定積分的概念

1、1.5 1.5 定積分的概念定積分的概念1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的圖形軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。叫做曲邊梯形。ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積x=ax=b2 2曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 求曲邊梯形的面積即求曲邊梯形的面積即求求 下的面積下的面積)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲邊梯形，分成很窄的小曲邊梯形， 然后用矩形面積代后求和。然后用矩形面積代后求和。 若若“梯形梯形” ” 很窄，很窄，可近似地用矩形面積代替可近似地用矩形面積代替在不很窄時(shí)怎么辦？

2、在不很窄時(shí)怎么辦？ 以直代曲以直代曲 oabxy)(xfy oabxy)(xfy（1 1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等分成n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為過各區(qū)間端點(diǎn)作過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個(gè)小個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作曲邊梯形，他們的面積分別記作.s,s,s,sni21 n1n2nknnxoy2xy 例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積。（2 2） 近似代替近似代替n1)n1i(x)n1i(fs2i（

3、3 3）求和）求和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( sssss22223n1i2n1in1iin21 o n1n2nknnxoy2xy （4 4）取極限）取極限13所求曲邊三角形的面積為。oxylim111lim1261.3nnnssnn小結(jié)小結(jié): :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法（1 1）分割分割 （2 2）求面積的和求面積的和 （3 3）取極限取極限 n oxy二、定積分的概念如果函數(shù)如果函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間a a, ,b b上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間a a, ,b b等分成

4、等分成n n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取 一點(diǎn)一點(diǎn)i i( (i i=1,2,=1,2,n n) )，作和式，作和式 . .當(dāng)當(dāng)n n時(shí)，上述和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做時(shí)，上述和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函 數(shù)函 數(shù) f f ( ( x x ) ) 在 區(qū) 間 在 區(qū) 間 a a , , b b 上 的 定 積 分 上 的 定 積 分 , , 記記作作 , , 即即 = = , ,其中其中f f( (x x) )稱為稱為 , , x x稱為稱為 , ,f f( (x x)d)dx x稱為稱為 ， a a, ,b b為為 ，a a為為 ，b b為為

5、，“ ”稱為積分號(hào)稱為積分號(hào). .niixf1)(xxfbad)(xxfbad)(ninlim1)(ifnab被積函數(shù)被積函數(shù)積分變量積分變量被積式被積式積分區(qū)間積分區(qū)間積分下限積分下限積分上限積分上限1.1.定積分的定義定積分的定義 定積分的定義： 定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即o

6、abxy)(xfy baidxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限112001( )3sf x dxx dx根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yof(x)=x213s baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 說明：說明： (1) 定積分是一個(gè)數(shù)值定積分是一個(gè)數(shù)值, 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， 而與積分變量的記法無關(guān)，即而與積分變量的記法無關(guān)，即（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和 i的的取取法法是是任任意意的的. 補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定： 10aaf x dx

7、2 2babaababf x dxf x dxf x dxf x dx (3)(3)定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)2.定積分的幾何意義：ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時(shí)，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當(dāng) ab 時(shí)，有baf (x)dx0。 當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dx

8、f (x)dx。 s上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 定積分的幾何意義：積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s3. 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf badx)x(fkab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cox y 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx

9、)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. 例例1：利用定積分的定義：利用定積分的定義,計(jì)算計(jì)算 的值的值. 130 x d x233332112314nnnbainiindxxfxf)()(lim1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxaa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxa22100

10、00ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxaba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxa 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21aaxxxxf0)(1222aadxxf222a1axyf(x)=sinx1-1 利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分 值的正、負(fù)號(hào)。20sinxdx212dxx利用定積分的幾何意義，說明下列各式。 成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.練習(xí)：試用定積分表