51平面向量的概念及線性運算

1、§ 5.1平面向量的概念及線性運算最新考綱1. 了解向量的實際背景2. 理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義3. 理解向量的幾何表示4. 掌握向量加法、 減法的運算， 并理解其幾何意義5. 掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義， 理解兩個向量共線的含義6. 了解向量線性運算的性質及其幾何意義.1向量的有關概念考情考向分析主要考查平面向量的線性運算( 加法、減法、數(shù)乘向量 ) 及其幾何意義、 共線向量定理常與三角函數(shù)、 解析幾何交匯考查，有時也會有創(chuàng)新的新定義問題；題型以選擇題、填空題為主，屬于中低檔題目偶爾會在解答題中作為工具出現(xiàn).名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量； 向量的大小

2、平面向量是自由向量叫做向量的長度 ( 或稱模 )零向量長度為 0的向量；其方向是任意的記作 0a單位向量長度等于 1 個單位長度的向量非零向量 a 的單位向量為± |a |平行向量方向相同或相反的非零向量0 與任一向量平行或共線( 共線向量 )相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0 的相反向量為02. 向量的線性運算向量運算定義法則 ( 或幾何意義 )運算律(3) 交換律： a bba；加法求兩個向量和的運算(4) 結合律：( a b) c a ( bc)減法求 a 與 b 的相反向量a b a ( b)b 的和的運算(6

3、)|a|a| ；(8)a) ()a；| |(7) 當 >0 時，a 與 a 的方(9)( ) a a求實數(shù) 與向量 a 的a；數(shù)乘向相同；當 <0 時， a 與積的運算0 時，(10)()a的方向相反；當 aba a 0b3. 共線向量定理向量 a( a 0) 與 b 共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使 b a.知識拓展1一般地， 首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即 AA AA A A A A A A ，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的1 22 33 4n 1 n1 n向量和為零向量2若 P 為線段 AB的中點， O為平面內任一點，則 1

4、OP( OA OB) 23. (，為實數(shù) ) ，若點， ，共線，則 1.OA OBOC A B C題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確 ( 請在括號中打“”或“×” )(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量(×)(2)| a| 與 | b| 是否相等與 a， b 的方向無關 ()(3)若 a b， bc，則 ac .( ×)(4)若向量 與向量 是共線向量，則， ， ，四點在一條直線上(× )ABCDABC D(5)當兩個非零向量a，b 共線時，一定有ba，反之成立 ()(6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反(× )題

5、組二教材改編2P86 例 4 已知 ?ABCD的對角線AC和 BD相交于點 O，且 OA a，OB b，則DC _，BC _.(答案 b a 解析用 a， b 表示 ) a b如圖， ， .DC AB OB OA b aBC OC OBOA OB ab3 P108B 組 T5 在平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀為ABCD中，若 | AB AD| | AB AD|_答案矩形解析 如圖，因為 AB AD AC， AB AD DB，所以 | AC| | DB|.由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形是矩形ABCD題組三易錯自糾4對于非零向量a， b，“a b 0”是“ a b”的 ()A充分

6、不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若 a b0，則 a b，所以 a b.若 ab，則 ab 0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件5設向量 a，b 不平行，向量ab 與 a 2b 平行，則實數(shù)_.答案12解析 向量 a， b 不平行， a 2b 0，又向量 a b 與 a2b 平行，則存在唯一的實數(shù)，使 a b ( a 2b) 成立，即 a b a 2b，則 ，11 2，解得 2.6設 ，E分別是的邊，上的點，121，. 若12(DABCAB BCAD2ABBE3BCDE AB AC 2 為實數(shù) ) ，則 1 2 的值為 _1答案212解析DE DBB

7、E AB BC23 2 12 2AB3( BA AC) 6AB3AC，1121 1 6， 23，即 1 2 2.題型一平面向量的概念1給出下列四個命題：若 | a| | b| ，則 a b；若 A， B， C，D是不共線的四點，則 ABCD為平行四邊形的充要條件；ABDC是四邊形若 a b， bc，則 ac；b的充要條件是 |a| |b| 且 .aab其中正確命題的序號是()ABCD答案A解析不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；正確 ABDC， | AB| | DC| 且 AB DC，又 A，B， C， D是不共線的四點，四邊形 ABCD為平行四邊形，反之，若四邊形 ABCD為平

8、行四邊形，則 ABDC且 | AB| |DC| ， AB DC；正確 ab， a， b 的長度相等且方向相同，又 bc， b，c 的長度相等且方向相同，c的長度相等且方向相同，故；aac不正確當 a b 且方向相反時，即使| a| | b| ，也不能得到 a b，故 | a| | b| 且 a b 不是 ab 的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是 . 故選 A.2設a0 為單位向量，若a為平面內的某個向量，則a |a| a0；若a與a0 平行，則a|a|a0；若a 與a0 平行且 |a|1，則aa0. 上述命題中，假命題的個數(shù)是()A 0B 1C 2D 3答案D解析向量是既

9、有大小又有方向的量，a 與 | a| a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若 a 與 a0 平行，則 a 與 a0 的方向有兩種情況：一是同向， 二是反向， 反向時 a | a| a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.思維升華向量有關概念的關鍵點(1) 向量定義的關鍵是方向和長度(2) 非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制(3) 相等向量的關鍵是方向相同且長度相等(4) 單位向量的關鍵是長度都是一個單位長度(5) 零向量的關鍵是長度是 0，規(guī)定零向量與任何向量共線題型二平面向量的線性運算命題點 1向量的線性運算典例 (1)在 ABC中， AB c， AC b，若點

10、 D滿足 BD 2DC，則 AD等于 ()A.2 1B.5 23b3c3c3bC. 32b31cD. 31b 32c答案A解析 BD2DC， ADAB BD 2DC 2( ACAD) ，32，ADAC AB2121 ADAC AB b c.3333(2)(2017·青海西寧一模 ) 如圖，在 ABC中，點 D在 BC邊上，且 CD 2DB，點 E在 AD邊上，且 3，則用向量 ， 表示為()AD AEABACCE28A.AB AC992B. AB98AC927C. 9AB9AC27D. 9AB9AC答案B解析由平面向量的三角形法則及向量共線的性質可得 111 CE AE AC 3AD

11、AC 3( AB 3BC) AC 1 3 AB 3 ACAB AC2 8 9AB9AC.1命題點 2根據(jù)向量線性運算求參數(shù)典例 (1)在中，點，N滿足2， .若 ，則 _，yABCMAM MCBN NCMN xAB yACx _.1 1答案26解析MN MCCN 1 3AC2CB11 3AC2( AB AC)1 1 2AB6AC xAB yAC，11 1 x2， y 6.(2)在 ABC中，點 D在線段 BC的延長線上，且 BC 3CD，點 O在線段 CD上( 與點 C， D不重)合 ) ，若 AO xAB (1 x) AC，則 x 的取值范圍是 (11A.0，2B. 0，3C. 1， 0D.

12、 1， 023答案D解析設 CO yBC， AOAC CO ( )AC yBCAC y ACAB yAB (1 y) AC. BC3CD，點 O 在線段 CD上 ( 與點 C， D不重合 ) ， y10，3 ， AOxAB(1 x) AC，1 x y， x 3，0 .思維升華平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1) 向量加法或減法的幾何意義向量加法和減法均適合三角形法則(2) 求已知向量的和 一般共起點的向量求和用平行四邊形法則； 求差用三角形法則； 求首尾相連向量的和用三角形法則(3) 求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較， 求參數(shù)的值跟蹤訓練(1

13、) 如圖，在正方形ABCD中，點E 是DC的中點，點F 是BC上的一個靠近點B的三等分點，那么EF等于 () 1A. 2AB3AD1 1B. 4AB2AD1 1C. 3AB2DA1 2D. AB AD231答案D解析 在 CEF中，有 EF EC CF.1因為點 E 為 DC的中點，所以 EC2DC.因為點 F 為 BC上的一個靠近點B的三等分點，2所以 CF 3CB.1212所以 EF 2DC 3CB 2AB 3DA 2 AB AD，故選 D.231(2) 如圖，直線 EF與平行四邊形 ABCD的兩邊 AB， AD分別交于 E， F 兩點，且與對角線 AC交于點，其中， 2，1， ，則的值為

14、 _KAE5AB AF2AD AK AC2答案921解析 AE 5AB， AF 2AD，5 AB2AE， AD 2AF.由向量加法的平行四邊形法則可知，AC AB AD， ( )AK ACABAD 5AE2AF25 2AE 2AF，52 E， F， K三點共線， 2 21， 9.題型三共線向量定理的應用典例 設兩個非零向量 a 與 b 不共線(1) 若 ，2 8 ，3(a ) ，ABabBC a bCDb求證： A， B， D三點共線；(2) 試確定實數(shù)k，使 kab 和 a kb 共線(1) 證明 AB a b， BC 2a 8b，CD 3( ab) ，2 8b3()BD BCCD aab

15、2a8b3a3b 5( ab) 5AB， AB，BD共線又它們有公共點B， A， B， D三點共線(2) 解 假設 ka b 與 akb 共線，則存在實數(shù) ，使 kab ( akb) ，即 ( k ) a ( k 1) b.又 a，b 是兩個不共線的非零向量， k k1 0.2消去 ，得 k 1 0， k± 1.若將本例 (1) 中“ BC 2a8b”改為“ BC a mb”，則 m為何值時， A， B，D三點共線？解BC CD ( a mb) 3( ab) 4a ( m 3) b，即 BD4a ( m3) b.若 A，B， D三點共線，則存在實數(shù)，使 BD AB.即 4a( m 3

16、) b ( a b) 4 ，解得 m 7.m 3 ，故當 m 7 時， A， B， D三點共線思維升華(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(2) 向量 a，b 共線是指存在不全為零的實數(shù)1，2，使 1a 2b0 成立，若 1a2b 0，當且僅當 1 2 0 時成立，則向量a，b 不共線跟蹤訓練(1)(2017 ·資陽模擬 ) 已知向量 AB a 3b，BC 5a 3b，CD 3a 3b，則 ()A A，B， C三點共線B A， B， D三點共線C A，C， D三點共線D B， C， D三點共線答案B

17、解析 BD BC CD 2a 6b 2( a3b) 2AB，B， BD，AB共線，又有公共點 ， ，D三點共線故選B.AB (2) 已知 A， B， C是直線 l 上不同的三個點，點O不在直線 l 上，則使等式2x OA xOB BC0 成立的實數(shù) x 的取值集合為 ()A 0B ?C 1D 0 ， 1答案C解析 2 BC OC OB， x OA xOBOC OB 0，2即 OC x OA ( x1)OB， A， B， C三點共線， x2 ( x 1) 1，即 x2x 0，解得 x 0或 x 1.2x 1. 故選 C.當 x0 時， x OA xOB BC 0，此時 B ， C兩點重合，不合題

18、意，舍去故1容易忽視的零向量典例下列敘述錯誤的是_ ( 填序號 )若非零向量a 與 b 方向相同或相反，則ab 與a， b 之一的方向相同； |a|b| |a b| ?a 與b 方向相同；向量b 與向量a 共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得b a； ABBA 0；若 a b，則錯解展示a b.中兩個向量的和仍是一個向量，所以錯誤答案現(xiàn)場糾錯ABBA 0.解析對于，當a b0 時，其方向任意，它與對于，當a，b 之一為零向量時結論不成立對于，當a 0 且 b 0 時， 有無數(shù)個值；當在對于，由于兩個向量之和仍是一個向量，所以 AB BA 0.a，b 的方向都不相同a0 但 b 0 或 a 0

19、 但b0時， 不存對于，當 0 時，不管a 與 b 的大小與方向如何，都有a b，此時不一定有ab.故均錯答案糾錯心得在考慮向量共線問題時，要注意考慮零向量.1 (2018 ·濟南調研 ) 以下命題： | a| 與 | b| 是否相等與a，b 的方向無關；兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；單位向量都是共線向量其中，正確命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案C解析錯誤2設 a 是非零向量， 是非零實數(shù)，下列結論中正確的是()A a 與 a 的方向相反B a 與 2a 的方向相同C | a| | a|D | a| | | ·

20、 a答案B解析對于 A，當 >0 時， a 與 a 的方向相同，當 <0 時， a 與 a 的方向相反； B 正確；對于 C， | a| | |a| ，由于 | | 的大小不確定，故| a| 與 | a| 的大小關系不確定；對于 D， | | a 是向量，而 | a| 表示長度，兩者不能比較大小)3 (2017 ·海南校級模擬 ) 在四邊形 ABCD中，設 ADa， BC b，那么 ACBD等于 (A abB a bC aD不能確定b答案B解析 AC ABBC AB b，BD BAAD ABa， ( ) .故選 B.ACBDAB bABa ab()4已知 AB a2b，

21、BC5a 6b， CD 7a 2b，則下列一定共線的三點是A A，B， CBA，B，DC B，C， DDA，C，D答案B解析 因為 ADAB BCCD 3a 6b 3( a 2b) 3AB，又 AB， AD有公共點 A，所以 A， B，D三點共線5 (2018 ·濟寧模擬) 如圖所示，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB， AC于不同的兩點M，N，若 AB mAM， AC nAN，則m n 的值為 ()A 1B 2C 3D 4答案B解析 O為BC的中點，1 AO2( AB AC)1 m n 2( mAM nAN)2AM 2AN，m n M， O， N三點共線， 1

22、， 2 2 m n 2.6 (2018 ·聊城質檢 ) 設 a， b不共線， AB 2a pb，BC a b，CD a 2b，若 A，B， D 三點共線，則實數(shù)p 的值為 ()A 2B 1C 1D 2答案B解析 BC ab， CDa2b， BDBC CD 2a b.又 A， B， D三點共線， AB， BD共線設 AB BD， 2apb (2 a b) ， a，b 不共線， 2 2 ， p ， 1， p 1.7已知兩個非零向量a，b 滿足 | a b| | a b| ，則下列結論正確的是_( 填序號 ) ab； a b； | a| | b| ； aba b.答案解析根據(jù)向量加法、減法

23、的幾何意義可知，|ab| 與 | a b| 分別為以向量 a，b 為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因為|a| |b| ，所以該平行四邊形為矩形，所以abab.8(2018 ·青島質檢 ) 已知 D，E， F 分別為 ABC的邊 BC，CA，AB的中點，且 BC a，CA b，1111 給出下列命題：AD 2a b； BE a 2b； CF 2a2b； AD BE CF0.其中正確命題的序號為_答案解析BC a， CA b， 1 1，AD2CB AC2ab11BE BC 2CA a2b，1 1 ) () (CF2CBCA2ab 21a 21b，1111所以 AD BE CF b 2

24、aa 2b 2b2a 0.所以正確命題的序號為 .9. 如圖所示，在中，D為邊上的一點，且 2，若 ( ， R)，則ABCBCBD DCAC mAB nAD m nm n_.答案 2解析由于 2，則 3，BDDCBCCD其中 BC AC AB， CD AD AC，那么 BC3CD可轉化為 3( ) ，AC ABAD AC可以得到2AC 3ADAB，1 313即 AC 2AB 2AD，則 m 2， n2，13那么 m n 2 2 2.10在直角梯形 ABCD中， A 90°， B 30°， AB 23，BC 2，點 E 在線段 CD上，若 AE ，則的取值范圍是 _ADAB答

25、案10，2解析由題意可求得 AD 1， CD3， AB 2DC，點E在線段上，(01)CDDE DC AEAD DE， 2又 AEAD AB AD 2DC AD DE，2 1，即 2 ， 0 1，1 0 2.1即 的取值范圍是0，2 .11 (2017 ·安徽馬鞍山質檢 ) 已知 P， Q為 ABC中不同的兩點，且3PA 2PB PC 0， QA 0，則 PAB QAB為 _QB QCSS答案1 2解析因為BC平行的中位線上，且是3PA 2PBPC 2(PA PB) PAPC 0，所以 P 在與1 該中位線上的一個三等分點，可得S PAB 6S ABC， QAQB QC0 ，可得 Q

26、是 ABC的重心，1因此 S QAB 3S ABC， S PAB S QAB1 2，故選 A.12(2018 ·重慶調研) 如圖所示，在ABC中， D， F 分別是AB， AC的中點，BF與CD交于點O，設 AB a， AC b，試用a， b 表示向量AO.解11 k111111為實數(shù))，由 D，O，C三點共線，可設 DO k DCk( AC AD)b2a 2k ak b( k同理，可設 BOk2BF k2( AFAB) k21ba21 22為實數(shù) ) ，2 k a 2k b( k11又 BOBD DO 2a 2k1a k1b1(1 k1) a k1b，21 1所以由，得 k2a 2k2b 2(1 k1) a k1b，11即 2(1 k1 2k2) a 2k2 k1 b0.又 a，b 不共線，11 k12k2 0，k11，23所以解得212k2 k1 0，k23.2 1所以 BO 3a3b.所以 AO AB BO a2113a3b 3( a b) 13(2017 ·福建福州一中模擬 若存在實數(shù)) 已知 ABC和點 M滿足 MAMB MC 0.m，使得 ABm _. ACmAM成立，則答案3解析 D為邊 BC的中點，由 MA MB MC 0 知，點 M為 ABC的重心，設點221 1 則 AM3AD 3× 2( AB