高斯隨機過程課件

1、高斯隨機過程PPT課件2.3高斯隨機過程高斯隨機過程 2.3.1定義定義 若隨機過程(t)的任意n維（n=1, 2, ）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。 其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn) 212121.)2(1Bn)(21exp.11kkkjkjnkjknjaxaxBB 式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即高斯隨機過程PPT課件B b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1 |B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且高斯隨機過程PPT課

2、件 2.3.2重要性質(zhì)重要性質(zhì) （1） 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的數(shù)學(xué)期望、 方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。 （2） 如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，由性質(zhì)（1）知，它的n維分布與時間起點無關(guān)。 所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。 （3） 如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 即對所有jk有bjk=0，這時式（2.3 - 1）變?yōu)楦咚闺S機過程PPT課件fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= (2

3、.3 - 2) 也就是說，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 那么它們也是統(tǒng)計獨立的以后分析問題時，會經(jīng)常用到高斯過程中的一維分布。例如，高斯過程在任一時刻上的樣值是一個一維高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)可表示為njjjjnjjnax122122)(exp)2(12)(exp21221jjjnjjax=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn) 高斯隨機過程PPT課件)2)(exp(21)(22axxf 式中，a為高斯隨機變量的數(shù)學(xué)期望，2為方差。f(x)曲線如圖 2 - 3所示。 由式（2.3 - 3）和圖2 - 3可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)對稱于x=a

4、這條直線。 (2) 21)()(adxxfdxxf1)(dxxf且有高斯隨機過程PPT課件圖2-3 正態(tài)分布的概率f (x)12Oax高斯隨機過程PPT課件 3） a表示分布中心，表示集中程度，f(x)圖形將隨著的減小而變高和變窄。當a=0，=1時，稱f(x)為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)。 當我們需要求高斯隨機變量小于或等于任意取值x的概率P(x)時，還要用到正態(tài)分布函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即dzazxpxFx2)(exp21)()(22 這個積分無法用閉合形式計算，我們要設(shè)法把這個積分式和可以在數(shù)學(xué)手冊上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來，一般常用以下幾種特殊函數(shù)： 高斯隨機過程PPT

5、課件（1） 誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)。 誤差函數(shù)的定義式為xtdtexerf022)( 它是自變量的遞增函數(shù)，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x)。我們稱1-erf(x)為互補誤差函數(shù)，記為erfc(x), 即 erfc(x)=1-erf(x)=dtext22 它是自變量的遞減函數(shù)，erfc(0)=1，erfc()=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。當x1時（實際應(yīng)用中只要x2)即可近似有高斯隨機過程PPT課件21)(xexxerfc （2） 概率積分函數(shù)和Q函數(shù)。 概率積分函數(shù)定義為(x)= (2.3 - 10)0,212/2xdtext 這是另一個在數(shù)

6、學(xué)手冊上有數(shù)值和曲線的特殊函數(shù)， 有()=1。 Q函數(shù)是一種經(jīng)常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數(shù)，其定義為0,21)(1)(2/2xdtexxQxt 比較式（2.3 - 8）與式（2.3 - 10）和式（2.3 - 11）， 可得 高斯隨機過程PPT課件)2(21)(xerfcxQ)2(1 2)2(2)(xxQxerfc 現(xiàn)在讓我們把以上特殊函數(shù)與式（2.3 - 6）進行聯(lián)系， 以表示正態(tài)分布函數(shù)F(x)。 若對式（2.3 - 6）進行變量代換，令新積分變量t=(z-a)/， 就有dz=dt，再與式（2.3 - 10）聯(lián)系，則有 F(x)= (2.3 - 15)若對式（2.3 - 6）進行變

7、量代換， 令新積分變量t=(z-a)/ ，就有dz= dt，再利用式（2.3 - 5），則不難得到 22ax高斯隨機過程PPT課件 用誤差函數(shù)或互補誤差函數(shù)表示F(x)的好處是，它簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。 F(X)=時當axaxerf),2(2121時當axaxerf),2(211高斯隨機過程PPT課件 2.3.3高斯白噪聲高斯白噪聲 信號在信道中傳輸時， 常會遇到這樣一類噪聲， 它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即 P()= (2.3 - 17)這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。 式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即20n R()= )(20n高斯隨機過程PPT課件 這說明，白噪聲只有在=0時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。圖 2 - 4 畫出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖形。 如果白噪聲又是高斯分布的， 我們就稱之為高斯白噪聲。 由式（2.3 - 18）可以看出，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相