運用基本圖形巧證三角形相似

1、    運用基本圖形巧證三角形相似    張小艷有關(guān)相似三角形的問題較復(fù)雜，圖形變化多樣，但是復(fù)雜圖形都是由基本圖形組合而成的，掌握一些基本圖形的構(gòu)成形式及性質(zhì)，能準確、快速地解決問題.下面我們一起來認識一下相似三角形的基本圖形的幾種類型.基本圖形一：a型圖如圖1，d、e分別是abc的邊ab、ac上的點.de /bc.結(jié)合三角形的判定定理“兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似”，可得abc，ade.這種基本圖形很像英文字母a，因此我們將它稱為“a型圖”.變形1：如圖2，de與bc不平行，aed=b，結(jié)合a=a，由相似i角形的判定定理可得abcaed.變形2：如圖

2、3.de與bc不平行，點e與點c重合，aed=b，結(jié)合a =a，可得abcaed，即abcacd.“a型圖”的特點：兩個相似三角形有公共角，并且有兩邊在同一條直線上.例1 如圖4.在銳角abc中，點d、e分別在邊ac、ab上.agbc于點g，afde于點f.eaf= gac.（1）求證：adeabc.（2）若ad=3 ，ab=5，求af/ag的值.分析：（1）根據(jù)求證的結(jié)論可以看出，ade和abc的位置關(guān)系是基本圖形中“a型圖”的圖2形式，尋找相似的條件即可證得結(jié)論.由于agbc.afde，所以afe=agc=90°.又因為eaf=gac，所以可得aed=a cb，結(jié)合公共角可證得a

3、deabc.（2）由相似三角形的性質(zhì)可求比值，解：（1）agbc，afde，afe= agc=90°.點評：對于符合“a型圖”特征的兩個三角形，常常要添加平行于三角形一邊的平行線，有時還要借助公共角來證明它們相似.基本圖形二：x型圖如圖5，d、e分別是abc的邊ba、ca的延長線上的點，de /bc，因此可得abcade，這種基本圖形被形象地稱為“x型圖”.變形：如圖6，de與bc不平行.當b=e時，結(jié)合bac=ead，可證得abcaed.當ae：ab=ad：ac時，結(jié)合bac=ead.可得abcaed.“x型圖”的特點：兩個相似三角形有對頂角，并且有兩邊在同一條直線上.例2如圖7，

4、正方形abcd的頂點a在等腰直角def的斜邊ef上，ef與bc相交于點g.連接cf（1）求證：daedcf.（2）求證：abg'一cfg.分析 （1）由正方形abcd和等腰直角三角形def，可以得到ad=dc，de=df.再找它們的夾角，利用“sas”即可證得da e：dcf.（2）abg和cfg的位置關(guān)系符合“x型圖”的特征，有一組對頂角，再找另一組相等的角即可，延長ba交ed于點m.由全等三角形的性質(zhì)可知ead=fcd，通過等量代換得到gab=gcf，利用兩組角分別相等的兩個三角形相似即可證得結(jié)論.點評：對于符合“x型圖”特征的兩個三角形，經(jīng)常作平行線找相等的兩角，或者通過證明兩邊

5、對應(yīng)成比例及夾角相等來判定它們相似.基本圖形三：k型圖如圖9，若點c、a、d在同一條直線上，當c= d= bae=90°時，利用互余的兩角關(guān)系可得b=ead.所以得到abcead.這種基本圖形很像英文字母k，因此我們將它稱為“k型圖”.變形：如圖10，若點c、a、d在同一條直線上，當/c=bae=d時.由b+c=bae+ ead得b= ead.所以得到abcead.“k型圖”的特點：兩個三角形各有一條邊在同一條直線上，并且只有一個公共點.例3如圖11.在abc中，ab=ac.點e在邊bc上移動（點e不與點b、c重合），滿足def=b，且點d、f分別在邊ab、ac上.（1）求證：bdecef（2）當點e移動到bc的中點位置時，求證：fe平分dfc.分析：（1）從bde和cef的位置關(guān)系上看符合圖10的“k型圖”的特征，思路是利用兩組角分別相等證明兩三角形相似.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得 b=c.易知b+ bde= def+fec，可得bde=fec.結(jié)合以上結(jié)論可證