函數(shù)與極限答案

1、函數(shù)與極限答案第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)1.填空題: （1）函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于 對(duì)稱.（2）函數(shù)的定義域?yàn)開； （3）若的定義域是0，1，則的定義域是 0 . （4）設(shè)，則 a . （5）若則 ， x .（6）函數(shù)的反函數(shù)為 。（7）函數(shù)的定義域: x0，值域: 0y<1 ，反函數(shù): x=-ln(1-y2), 0y<12. 選擇題: （1）下列正確的是：(B，C )A.與是同一函數(shù). B.設(shè)為定義在上的任意函數(shù)，則必為偶函數(shù)，必為奇函數(shù). C.是的奇函數(shù). D.由任意的及必定可以復(fù)合成為的函數(shù). . （2）是( A ).A.有界函數(shù)； B. 周期函數(shù)； C. 奇函數(shù)

2、； D. 偶函數(shù). （3）設(shè)，若，則b為( B ).A.1； B.1； C.2； D.2.（4）函數(shù)的定義域是（ ）(A)； (B)； (C)； (D).（5）函數(shù)的定義域是（ ）(A)； (B);(C); (D).（6）函數(shù)是（ ）(A)偶函數(shù)； (B)奇函數(shù)； (C)非奇非偶函數(shù)； (D)奇偶函數(shù).（7）函數(shù)的最小正周期是（ ） (A)2； (B)； (C) 4 ； (D) .（8）函數(shù)在定義域?yàn)椋?）(A)有上界無(wú)下界； (B)有下界無(wú)上界； (C)有界，且 ； (D)有界，且 .（9）與等價(jià)的函數(shù)是（ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) .3設(shè)（1） 試確定的值使 ；（2）

3、 求的表達(dá)式 解. 4求的反函數(shù).解：5設(shè)，求的定義域及。6已知，求.解：；7設(shè)的定義域是，求下列函數(shù)的定義域： （1） 解：由的定義域?yàn)? （2）解：由的定義域?yàn)? （3） 解：由的定義域?yàn)? （4）解：由的定義域?yàn)?8設(shè) -，求解：. ，而，故. ，而，故. .9.設(shè)，求和，并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.解： 10.設(shè),求解： 即：11，。求，解：=；=，12 求=13設(shè)滿足，求解： （1）令 得 （2）由（1）和（2）得； 14把半徑為的一圓形鐵皮，自中心處剪去中心角為的一扇形后圍成一無(wú)底圓錐. 試將這圓錐的體積表為的函數(shù). 解：設(shè)圓錐的半徑與高分別為，則由圖知R，即 . 從而， 故15 利用

4、的圖形作出下列圖形：（1）； （2）； （3）. 16設(shè)由復(fù)合而成的，證明：（1） 若是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)。（2） 若單調(diào)增加，單調(diào)減少，則單調(diào)減少。第二節(jié) 數(shù)列的極限1.填空題: （1） 設(shè)數(shù)列的一般項(xiàng)，則 0 . （3） 0 . （4）已知，則= 0 ，= 6 .（5）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件. 數(shù)列收斂是數(shù)列有界的充分條件. 2選擇題: （1）若數(shù)列有極限，則在的鄰域之外，數(shù)列中的項(xiàng)(B).A.必不存在； B.至多只有有限多個(gè)； C.必定有無(wú)窮多個(gè)；D.可以有有限個(gè)， 也可以有無(wú)限多個(gè). （2）“對(duì)任意給定的e&#

5、206;（0，1），總存在正整數(shù)N，當(dāng)時(shí)，恒有”是數(shù)列收斂于的(D).A. 充分但非必要條件； B.必要但非充分條件； C. 既非充分也非必要條件； D.充分必要條件.（3）下列正確的是(B. D. )A.若數(shù)列和都發(fā)散，則數(shù)列也發(fā)散. B.在數(shù)列中任意去掉或增加有限項(xiàng)，不影響的斂散性. C.發(fā)散數(shù)列必定無(wú)界. D.若從數(shù)列中可選出一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列，則該數(shù)列必發(fā)散. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: （1）； （2）.4. 若，證明.并舉例說(shuō)明反之不成立.5. 設(shè)數(shù)列有界，又，證明:.第三節(jié) 函數(shù)的極限 1填空題: （1）設(shè)，則 b ， 1 . 當(dāng) 1 時(shí)，. （2）設(shè)，當(dāng) 時(shí)，是無(wú)窮小量，當(dāng)

6、1 時(shí)，是無(wú)窮大量。 （3），當(dāng)且僅當(dāng)是無(wú)窮小 . （4）當(dāng)時(shí)的右極限及左極限都存在且相等 是存在的 充分必要 條件. （5）在自變量的同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮大，則為 無(wú)窮小 .（6）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)：在的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的必要條件. 存在是在的某一去心鄰域內(nèi)有界的充分條件. 在的某一去心鄰域內(nèi)無(wú)界是的必要條件. 是在的某一去心鄰域內(nèi)無(wú)界的充分條件. 當(dāng)時(shí)的右極限及左極限都存在且相等是存在的充分必要條件.2選擇題: （1）若存在，則(A ).A.必在的某一去心鄰域內(nèi)有界； B.在的某一鄰域內(nèi)一定無(wú)界； C.必在的任一鄰域內(nèi)有界；

7、D.在的任一鄰域內(nèi)無(wú)界 （2）若，則( C ).A.在的函數(shù)值必存在且等于； B.在的函數(shù)值必存在但不一定等于； C.在的函數(shù)值可以不存在； D.如果在的函數(shù)值存在，則.（3）下列正確的是：(D. ).A. 無(wú)界變量必為無(wú)窮大. B.若且，則必有. C.若，且，則在的某鄰域內(nèi)，恒有.D. 無(wú)窮大必為無(wú)界變量.（4）（ ）A.1； B.-1； C.0； D.不存在.（5）當(dāng)時(shí)，變量是（ ）A.無(wú)窮小量 B.無(wú)窮大量 C.有界但非無(wú)窮小量 D.無(wú)界但非無(wú)窮大量 (6)設(shè)，則存在，當(dāng)時(shí)有（ C ）成立。A. B. C. D. 3.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: （1）； （2）； （3）； （4） . 4

8、求，當(dāng)時(shí)的左右極限，并說(shuō)明它們?cè)?時(shí)的極限是否存在?解：不存在， 5證明不存在.6.函數(shù)在（-¥，+¥）內(nèi)是否有界，這個(gè)函數(shù)是否為x® +¥ 時(shí)的無(wú)窮大？為什么？第四節(jié) 極限運(yùn)算法則1 選擇題: （1） 設(shè)數(shù)列收斂，發(fā)散，則下列斷言正確的是(B ).A. 必收斂； B. 必發(fā)散；C. 必收斂； D. 必發(fā)散. （2） 已知x® ¥ 時(shí)，發(fā)散，則x® ¥ 時(shí)(D ).A. 若發(fā)散，則必發(fā)散； B. 若發(fā)散，則必收斂；C. 若收斂，則必收斂； D. 若收斂，則必發(fā)散. （3） 若，則下列斷言正確的是( C ).A.當(dāng)為

9、任意函數(shù)時(shí)，有；B.僅當(dāng)時(shí)，才有；C.當(dāng)為有界函數(shù)時(shí)，有；D.僅當(dāng)為常數(shù)時(shí)，才能使成立.（4）下列正確的是(E ).A.若在某個(gè)過(guò)程中，與都無(wú)極限，則+必?zé)o極限.( ) B. ( ) C.若，則必有或者. ( ) D. ( )D. ( )E.若在某個(gè)過(guò)程中，無(wú)極限，有極限，則+必?zé)o極限.( )（5）設(shè)則= ( ) A-1 ； B.1 ； C.0 ； D.不存在 .（6）當(dāng)時(shí)。函數(shù)的極限是（ ）A0 ； B. ； C. ； D.不存在但不是無(wú)窮 .2計(jì)算下列極限: （1）解：-1（2）解：0（3）解： （4）解：0（5）解： （6）解：-1（7）解：（8）解：（9）解：1（10）解：43證明解：

10、不存在4證明不存在.5若，求的值.解：a=1， b= 1.6 第五節(jié) 兩個(gè)重要極限 無(wú)窮小比較1 選擇題:（1） 下列正確的是（A，E ） A.若，且時(shí)，時(shí) ，則.B.若數(shù)列單調(diào)上升且有下界，則數(shù)列必收斂. C.數(shù)列收斂的充分必要條件是數(shù)列為單調(diào)有界. D. E.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是關(guān)于的二階無(wú)窮小.（2） 設(shè)，則當(dāng)時(shí)（ B. ）. A.與是等價(jià)無(wú)窮小. B.與同階但非等價(jià)無(wú)窮小. C.是比高階的無(wú)窮小. D.是比低階的無(wú)窮小.（3）當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)哪一個(gè)是其它三個(gè)的高階無(wú)窮?。?） A.； B.； C.； D. （4）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮?。?） A.； B.； C. 2； D. 2計(jì)算下列極限:

11、 （1）解： （2）（k為正整數(shù)）解： （3）解：（4）解：e （5）解： （6）解：1 （7）解： （8）（為正整數(shù)）解： （9）解：左極限為： ，右極限為： 。所以原極限不存在。 （10）3利用等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì)求極限. （1）；解： （2）；解： （3） ； 解： . (4) 解： .(5) 解：(6) 解：(7) 解：（8）原式=（9）解：2（10）解：（11）解：（12）解：1（13）已知，求解：（14）解：（15）解：4（16）4.利用極限存在準(zhǔn)則證明下列各題 （1） .（2）設(shè)， 則.第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1.填空題:（1）是函數(shù)的第 類間斷點(diǎn). （2）是函數(shù)的第 類型間斷點(diǎn).

12、 （3）設(shè)，若定義 1 ，則在處連續(xù). （4）若函數(shù)在處連續(xù)，則必等于 2 .2選擇題：（1）下列正確的是（A， C ）A.若在連續(xù)，則必有. B.若在連續(xù)，則在必連續(xù). C.若在連續(xù)，在不連續(xù)，則+在必不連續(xù). D.若與在點(diǎn)處均不連續(xù)，則在必不連續(xù). E.若在內(nèi)連續(xù)，則在必有界. （2）是 的 （ B. ）A. 連續(xù)點(diǎn), B. 可去間斷點(diǎn),C. 第一類間斷點(diǎn)、但不是可去間斷點(diǎn), D.第二類間斷點(diǎn). （3）設(shè) 則是的（ B. ）A. 連續(xù)點(diǎn), B. 可去間斷點(diǎn),C. 第一類間斷點(diǎn)、但不是可去間斷點(diǎn), D.第二類間斷點(diǎn). 3.研究在處的連續(xù)性，并畫出該函數(shù)的圖形.解：在連續(xù).4.要使連續(xù)，常數(shù)應(yīng)

13、取什么數(shù)值 解：5.研究在點(diǎn)處的左連續(xù)性與右連續(xù)性.解：左不連續(xù)，右連續(xù).6.設(shè)有函數(shù)試確定的值使在連續(xù) . 第七節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.填空題:（1）， 0 ；若無(wú)間斷點(diǎn)，則 0 .（2）的連續(xù)區(qū)間 .（3） 的連續(xù)區(qū)間 .2選擇題：下列正確的是（ C， D. ）A.設(shè)在上有定義，在內(nèi)連續(xù)，且，則至少存 在一點(diǎn)使. B.設(shè)在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)可取到最大值和最小值. C.在上連續(xù)，且無(wú)零點(diǎn)，則在上恒為正或恒為負(fù). D.在內(nèi)單調(diào)，則在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).3.求下列極限: (1)解： (2)解： 0 (3)解： 1 (4) 解：.4證明方程至少有一個(gè)介于1和2之間的實(shí)根。5.證明方

14、程(其中)至少有一個(gè)正根，并且不超 過(guò).6設(shè)在上連續(xù)，且，.證明至少存在一點(diǎn)，使得.7證明:若在內(nèi)連續(xù)，且存在，則必在內(nèi)有界.第一章 自測(cè)題一、填空題：1. 設(shè)函數(shù)f (x) = ，則f (f (x) = =1 。2. f (x) = 的定義域是 。3. 設(shè)f (x) 單調(diào)減少，且f (x) < g (x)，若f (x)與g (x)可以相互復(fù)合及自己復(fù)合，則f g (x)與g f (x)的大小關(guān)系是 < 。4. 設(shè)f(x) =是上的連續(xù)函數(shù)，則a = 1 。5. f (x) =的間斷點(diǎn)是 0，1，-1 ，其中可去間斷點(diǎn)是 1 。二、單項(xiàng)選擇題：1. 設(shè)f(x)是定義在(¥

15、， +¥)內(nèi)的奇函數(shù)，g(x)是定義在(¥， +¥)內(nèi)的偶函數(shù)，則：（B）(A) f g (x)與g f (x)都是奇函數(shù)。(B) f g (x)與g f (x)都是偶函數(shù)。(C) f g (x)與g f (x)都是非奇非偶函數(shù)。(D)g f (x)是奇函數(shù)，f g (x)是非奇非偶函數(shù)。2. 當(dāng)時(shí)，是（ D ）：(A)無(wú)窮小。 (B)無(wú)窮大。 (C)有界但不是無(wú)窮小。 (D)無(wú)界但不是無(wú)窮大。3. ，則（ C ）(A).0 (B).不存在 (C). 2 (D).14. 對(duì)任意的x，總有，且，則 (D)(A)存在且等于零。 (B)存在但不一定為零。(C)一定不存在

16、。(D)不一定存在。5. 設(shè)函數(shù)f (x)在a， b上連續(xù)，則f (a) f (b) < 0是方程f (x) = 0在 (a， b)內(nèi)至少有一個(gè)根的( A )。(A)充分條件。 (B)必要條件。 (C)充分必要條件。(D)既非充分條件又非必要條件。6. ，它的連續(xù)區(qū)間為( C )。(A)| x | > 1。 (B)| x | > 2。 (C)。(D)。三、求y =的定義域。解：或四、已知， ，求f g (x) 與g f (x)。解：，。五、設(shè)函數(shù)f (x)在x = 0點(diǎn)連續(xù)， 且f (0) = 0， 已知| g (x) | £ | f (x) |， 試證函數(shù)g (x)在x = 0點(diǎn)也連續(xù)。解：是六、求下列極限：