四2.6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教案

1、2.6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表不一、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：1 .通過(guò)探究平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法.2 .掌握兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)條件以及能運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何問(wèn)題.過(guò)程與方法：通過(guò)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的運(yùn)算速度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)學(xué)習(xí)體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力.進(jìn)行辯證唯物主 義思想教育、數(shù)學(xué)審美教育，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.二.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2、難點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.三、教材與學(xué)情分析平面向量的數(shù)量積，教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數(shù)量積中，首先研究平面向量所成的角 ，其次, 介紹了向量數(shù)量積的定義 ，最后研究了向量數(shù)量積的基本運(yùn)算法則和基本結(jié)論；在第二部分平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示中，在平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示研討了平面向量所成角的計(jì)算方式，得到了兩向量垂直的判定方法 ，本節(jié)是平面向量數(shù)量積的第二部分 .前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，以及平面向量的坐標(biāo)表示 .那么在有了平面向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)和引進(jìn)平面向量的數(shù)量積后，就順其自然地要考慮到平面向量的數(shù)量積是否也能用坐標(biāo)表示的

3、問(wèn)題.另一方面，由于平面向量數(shù)量積涉及了向量的模、夾角，因此在實(shí)現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示后，向量的模、夾角也都可以與向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái).利用平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平面向量與平面向量數(shù)量積的關(guān)系來(lái)推導(dǎo)出平面向量數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標(biāo)表示教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.通過(guò)例題分析、課堂訓(xùn)練，讓學(xué)生總結(jié)歸納出對(duì)于向量的坐標(biāo)、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個(gè)因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本題型的求解方法.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上 進(jìn)一步學(xué)習(xí)的，這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示奠定了知識(shí)和方法基礎(chǔ)四、教

4、學(xué)方法問(wèn)題引導(dǎo)，主動(dòng)探究，啟發(fā)式教五、教學(xué)過(guò)程(一)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出新課思路1.平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法，向量的表示形式不同，對(duì)其運(yùn)算的表示方式也會(huì)改變.向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來(lái)了極大的方便.上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標(biāo)表示，對(duì)平面向量的數(shù)量積的表示方式又會(huì)帶來(lái)哪些變化呢？ 由此直接進(jìn)入主題.思路2.在平面直角坐標(biāo)系中，平面向量可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示，兩個(gè)平面向量共線的條件也可以用坐標(biāo)運(yùn)算的形式刻畫(huà)出來(lái)，那么學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積之后，它能否用坐標(biāo)來(lái)表示？若能 ，如何通過(guò)坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)呢？平面向量的數(shù)量積還會(huì)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)嗎？同時(shí)

5、，平面向量的模、夾角又該如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？通過(guò)回顧兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和向量的坐標(biāo)表示，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)、探索平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.(二)探究新知 平面向量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)表示？已知兩個(gè)非零向量 a=(xi,yi),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示ab呢？ 怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量垂直的條件？ 你能否根據(jù)所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用前面所學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推導(dǎo)和探究.前面學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)可以用平面直角坐標(biāo)系中的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示，而且我們也知道了向量的加、減以及實(shí)數(shù)與向量積的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來(lái)表示.兩個(gè)向量共線時(shí)它們對(duì)應(yīng)的坐

6、標(biāo)也具備某種關(guān)系，那么我們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運(yùn)算關(guān)系，這種運(yùn)算關(guān)系能否用向量的坐標(biāo)來(lái)表示呢？教師提示學(xué)生在向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的 坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教師可以組織學(xué)生到黑板上板書(shū)推導(dǎo)過(guò)程，教師給予必要的提示和補(bǔ)充.推導(dǎo)過(guò)程如下:a =Xii +yij,b=x2i+y2j,a b=(xi i +y1j)(X2 i+y2j)=xix2i2+xiy2ij+X2yii j +yiy2j2.又i -i =1,j j =1, i j = j i =0, .a b=xix2+yiy2.教師給出結(jié)論性的總結(jié)，由此可歸納如下：1。平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：兩個(gè)向量的數(shù)量積

7、等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即 a=(xi,yi),b=(x2,y2),貝U a b =xix2+y iy2.2°向量模的坐標(biāo)表示：若a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|= Jx2 + y2 .如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,yi)、(x2,y*那么a=(X2-xi,y2-yi),|a|= .(X2 -x" (y2 一 y1)2.3°兩向量垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,y2),則 a，b= xiX2+yiy2=0.x x2yi y2x；y： , x2y24°兩向量夾角的坐標(biāo)表示：設(shè) a、b都是非零向量

8、,a=(xi,yi),b=(x2,y2),是a與b的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，可得cos 0 = a *b |a|b|討論結(jié)果：略.(三)應(yīng)用示例例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，試判斷 ABC的形狀，并給出證明.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決平面圖形的形狀問(wèn)題.判斷平面圖形的形狀，特別是三角形的形狀時(shí)主要看邊長(zhǎng)是否相等，角是否為直角.可先作出草圖，進(jìn)行直觀判定，再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個(gè)邊所在的向量共線或者模相等，則此平面圖形與平行四邊形有關(guān)；若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零，則此三角形為等腰三角形或者為

9、直角三角形.教師可以讓學(xué)生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀的方法.解:在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn) ABC是直角三角形.下面給出證明AB =(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3), AB AC=1x(-3)+1 彩=0.AB ± AC .A ABC是直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用向量垂直的條件和模長(zhǎng)公式來(lái)判斷三角形的形狀.當(dāng)給出要 判定的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首先要作出草圖，得到直觀判定，然后對(duì)你的結(jié)論給出充分的證明 變式訓(xùn)練1.在4ABC中，AB=(2,3), AC=(1,，且4ABC

10、的一個(gè)內(nèi)角為直角，求 的值.解：由于題設(shè)中未指明哪一個(gè)角為直角，故需分別討論若/ A=90，則 AB ± AC ,所以 AB AC =0.于是2 M+3 =0.故=.同理可求 ，若/ B=90°時(shí)，的值為11; 33,3 - 132113 士;13若/ C=90時(shí)，的值為 .故所求 的值為2或q或3 2 13 .例 2 (1)已知三點(diǎn) A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求/ BAC 的余弦值；(2)a=(3,0), b=(-5,5),求 a 與 b 的夾角.活動(dòng):教師讓學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2)的數(shù)量積a b=x1x2+

11、y1y2和模|a|=：'x12 +y12 ,|b|=YX2 + y2的積,其比值就是這兩個(gè)向量夾角的余弦值,即cos 0 =a .bXi X2yi y1a 11b |x2 yf * x2 y2.當(dāng)求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向量的夾角大小時(shí)，需注意兩向量夾角的范圍是0W。學(xué)生在解這方面的題目時(shí)需要把向量的坐標(biāo)表示清楚，以免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤 解：(1) AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), Ab AC=3x(-i)+3 后=15.又|AB|= J32 +32 =3 J2,|AC|= J(_i)2 +62 =V37,AB 

12、1;AC 155. 74cos/ BAC=.| AB | AC | 3、2 . .3774(2) a b=3 x(-5)+0 5=-15,|a|=3,|b|=52.設(shè) a與 b 的夾角為 。則 cosa *b 二 _15 = _2L2 又< o< 9 w.冗 ° |a|b| 3 5,224點(diǎn)評(píng)：本題考查的是利用向量的坐標(biāo)表示來(lái)求兩向量的夾角.利用基本公式進(jìn)行運(yùn)算與求解主要是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與提高.變式訓(xùn)練2.設(shè)a=(5,-7), b=(-6,-4)，求a b及a、b間的夾角。.精確到 巧解:a b=5X(-6)+(-7) (M)=-30+28=-2.| a|=。52 +(

13、7)2 =<74 ,|b|=，(6)2 +(T)2 =522，一由計(jì)算器得 cos 0= 弋0.03.利用計(jì)算器中得092例3已知|a|=3,b=(2,3),試分別解答下面兩個(gè)問(wèn)題若 ab,求 a;(2)若 a/b,求 a.活動(dòng):對(duì)平面中的兩向量a=(xi,yi)與b=(X2,y2),要讓學(xué)生在應(yīng)用中深刻領(lǐng)悟其本質(zhì)屬性，向量垂直的坐標(biāo)表示XiX2+yiy2=0與向量共線的坐標(biāo)表示Xiy2-X2yi=0很容易混淆，應(yīng)仔細(xì)比較并熟記，當(dāng)難以區(qū)分時(shí)，要從意義上鑒別，兩向量垂直是a b=0,而共線是方向相同或相反.教師可多加強(qiáng)反例練習(xí)，多給出這兩種類型的同式變形訓(xùn)練.x2 + y2 =| a |

14、2 = 9,得y |,解得2x +3x =0,9x 13,136 y 1313解：(1)設(shè) a=(x,y),由 |a|=3 且 a± b,x =旦 M'13,或13y = -9 J13,L 13a= (- - ,13, 413)或 a = -9 V113,- -viS.13131313(2)設(shè) a=(x,y),由 |a|=3 且 a / b,得< 222_x +y 4a|=9，解得 3x -2y =0.a= ( V13, n13)或 a = ( 413, 413).13131313，也點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)公式的掌握情況，學(xué)生能熟練運(yùn)用兩向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)判斷垂直或者共

15、線能熟練地進(jìn)行公式的逆用利用已知關(guān)系來(lái)求向量的坐標(biāo).變式訓(xùn)練3.求證:一次函數(shù)y=2x-3的圖象(直線h)與一次函數(shù)y=_x的圖象(直線I2)互相垂直.2解:在11：y=2x-3中，令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取兩點(diǎn) 人(1,-1)回2,1).同理，在直線12上取兩點(diǎn)C(-2,1),D(-4,2),于是AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1 + 1)=(1,2), CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得AB CD =1X(-2)+1 2=0,，AB ± CD ,即I1H2.六、課堂小結(jié)1 .在

16、知識(shí)層面上，先引導(dǎo)學(xué)生歸納平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模，兩向量的夾角，向量垂直的條件.其次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律，夾角和距離公式、兩向量垂直的坐標(biāo)表示.2 .在思想方法上，教師與學(xué)生一起回顧探索過(guò)程中用到的思維方法和數(shù)學(xué)思想方法，定義法，待定系數(shù)法等.七、課后作業(yè)1.課時(shí)練與測(cè)八、教學(xué)反思由于本節(jié)課是對(duì)平面向量的進(jìn)一步探究與應(yīng)用，是對(duì)平面向量幾何意義的綜合研究提高，因此教案設(shè)計(jì)流程是探究、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用、提高，這符合新課程理念，符合新課標(biāo)要求.我們知道平面向量的數(shù)量積是本章最重要的 內(nèi)容，也是高考中的重點(diǎn)，既有選擇題、填空題，也有解答題(大多同立體幾何、解析幾何綜合考查)，故學(xué)習(xí)時(shí)要熟練掌握基本概念和性質(zhì)及其綜合運(yùn)用.而且數(shù)量積的坐標(biāo)表示又是向量運(yùn)算的一個(gè)重要內(nèi)容，用坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，是解析幾何的一個(gè)基本特征，從而以坐標(biāo)為橋梁可以建立向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系.以三角函數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，又可