導(dǎo)數(shù)的幾何意義77350

1、【教育類精品資料】3.1.3 3.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1.曲線的切線曲線的切線y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy 如圖如圖,曲線曲線c是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象,p(x0,y0)是曲線是曲線c上的上的任意一點(diǎn)任意一點(diǎn),q(x0+x,y0+y)為為p鄰近一點(diǎn)鄰近一點(diǎn),pq為為c的割線的割線,pm/x軸軸,qm/y軸軸,為為pq的的傾斜角傾斜角.tan,: xyymqxmp則則.就就是是割割線線的的斜斜率率表表明明：xy pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t請看當(dāng)請看當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)q沿沿著曲線著曲線逐漸向逐漸向點(diǎn)點(diǎn)p接接近時近時,割割線線pq繞著點(diǎn)繞著

2、點(diǎn)p逐漸逐漸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動的情況情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線無限接近點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)p即即x0時時,割線割線pq有一個極限位置有一個極限位置pt.則我們把直線則我們把直線pt稱為曲稱為曲線在點(diǎn)線在點(diǎn)p處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時時,割線割線pq的的斜率斜率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)p處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切線線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)平均變化率的極限函數(shù)平

3、均變化率的極限.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線線 y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)p(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率. 故曲線故曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)p(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy 即即:0( )kf x切線例例:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,

4、切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟的基本步驟:先利用切線斜率先利用切線斜率的定義求出切線的斜率的定義求出切線的斜率,然后然后利用點(diǎn)斜式求切線方程利用點(diǎn)斜式求切線方程.例例2 如圖如圖, 它表示跳水運(yùn)動中高度隨時間變化的函數(shù)它表示跳水運(yùn)動中高度隨時間變化的函數(shù)105 . 69 . 4)(2ttth的圖象的圖象. 根據(jù)圖象根據(jù)圖象, 請描述、比較請描述、比較曲線曲線 在在 附近的變化情況附近的變化情況.210,ttt)(th 解解:可用曲線可用曲線 h(t) 在在 t0 , t1 , t2 處的處的切線刻畫曲線切線刻畫

5、曲線 h(t) 在上述三個時刻在上述三個時刻附近的變化情況附近的變化情況.(1)當(dāng)當(dāng) t = t0 時時, 曲線曲線 h(t) 在在 t0 處的切處的切線線 l0 平行于平行于 x 軸軸.故在故在 t = t0 附近曲附近曲線比較平坦線比較平坦, 幾乎沒有升降幾乎沒有升降.(2)當(dāng)當(dāng) t = t1 時時, 曲線曲線 h(t) 在在 t1 處的處的切線切線 l1 的斜率的斜率 h(t1) 0 .故在故在t = t1 附近曲線下降附近曲線下降,即函數(shù)即函數(shù) h(t) 在在 t = t1 附近單調(diào)遞減附近單調(diào)遞減.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)當(dāng)當(dāng) t = t2 時時, 曲線曲線 h(

6、t) 在在 t2處的切線處的切線 l2 的斜率的斜率 h(t2) 0 .故在故在 t = t2 附近曲線下降附近曲線下降,即函數(shù)即函數(shù) h(t) 在在t = t2 附近也單調(diào)遞減附近也單調(diào)遞減.例例2105 . 69 . 4)(2ttth . 根據(jù)圖象根據(jù)圖象, 請描述、比較請描述、比較曲線曲線 在在 附近的變化情況附近的變化情況.210,ttt)(th解解:可用曲線可用曲線 h(t) 在在 t0 , t1 , t2 處的切線處的切線刻畫曲線刻畫曲線 h(t) 在上述三個時刻附近的變在上述三個時刻附近的變化情況化情況.(1)當(dāng)當(dāng) t = t0 時時, 曲線曲線 h(t) 在在 t0 處的切線處

7、的切線 l0 平行于平行于 x 軸軸.故在故在 t = t0 附近曲線比較平附近曲線比較平坦坦, 幾乎沒有升降幾乎沒有升降.(2)當(dāng)當(dāng) t = t1 時時, 曲線曲線 h(t) 在在 t1 處的切線處的切線 l1 的斜率的斜率 h(t1) 0 .故在故在t = t1 附近曲線下附近曲線下降降,即函數(shù)即函數(shù) h(t) 在在 t = t1 附近單調(diào)遞減附近單調(diào)遞減.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)當(dāng)當(dāng) t = t2 時時, 曲線曲線 h(t) 在在 t2處的切線處的切線 l2 的斜率的斜率 h(t2) 0 .故在故在 t = t2 附近曲線下降附近曲線下降,即函數(shù)即函數(shù) h(t) 在在

8、t = t2 附近也單調(diào)遞減附近也單調(diào)遞減. 從圖可以看出，直線從圖可以看出，直線 l1 的的傾斜程度傾斜程度小于直線小于直線 l2 的的傾斜程度傾斜程度，這，這說明說明 h(t) 曲線在曲線在 l1 附近附近比在比在 l2 附近附近下降得緩慢下降得緩慢00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡稱也簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 數(shù)在 點(diǎn)處 的 導(dǎo) 數(shù)等 于 函 數(shù)的 導(dǎo) 函 數(shù)在 點(diǎn)處 的 函 數(shù) 值 什么是導(dǎo)函數(shù)?由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到處求導(dǎo)

9、數(shù)的過程可以看到,當(dāng)當(dāng)x=x0時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時變化時,便是便是x的的一個函數(shù)一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函數(shù).yxy例: 已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一個例子:（3）函數(shù)）函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)

10、 在在x=x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 。這也是。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小結(jié):（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的而言的, 就是函數(shù)就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 。)(xf （1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個 常數(shù)，不是變數(shù)。常數(shù)，不是變數(shù)。 弄清弄清“函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方