第3章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題解答

1、習(xí)題3-1 一汽車發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸的轉(zhuǎn)速在12s內(nèi)由每分鐘1200轉(zhuǎn)勻加速地增加到每分鐘2700轉(zhuǎn)，求：（1）角加速度；（2）在此時(shí)間內(nèi)，曲軸轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？解：（1） 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（2） 3-2 一飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,在時(shí)角速度為，此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程。阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)。求：（1）當(dāng)時(shí),飛輪的角加速度；（2）從開始制動(dòng)到所需要的時(shí)間。解：（1）依題意 （2）由 得 3-3 如圖所示， 發(fā)電機(jī)的輪A由蒸汽機(jī)的輪B通過皮帶帶動(dòng)。兩輪半徑=30cm，75cm。當(dāng)蒸汽機(jī)開動(dòng)后，其角加速度rad/s2，設(shè)輪與皮帶之間沒有滑動(dòng)。求（1）經(jīng)過多少秒后發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速達(dá)到=600rev/min？（2

2、）蒸汽機(jī)停止工作后一分鐘內(nèi)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速降到300rev/min，求其角加速度。解：（1） 因?yàn)檩喓推еg沒有滑動(dòng)，所以A、B兩輪邊緣的線速度相同，即又 聯(lián)立得（2） 3-4 一個(gè)半徑為1.0m的圓盤，可以繞過其盤心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一根輕繩繞在圓盤的邊緣，其自由端懸掛一物體。若該物體從靜止開始勻加速下降，在2.0s內(nèi)下降的距離0.4m。求物體開始下降后第3秒末，盤邊緣上任一點(diǎn)的切向加速度與法向加速度。解：物體下落的加速度又 ，得圓盤的角加速度 第3秒末，圓盤的角速度所以 3-5 一個(gè)砂輪直徑為0.4m，質(zhì)量為20kg，以每分鐘900轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。撤去動(dòng)力后，一個(gè)工件以100N的正壓力作用

3、在砂輪邊緣上，使砂輪在11.3s內(nèi)停止，求砂輪和工件的摩擦系數(shù)(忽略砂輪軸的摩擦)。解： 其中 ，得， 即又，得3-6 如圖所示，質(zhì)量為的勻質(zhì)圓環(huán)，半徑為，當(dāng)它繞通過環(huán)心的直徑軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。習(xí)題3-6圖習(xí)題3-3圖解：方法一：設(shè)過環(huán)心且垂直于圓環(huán)所在平面的軸線為軸，過環(huán)心的兩條互相垂直的直徑分別為軸和軸，根據(jù)垂直軸定理由對(duì)稱性可知，又得方法二：，其中3-7 如圖所示，長為的勻質(zhì)細(xì)棒，質(zhì)量為，未端固定一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)它繞過棒中點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。習(xí)題3-8圖習(xí)題3-7圖解:3-8 如圖所示，從質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)薄圓板上挖去一個(gè)半徑為的圓孔，圓孔的中心位于半徑的中點(diǎn)

4、。求此時(shí)圓板對(duì)于原板中心且與板面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：可以把帶孔的圓板看成均勻的完整圓板減去一個(gè)跟圓孔大小一致的圓板，即，其中得3-9 如圖所示，把兩根質(zhì)量均為，長為的勻質(zhì)細(xì)棒一端焊接相連，其夾角，取連接處為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)細(xì)棒所在的平面為平面，求此結(jié)構(gòu)分別對(duì)軸、軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。習(xí)題3-10圖習(xí)題3-9圖解：（1）, 其中，即（2）, 其中, ，所以(3) 或 3-10 如圖所示，在邊長為的正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)上各固定一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，設(shè)這正六邊形放在平面內(nèi)，求：（1）對(duì)軸、軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）對(duì)過中心且平行于的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：（1）（2）或根據(jù)平行軸定理3-11 勻質(zhì)圓盤質(zhì)量為、半徑

5、為，放在粗糙的水平桌面上，繞通過盤心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為，已知圓盤與桌面的摩擦系數(shù)為，問經(jīng)過多長時(shí)間后圓盤靜止？解：可以把圓盤看成由許許多多的小圓環(huán)組成，其中半徑為、寬度的質(zhì)量為 ，其中，受到的摩擦力矩為所以整體圓盤受到的摩擦力矩為又， 常量3-12如圖所示，斜面傾角為，位于斜面頂端的卷揚(yáng)機(jī)鼓輪半徑為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、受到的驅(qū)動(dòng)力矩，通過繩索牽引斜面上質(zhì)量為的物體，物體與斜面間摩擦系數(shù)為，求重物上滑的加速度。繩與斜面平行，不計(jì)繩質(zhì)量。習(xí)題3-13圖習(xí)題3-12圖解：得 3-13 如圖所示，兩物體質(zhì)量分別為和，定滑輪的質(zhì)量為、半徑為，可視作均勻圓盤。已知與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求下落的加速度

6、和兩段繩子中的張力各是多少？設(shè)繩子和滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸受的摩擦力忽略不計(jì)。 解: 得 3-14 如圖所示的飛輪制動(dòng)裝置，飛輪質(zhì)量600kg，半徑0.25m，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900rev/min。閘桿尺寸如圖示，閘瓦與飛輪間的摩擦系數(shù)，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算，現(xiàn)在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力，問飛輪將在多長時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)?在這段時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)？習(xí)題3-14圖習(xí)題3-15圖解：設(shè)作用在飛輪上的壓力為，則有 ，得又， 所以又，得3-15 如圖所示，長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)細(xì)棒可繞過其端點(diǎn)的水平軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將棒提到水平位置并由靜止釋放，當(dāng)棒擺到豎直位置時(shí)與放在地面上

7、質(zhì)量為的物體相碰。設(shè)碰后棒不動(dòng)，物體與地面的摩擦系數(shù)為，求碰撞后物體經(jīng)過多少時(shí)間停止運(yùn)動(dòng)？解：由機(jī)械能守恒，得又角動(dòng)量守恒得，有又，得又，即3-16 質(zhì)量為、半徑為的水平轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞過中心的豎直軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣，人和轉(zhuǎn)臺(tái)原來都靜止。當(dāng)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣走一周時(shí)，求人和轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面轉(zhuǎn)過的角度。解：以人和轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，設(shè)人相對(duì)于轉(zhuǎn)盤的角速度為，轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地的角速度為，由角動(dòng)量守恒得移項(xiàng)得 即 兩邊消去，并積分的解得 3-17 質(zhì)量為、半徑為的水平轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞過中心的豎直軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。初角速度為，當(dāng)質(zhì)量為的人以相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的恒定速率沿半徑從轉(zhuǎn)臺(tái)中心向邊緣走去，求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度隨

8、時(shí)間t的變化函數(shù)。解：以人和轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，其角動(dòng)量守恒。設(shè)某一時(shí)刻人運(yùn)行到距軸心處，由角動(dòng)量守恒得得 又因?yàn)?并積分的得 3-18 如圖所示，一質(zhì)量為的小球由一繩索系著，以角速度在無摩擦的水平面上，作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。在繩的另一端作用一豎直向下的拉力后，小球作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng). 試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功。 解：（1）由角動(dòng)量守恒得 得 （2） 3-19 如圖3-30所示，A與B兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=10.0kg·m2，開始時(shí)B輪靜止，A輪以=600rev/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使A與B連接，因而B輪得到加速而A輪減速，直

9、到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于=200rev/min為止. 求：（1）B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）在嚙合過程中損失的機(jī)械能。 習(xí)題3-19圖習(xí)題3-18圖解：（1） 由角動(dòng)量守恒 解得 （2）3-20 長0.40的勻質(zhì)木棒，質(zhì)量1.kg，可繞水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒自然下垂，現(xiàn)有質(zhì)量8.0g的子彈以200m/s的速率從A點(diǎn)射入棒中，設(shè)A點(diǎn)與點(diǎn)距離為，求（1）棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度；（2）棒的最大偏角。解：由角動(dòng)量守恒定律 （2）3-21 如圖所示，一扇長方形的均質(zhì)門，質(zhì)量為、長為、寬為，轉(zhuǎn)軸在長方形的一條邊上。若有一質(zhì)量為的小球以速度垂直入射于門面的邊緣上，設(shè)碰撞是完全彈性的。求：（1）門對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）碰撞后球的速度和門的角速度；（3）討論小球碰撞后的運(yùn)動(dòng)方向。解：（1）（2）設(shè)碰撞后，門的角速度為，小球的速度大小為，方向與同向由角動(dòng)量守恒定律 由機(jī)械能守恒定律 聯(lián)立解得 （3），與同向，與反向，小球反彈回來3-22 如圖所示，空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，環(huán)的半徑為R，初始角速度為。質(zhì)量為m的小球靜止于環(huán)的最高點(diǎn)A，由于微擾，小球向下滑動(dòng)。求：（1）當(dāng)小球滑到B點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度、小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多少？（2）小球滑到最低點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度、小環(huán)相對(duì)于環(huán)的速球度各為多少？習(xí)題3-21圖習(xí)題3-22圖解：由角