn)AR(P)模型的特征根，即的特征根。任取帶入特征方程：設(shè)為特征多項(xiàng)式的根。任取帶入方程得：，兩邊同時(shí)除以得:可見，AR(P)模型自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根是齊次線性差分方程的特征根的倒數(shù)。即由為特征多項(xiàng)式的根可知所以， （為常數(shù)） 稱為格林函數(shù)，代入原模型得，可見，格林（Green）函數(shù)是前j個(gè)時(shí)刻以前進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)現(xiàn)在的行為即序列值影響的權(quán)數(shù)。根據(jù)待定系數(shù)法（略）可以推出格林函數(shù)的遞推公式：其中，例如：對(duì)于AR(1)模型，P=1 對(duì)于AR(2)模型，P=2練習(xí)AR(3

10、)模型格林函數(shù)。AR(3)：P=3（二） AR模型平穩(wěn)性判別要擬合一個(gè)平穩(wěn)序列，用來擬合的模型顯然應(yīng)該是平穩(wěn)的，AR模型是常用的用來擬合平穩(wěn)序列的模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的，因此需要判別模型的平穩(wěn)性。例如，考察如下四個(gè)模型的平穩(wěn)性（1） （2）（3） （4）擬合這四個(gè)序列的序列值，并繪制時(shí)序圖，可初步判斷（1）、（3）平穩(wěn)，（2）、（4）不平穩(wěn)（見教材圖形）。時(shí)序圖檢驗(yàn)比較粗糙，準(zhǔn)確的方法有以下兩種：特征根判別與自回歸系數(shù)判別法。1.特征根判別對(duì)于一個(gè)自回歸系統(tǒng)（格林函數(shù)表示法）要使平穩(wěn)，必須是隨著j，擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)的以下逐漸減少，直至趨于0，即系統(tǒng)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)回到均衡位置，那么該系

11、統(tǒng)就是穩(wěn)定的，因此用格林函數(shù)表示就是limj=0 i<1時(shí)，才能使limj=0，即特征根都在單位圓內(nèi)，或者的根都在單位圓外。 這就是說，要判斷一個(gè)模型是否平穩(wěn)，需解氣特征方程，判斷特征根的情況。那么，是否可以直接從模型額形式或自回歸系數(shù)的大小來判斷？2.自回歸系數(shù)判別法及平穩(wěn)域的概念（1）對(duì)于AR(1)模型：特征方程為-1=0，=1，由<1得，1<1時(shí)，模型平穩(wěn)，平穩(wěn)域?yàn)?1<1<1（2）對(duì)于AR(2)模型特征方程為2-1-2=0，根據(jù)AR(2)模型平穩(wěn)的條件1<1，2<1由根與系數(shù)的關(guān)系得，1+2=1，12=-2則2=12<1 （1） 1<

12、;1,11-2<1-2,即1-12<1-2，1+2-12<1即1+2<1 （2） 又1>-1,-1+2<11+2，-1+2-12<1即1-2<1 （3）以上（1）、（2）、（3）三個(gè)條件的圖形為22-1=021-1-11-12-1=0圖中陰影部分為AR(2)模型的平穩(wěn)域，即模型平穩(wěn)時(shí)自回歸系數(shù)1和2所滿足的條件構(gòu)成的區(qū)域。例：分別用用特征根與自回歸系數(shù)法判別以下四個(gè)模型的平穩(wěn)性。（1） 1.特征根法：-0.8=0 =0.8 <1,所以該模型平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法：1=0.8<1，所以模型平穩(wěn)（2）1.特征根法：+1.1=0 =-1.1

13、>1,所以該模型不平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法：1=1.1>1，所以模型不平穩(wěn)（3） 2=0.5<1， 2-1=-0.5-1=-1.5<12+1=-0.5+1=0.5<1 所以模型平穩(wěn)（4）1.特征根法：2-0.5=0 1=1+32 , 2=1-32 , 1>1 ,所以該模型不平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法： 2=0.5<1， 2-1=0.5-1=-0.5<12+1=0.5+1=1.5>1 所以模型不平穩(wěn)可見于圖形檢驗(yàn)是一致的。（四）平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)1均值 Ext=,tT,平穩(wěn)兩邊取期望：，得 =01-1-2-p對(duì)于中心化的AR(p)模型，由于0=0，

14、所以均值=02.方差 xt, 取方差Var(xt）對(duì)于平穩(wěn)序列，由于j時(shí)，Gj收斂，所以j=0Gj2存在所以，平穩(wěn)序列xt方差有界，等于常數(shù)j=0Gj22.例：求AR(1)模型的方差由前面可知，AR(1)模型的格林函數(shù)為Gj=1j,所以方差Var(xt）=1+12+122+123 =1-12AR(2)模型的方差（略）Var(xt）=1-21+21-1-2（1+1-2）3.協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)模型兩邊同時(shí)乘以xt-k, k1,再取期望得：，因?yàn)樗?，自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為：k=1k-1+2k-2+pk-p例1：求平穩(wěn)AR(1)模型的自協(xié)方差函數(shù)遞推公式為：k=1k-1=12k-2=1k00=21-

15、12 =1k21-12，k1例2：求平穩(wěn)AR(2)模型的自協(xié)方差函數(shù)遞推公式為：k=1k-1+2k-2，k1當(dāng)k=1時(shí)，1=10+2-1（-1=1，自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)系數(shù)的對(duì)稱性） 1=101-2，0=1-21+21-1-2（1+1-2）所以，0=1-21+21-1-21+1-2 1=101-2=11+21-1-21+1-2 k=1k-1+2k-2，k24.自相關(guān)函數(shù)拖尾（1）遞推公式：由于k=k0，在自協(xié)方差等式兩邊同時(shí)除以方差函數(shù)0，就得到自相關(guān)系數(shù)的遞推公式：k=1k-1+2k-2+pk-p例1：求平穩(wěn)AR(1)模型的自相關(guān)系數(shù)因?yàn)椋簁=1k0，所以k=k0=1k，k0例2：求平穩(wěn)AR

16、(2)模型的自相關(guān)系數(shù) 0=1 1=11-2 k=1k-1+2k-2，k2（2）自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1）拖尾性：k始終有非零取值，不會(huì)在k大于某個(gè)常數(shù)之后恒等于02）負(fù)指數(shù)衰減：隨著時(shí)間的推移，k會(huì)迅速衰減，衰減速度為k（負(fù)指數(shù)：|i|<1，短期相關(guān)性），為k=0的特征根，k可視為p階齊次差分方程。例：考察下面四個(gè)AR模型的自相關(guān)圖（1） （2）（3） （4）由以上判斷可知以上四個(gè)模型均平穩(wěn)，擬合其自相關(guān)圖，均呈現(xiàn)出拖尾性和負(fù)指數(shù)衰減的特征。見教材54頁。5.偏自相關(guān)函數(shù)截尾（1）含義：對(duì)于平穩(wěn)的AR(p)模型，滯后k自相關(guān)系數(shù)k實(shí)際上并不是xt與xt-k之間單純的相關(guān)關(guān)系，因?yàn)閤t同時(shí)還受

17、到中間k-1個(gè)隨機(jī)變量xt-1、xt-2、xt-（k-1）的影響，而這k-1個(gè)隨機(jī)變量又都和xt-k具有相關(guān)關(guān)系，所以，自相關(guān)系數(shù)k實(shí)際摻雜了其他變量對(duì)xt與xt-k關(guān)系的影響，偏自相關(guān)系數(shù)則是單純測(cè)度xt-k對(duì)xt的影響。具體說，對(duì)于平穩(wěn)序列xt，滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個(gè)隨機(jī)變量xt-1、xt-2、xt-（k-1）的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后，xt-k對(duì)xt的影響的相關(guān)度量。可見，偏自相關(guān)系數(shù)的定義與回歸分析中偏回歸系數(shù)的定義非常相似，因此可以從線性回歸的角度，得到偏自相關(guān)系數(shù)的另一層含義。（2）計(jì)算假定xt為中心化平穩(wěn)序列，用過去的k期序列值x

18、t-1、xt-2、xt-k對(duì)xt作k階自回歸擬合，即：由以上分析可知，即為排除中間k-1個(gè)變量xt-1、xt-2、xt-（k-1）的干擾之后，xt-k對(duì)xt的影響的單純度量，因此可根據(jù)回歸系數(shù)的求法求出的值（過程略）對(duì)于AR(1)模型 對(duì)于AR(2)模型 kk=1, k=10, &k2 kk=11-2, k=1 2 , &k=20, k3（3）偏自相關(guān)系數(shù)p步截尾性可以證明，偏自相關(guān)系數(shù)具有p步截尾性的特征，前面學(xué)過AR(p)模型自相關(guān)系數(shù)具有拖尾性，這是兩條判斷AR(p)模型的主要依據(jù)，即如果模型自相關(guān)系數(shù)k具拖尾偏自相關(guān)系數(shù)kkp步截尾 則該模型為p階自回歸模型。例，考察如

19、下四個(gè)平穩(wěn)AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)（1） （2）（3） （4）序號(hào)模型kk(p步截尾)k（拖尾）1 kk=1=0.8, k=10, &k2k=1k=0.8k,k02 kk=1=-0.8,k=10, &k2k=1k=(-0.8)k,k03 kk=11-2=23, k=1 2=-0.5, &k=20, k3k=1, k=0 11-2=23, & k=10k=1k-1+2k-2 k24 kk=11-2=-23, k=1 2=-0.5, &k=20, k3k=1, k=0 11-2=-23, & k=10k=1k-1+2k-2 k2見教材58頁四個(gè)模

20、型的偏自相關(guān)系數(shù)圖。(計(jì)算課后98頁第3題)，作業(yè)：匯總AR(1)、AR(2)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，包括均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)。統(tǒng)計(jì)性質(zhì)AR(1) :AR(2): Ext01-1=001-1-2=0Var(xt）1-121-21+21-1-2（1+1-2）k1k21-120=1-21+21-1-21+1-2 1=101-2=11+21-1-21+1-2 k=1k-1+2k-2，k2k1k 0=1 1=11-2 k=1k-1+2k-2，k2 kk kk=1, k=10, &k2 kk=11-2, k=1 2 , &k=20, k3二、MA模型（一）定義1.定

21、義：具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為q階移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為MA(q)：2. MA(q)的限制條件：（1），保證了模型的最高階數(shù)為q。（2），要求隨機(jī)干擾序列為零均值白噪聲序列。2. 中心化的MA(q)模型如果則以上移動(dòng)平均模型稱為中心化的MA(q)模型：，后面的分析都是針對(duì)中心化的模型進(jìn)行的。3.用延遲算子表示MA(q)： 成為q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。（二）MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)1.常數(shù)均值當(dāng)q<時(shí)(有限階)，當(dāng)時(shí)，2.常數(shù)方差3.自協(xié)方差函數(shù)只與滯后階數(shù)相關(guān)，且q階截尾k=Ext.xt-k=Et-1t-1-qt-q(t-k-1t-k-1-qt-k-q)=1+12+q22, k=0-k+i=1q-k

22、ik+i2, 1kq0 k>q例如：MA（1）xt=t-1t-1 k=1+122, k=0-12, k=10 k>1MA（2）模型：xt=t-1t-1-2t-2k=1+12+222, k=0-1+122, k=1-22 ， k=20 k>2 4.自相關(guān)函數(shù)q階截尾 k=k0=1, k=0,-k+i=1q-kik+i1+12+q2 1kq0 k>q例如：MA（1）xt=t-1t-1 k=k0=1, k=0-11+12, k=10 k>1MA（2）模型：xt=t-1t-1-2t-2 k=k0=1 , k=0-1+121+12+22, k=1-21+12+22， k=2

23、0 k>2 5.偏自相關(guān)函數(shù)拖尾 MA模型的 kk拖尾（證明略）綜上，得出以下結(jié)論：第一， 有限階的MA模型一定是平穩(wěn)的（因?yàn)榫岛头讲罹鶠槌?shù)）第二， MA模型kq階截尾， kk拖尾（AR模型是k拖尾， kkp階截尾）例3.6：繪制下列MA模型的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，直觀考察MA模型自相關(guān)系數(shù)的截尾性和偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾性。（1）xt=t-2t-1 （2）xt=t-12t-1（3）xt=t-45t-1+1625t-2 （4）xt=t-54t-1+2516t-2圖形見教材61頁62頁。（三）MA模型的可逆性例3.6四個(gè)MA模型中，（1）xt=t-2t-1與（2）xt=t-12t-1具

24、有相同的自相關(guān)圖，經(jīng)計(jì)算自相關(guān)系數(shù)也相同；模型（3）xt=t-45t-1+1625t-2 和（4）xt=t-54t-1+2516t-2也具有相同的自相關(guān)圖，經(jīng)計(jì)算系數(shù)也相同。即k與模型不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種自相關(guān)系數(shù)的不唯一給我們將來的工作帶來麻煩。因?yàn)閷砦覀兪峭ㄟ^樣本自相關(guān)系數(shù)顯示出額特征選擇合適的模型擬合序列的發(fā)展，如果自相關(guān)系數(shù)和模型之間不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，就導(dǎo)致序列與模型之間不是一一對(duì)應(yīng)的。為了保證一個(gè)給定的k對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)MA模型，就要給模型施加約束條件可逆性。1、可逆的定義可以驗(yàn)證。兩個(gè)MA（1）模型具有如下結(jié)構(gòu)關(guān)系時(shí)，其k相同（1）xt=t-1t-1 （2）xt=t-11t-1

25、t=xt1-1B=1+1B+1B2+1Bj+xt t=xt+1xt-1+1jxt-j+AR模型的形式要想使以上模型收斂，必須保證limj1j=0,即1<1而模型（2）可寫作t=xt1-11B，要寫成收斂的AR模型，需保證11<1，即1>1定義：若一個(gè)MA模型能夠表示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型，一個(gè)k唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆的MA模型。2、MA（q）模型的逆轉(zhuǎn)形式及可逆函數(shù)MA模型可寫作設(shè)為MA(q)模型的特征根，即的特征根。任取帶入特征方程： （1）設(shè)為特征多項(xiàng)式的根。任取帶入方程得：，兩邊同時(shí)除以得: （2）可見，MA (q)模型移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式的根是

26、齊次線性差分方程的特征根的倒數(shù)。即由為特征多項(xiàng)式的根可知所以， （為常數(shù)） 以上為MA模型的逆轉(zhuǎn)形式，即把MA模型寫作無窮階的AR模型。其中為可逆函數(shù)。同理，根據(jù)待定系數(shù)法（略）可以推出可逆函數(shù)的遞推公式：其中，例如：對(duì)于MA (1)模型，q=1 對(duì)于MA (2)模型，q=2練習(xí)MA (3)模型可逆函數(shù)。MA (3)：q=3總結(jié)：AR（p）模型的傳遞形式：是把AR模型寫作無窮階的MA模型。MA（q）模型的逆轉(zhuǎn)形式：是把MA模型寫作無窮階的AR模型3、可逆性判別（1）特征根判別對(duì)于一個(gè)移動(dòng)平均系統(tǒng)（逆轉(zhuǎn)形勢(shì)）要使可逆，即以上形式收斂，則需 limjIj=0 i<1時(shí)，才能使limjIj=0

27、，即特征根都在單位圓內(nèi)，或者的根都在單位圓外。 這就是說，要判斷一個(gè)MA模型是否可逆，需解其特征方程，判斷特征根的情況。那么，是否可以直接從模型的形式或移動(dòng)平均系數(shù)的大小來判斷？2.移動(dòng)平均系數(shù)判別法（1）對(duì)于MA (1)模型：xt=t-1t-1特征方程為-1=0，=1，由<1得，1<1時(shí)，模型可逆（2）對(duì)于MA (2)模型xt=t-1t-1-2t-2特征方程為2-1-2=0，根據(jù)MA (2)模型可逆的條件1<1，2<1由根與系數(shù)的關(guān)系得，1+2=1，12=-2則2=12<1 （1） 1<1,11-2<1-2,即1-12<1-2，1+2-12&l

28、t;1即1+2<1 （2） 又1>-1,-1+2<11+2，-1+2-12<1即1-2<1 （3）三、ARMA模型（一）定義1.定義：具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為：2.限制條件：（1），保證了模型的自回歸最高階數(shù)為p，移動(dòng)平均最高階數(shù)為q。（2），要求隨機(jī)干擾序列為零均值白噪聲序列。（3），說明當(dāng)期的隨機(jī)干擾與過去的序列值無關(guān)。2. 中心化的模型如果，則以上自回歸模型稱為中心化的ARMA(p,q)模型：，后面的分析都是針對(duì)中心化的模型進(jìn)行的。3.用延遲算子表示ARMA(p,q)： 成為p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。成為q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式當(dāng)q=0時(shí)，ARMA(p,q)模型就退化成了AR(p)模型。當(dāng)p=0時(shí)，ARMA(p,q)模型就退化成了MA(q)模型。所以，AR(p) 和MA(q)模型實(shí)際上是ARMA(p,q)模型的特例。他們統(tǒng)稱為ARMA(p,q)模型。而ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也正是AR(p