第一章獨(dú)立性

1、12內(nèi)容復(fù)習(xí)內(nèi)容復(fù)習(xí)()( )( ),.,P ABP A P BAAA BBB 設(shè)設(shè)是是兩兩事事件件 如如果果滿滿足足等等式式則則稱(chēng)稱(chēng)事事件件簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)互互獨(dú)獨(dú)立立獨(dú)獨(dú)立立相相定義定義1.41.4 ()(,( )0., . )A BP AAP B APBB 設(shè)設(shè)是是兩兩事事件件 且且則則相相互互獨(dú)獨(dú)充充分分必必要要是是條條件件立立的的定定理理1 1 ()(,( )0., . )A BP BAP A BPBA 設(shè)設(shè)是是兩兩事事件件 且且則則相相互互獨(dú)獨(dú)充充分分必必要要是是條條件件立立的的推推論論1 1兩事件發(fā)生可能性的大小并不相互影響兩事件發(fā)生可能性的大小并不相互影響根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷：根據(jù)

2、問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷：3兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互兩事件互斥斥 ABAB11( ),( ),22P AP B則則AB()( ) ( ).P ABP A P B 故故 例如例如由此可見(jiàn)由此可見(jiàn)兩事件兩事件相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥有聯(lián)系嗎？?jī)墒录嗷オ?dú)立與兩事件互斥有聯(lián)系嗎？4再如再如 請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨(dú)立不獨(dú)立.反之，若反之，若A與與B獨(dú)立，且獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0, 則則

3、A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不獨(dú)立不獨(dú)立我們來(lái)計(jì)算：我們來(lái)計(jì)算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即5 問(wèn)題：能否在樣本空間問(wèn)題：能否在樣本空間中找兩個(gè)事件中找兩個(gè)事件,它它們既相互獨(dú)立又互斥們既相互獨(dú)立又互斥?這兩個(gè)事件就是這兩個(gè)事件就是 和和P( ) =P( )P()=0 與與獨(dú)立且互斥獨(dú)立且互斥事實(shí)上，事實(shí)上， 與任何事件與任何事件A都獨(dú)立都獨(dú)立.6推廣推廣1 三事件兩兩相互獨(dú)立的概念三事件兩兩相互獨(dú)立的概念.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)

4、設(shè)定義定義CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA ()( )( ),.,P ABP A P BAAA BBB 設(shè)設(shè)是是兩兩事事件件 如如果果滿滿足足等等式式則則稱(chēng)稱(chēng)事事件件簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)互互獨(dú)獨(dú)立立獨(dú)獨(dú)立立相相兩個(gè)事件相互獨(dú)立兩個(gè)事件相互獨(dú)立7注意注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立推廣推廣2 三事件相互獨(dú)立的概念三事件相互獨(dú)立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)定義定義CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPA

5、PABPCBA ,A B C 兩兩兩兩相相互互獨(dú)獨(dú)立立8),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為為相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的事事件件則則稱(chēng)稱(chēng)nAAAn 個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立具有等式具有等式任意任意如果對(duì)于任意如果對(duì)于任意個(gè)事件個(gè)事件是是設(shè)設(shè),1),1(,2121niiinkknAAAkn 推廣推廣3例如例如1234,AAAA相相互互獨(dú)獨(dú)立立121213131414232324242434()()(),()()(),()()(),()()()()()(),()()(),PA APAPAPA APAPAPA APAPAPAA

6、PAPAPAAPAPAPAAPAPA 12312312412413413423423412341234()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()()(),P A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A A AP AP AP AP A 9證明證明.AB只只證證與與獨(dú)獨(dú)立立()( )( )( ).P ABP A ABP AP AB .,也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立與與與與與與則下列各對(duì)事件則下列各對(duì)事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若BABABABA定定理理2 2()( ) ( ),P

7、 ABP A P B 又又()()() ()P ABP AP A P B )(1)(BPAP ).()(BPAP . AB與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立練習(xí)練習(xí)A BAB已已知知 與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立證證明明： 與與 也也相相互互獨(dú)獨(dú)立立10推論推論1212,(2), . nnnAAA nAAAn 若若個(gè)個(gè)事事件件相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則將將中中任任意意多多個(gè)個(gè)事事件件換換成成它它們們的的對(duì)對(duì)立立事事件件 所所得得的的個(gè)個(gè)事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立.,也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立與與與與與與則下列各對(duì)事件則下列各對(duì)事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若BABABABA定定理理2 2例如例如121, . nnAAAA 仍仍相相互

8、互獨(dú)獨(dú)立立121, . nnAAAA 仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立11事件獨(dú)立性的應(yīng)用舉例事件獨(dú)立性的應(yīng)用舉例1、加法公式的簡(jiǎn)化加法公式的簡(jiǎn)化：若事件若事件A1，A2，An相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則 1122()1() ()()nnP AAAP A P AP A2、乘法公式的簡(jiǎn)化乘法公式的簡(jiǎn)化：若若事件事件A1，A2，An相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則 1212()() ()()nnP A AAP A P AP A 12例例1 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為譯出的概率分別為0.2， 0.3 ，0.5 ，問(wèn)三人中，問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多

9、少？至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：記解：記 Ai=第第i個(gè)人破譯出密碼個(gè)人破譯出密碼 i=1,2,3所求為所求為 P(A1A2 A3)獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用121()nP AAA)(1321AAAP)()()(1321APAPAP10.8 0.70.50.7213例例2 設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問(wèn)擊落飛問(wèn)擊落飛機(jī)的概率是多少機(jī)的概率是多少?射擊問(wèn)題射擊問(wèn)題解解,名射手擊落飛機(jī)”名射手擊落飛機(jī)”為“第為“第設(shè)事件設(shè)事件iA

10、i事件事件 B 為為“擊落飛機(jī)擊落飛機(jī)”, ,1021AAAB 則則.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP 14)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 此例意義為：此例意義為：“小概率事件小概率事件”在大量獨(dú)立重復(fù)試在大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中驗(yàn)中“至少有一次發(fā)生至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。幾乎是必然的。15例例3 某型號(hào)火炮的命中率為某型號(hào)火炮的命中率為0.8，現(xiàn)有一架敵機(jī)，現(xiàn)有一架敵機(jī)即將入侵，如果欲以即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率擊中它，則的概率擊中它，則需配備

11、此型號(hào)火炮多少門(mén)？需配備此型號(hào)火炮多少門(mén)？解解: : 設(shè)需配備設(shè)需配備 n n 門(mén)此型號(hào)火炮門(mén)此型號(hào)火炮設(shè)事件設(shè)事件 表示第表示第 i i 門(mén)火炮擊中敵機(jī)門(mén)火炮擊中敵機(jī)iA999. 02 . 01)(11)(1nniiniAPAP29.42 .0ln001.0lnn故需配備故需配備 5 5 門(mén)此型號(hào)火炮門(mén)此型號(hào)火炮. .16例例4 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人擊中飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概被兩人擊中而被擊落的概率為率為 0

12、.6 , 若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)求飛機(jī)被擊落的概率被擊落的概率.解解 ,個(gè)個(gè)人人擊擊中中飛飛機(jī)機(jī)表表示示有有設(shè)設(shè)iAiA, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī) , 1,AABCABCABC 由由于于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP則則D 表示飛機(jī)被擊落表示飛機(jī)被擊落123()0.2,()0.6,()1,P D AP D AP D A 17)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03

13、. 05 . 04 . 0 .36. 0 2,AABCABCABC 因因?yàn)闉?()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得18, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由由全概率公式全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為得飛機(jī)被擊落的概率為14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 19例例5 同時(shí)拋擲一對(duì)骰子同時(shí)拋擲一對(duì)骰子,共拋兩次共拋兩次,求兩次所得點(diǎn)求兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為數(shù)分別為7與與11的概率的概

14、率.解解事件事件 A 為兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為為兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為 7 與與 11.則有則有)()(2121ABBAPAP )()(2121ABPBAP )()()()(2121APBPBPAP 366362362366 .541 . 2 , 17 iiAi點(diǎn)”點(diǎn)”次得次得為“第為“第設(shè)事件設(shè)事件. 2 , 111 iiBi點(diǎn)”點(diǎn)”次得次得為“第為“第設(shè)事件設(shè)事件20獨(dú)立性在可靠理論中的應(yīng)用獨(dú)立性在可靠理論中的應(yīng)用(1) (1) 串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)12(.)nP A AA1(). ()nP AP A (2) (2) 并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)12(.)nP AAA 11(). ()nP AP A21. . )

15、4, 3, 2, 1(,)(4, 3, 2, 14,.)()(試試求求系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性個(gè)個(gè)元元件件的的可可靠靠性性為為設(shè)設(shè)第第稱(chēng)稱(chēng)為為串串并并聯(lián)聯(lián)系系統(tǒng)統(tǒng)聯(lián)聯(lián)結(jié)結(jié)按按先先串串聯(lián)聯(lián)再再并并聯(lián)聯(lián)的的方方式式工工作作的的元元件件個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)有有如如圖圖所所示示的的可可靠靠性性或或系系統(tǒng)統(tǒng)元元件件能能正正常常工工作作的的概概率率稱(chēng)稱(chēng)為為或或系系統(tǒng)統(tǒng)一一個(gè)個(gè)元元件件 ipii1234 解解,)4 , 3 , 2 , 1(個(gè)元件正常工作個(gè)元件正常工作表示事件第表示事件第以以iiAi 例例6 622. 表示系統(tǒng)正常工作表示系統(tǒng)正常工作以以 A.4321AAAAA 則有則有:,得得系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可

16、靠靠性性由由事事件件的的獨(dú)獨(dú)立立性性)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP )()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP .43214321pppppppp 123423課堂練習(xí)課堂練習(xí)4 設(shè)設(shè)有有 門(mén)門(mén)高高射射炮炮各各向向敵敵機(jī)機(jī)發(fā)發(fā)射射一一發(fā)發(fā)炮炮彈彈，命命中中敵敵機(jī)機(jī)的的概概率率均均為為 0.2, 0.2,若若敵敵機(jī)機(jī)至至少少被被兩兩發(fā)發(fā)炮炮彈彈擊擊中中才才會(huì)會(huì)被被擊擊落落，求求敵敵機(jī)機(jī)被被擊擊落落的的概概率率？24將試驗(yàn)將試驗(yàn) E 重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行 n 次次, 若各次試驗(yàn)的結(jié)果互若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響不影響 , 即每次試驗(yàn)結(jié)果出

17、現(xiàn)的概率都不依賴(lài)于其即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴(lài)于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果它各次試驗(yàn)的結(jié)果, 則稱(chēng)這則稱(chēng)這 n 次試驗(yàn)是次試驗(yàn)是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的的, 或稱(chēng)為或稱(chēng)為 n 次次重復(fù)獨(dú)立重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)試驗(yàn).(1) 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)二二. 伯努利概型伯努利概型25(2) n 重重伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn).1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此時(shí)此時(shí)設(shè)設(shè)為伯努利試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn)則稱(chēng)則稱(chēng)及及只有兩個(gè)可能結(jié)果只有兩個(gè)可能結(jié)果設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn). , 重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn) nnE復(fù)復(fù)的的獨(dú)獨(dú)立立試試驗(yàn)驗(yàn)為為則則稱(chēng)稱(chēng)這這一一串串重重次次獨(dú)獨(dú)立立地地重重復(fù)復(fù)地地進(jìn)進(jìn)行行將將實(shí)例實(shí)例1 拋一枚硬幣觀

18、察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將硬若將硬幣拋幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).實(shí)例實(shí)例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點(diǎn)點(diǎn)”, 就就是是 n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).26定理定理1.3 （P.23）在在 n重伯努利試驗(yàn)中，事件重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 ，則，則A發(fā)生發(fā)生k次的概率次的概率 )10( pp., 2 , 1 , 0,)(nkqpCkPknkknn 其中其中 q=1p 。伯努利公式正好是二項(xiàng)式公式的一般項(xiàng)：伯努利公式正好是二項(xiàng)式公式的一般項(xiàng)：nkknknnnnppqCpnqqpq 1)(伯努

19、利公式伯努利公式在第二章稱(chēng)為在第二章稱(chēng)為二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布。27證證設(shè)設(shè)B表示表示“n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中A發(fā)生發(fā)生k次次”，個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)knkAAAA k個(gè)個(gè)A的位置有以下的位置有以下 種可能情況：種可能情況：)(knCm 個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)11 knkAAAAAA個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)kknAAAA B1=B2=Bm=,1miiBB 則則),(jiBBji 且且由試驗(yàn)的獨(dú)立性，由試驗(yàn)的獨(dú)立性，)()()()()(1APAPAPAPBP knkqp )()(2mBPBP miiBPBP1)()(knkqmp knkknqpC 28例例 （P.25）一條一條自動(dòng)生產(chǎn)線自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品，次品率為上的產(chǎn)品，次品率為4，從中任取，

20、從中任取10件，求解以下問(wèn)題：件，求解以下問(wèn)題：（0）求有）求有2件次品的概率；件次品的概率；（1）求至少有）求至少有2件次品的概率；件次品的概率；（2）一次?。┮淮稳?件，無(wú)放回抽取，求當(dāng)取到第二件次件，無(wú)放回抽取，求當(dāng)取到第二件次品時(shí)，之前已取到品時(shí)，之前已取到8件正品的概率。件正品的概率。分析：分析：試驗(yàn)試驗(yàn)E是是“任取任取1件產(chǎn)品觀察是正品還是次件產(chǎn)品觀察是正品還是次品品”。若是。若是有放回有放回抽取，連取抽取，連取10件為件為10次重復(fù)獨(dú)立試次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。驗(yàn)。由于自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品多（或一批產(chǎn)品），當(dāng)抽取由于自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品多（或一批產(chǎn)品），當(dāng)抽取的件數(shù)相對(duì)較少時(shí)，的件數(shù)相對(duì)較少

21、時(shí)，無(wú)放回?zé)o放回抽取也看成抽取也看成重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，且每次只有且每次只有“正品正品”或或“次品次品”兩種結(jié)果，兩種結(jié)果，每次抽到每次抽到次品的概率都是次品的概率都是0.04，因此可看成因此可看成10重伯努利試驗(yàn)。重伯努利試驗(yàn)。多！多！29解解 設(shè)設(shè)A表示表示“任取任取1件時(shí)件時(shí)次品次品”，與題中所問(wèn)一致與題中所問(wèn)一致96. 0)(,04. 0)( APqAPp則則（0）設(shè)所求概率為）設(shè)所求概率為822101096. 004. 0)2( CP0519. 0 （1）設(shè)所求概率為）設(shè)所求概率為P(B), 則則 10210)()(kkPBP)1()0(11010PP 911101096.

22、004. 096. 01 C0582. 0 30(2) 由題意，當(dāng)?shù)诙纬榈酱纹酚深}意，當(dāng)?shù)诙纬榈酱纹窌r(shí)共抽了時(shí)共抽了10次，前次，前9次中次中8“正正”1“次次”。次次8“正正”1“次次”1910這不是這不是10重伯努利試重伯努利試驗(yàn)！驗(yàn)！為什么？為什么？因第因第10次試驗(yàn)只有次試驗(yàn)只有“次品次品”一個(gè)可能結(jié)一個(gè)可能結(jié)果！果！設(shè)設(shè)C表示表示“前前9次抽得次抽得8件正件正品品1件次品件次品”，則所求概率為則所求概率為)(CDP)(CP 81996. 004. 0 C)(DP04. 0 0104. 0 用伯努利公式用伯努利公式D表示表示“第十次抽得次品第十次抽得次品”，31注注： 若將（若將（

23、1）換為：求任?。Q為：求任取10件中恰有件中恰有2件件正品正品的的概率，則概率，則,96. 0 p所求概率為：所求概率為：004. 096. 082210 C有些題用伯努利公式解比其它方法簡(jiǎn)單，如：有些題用伯努利公式解比其它方法簡(jiǎn)單，如：32例例有放回有放回任取任取k (a) 件，件， 設(shè)設(shè) B=k 件中恰有件中恰有 r 件次品件次品，則，則產(chǎn)品產(chǎn)品a+b 件件次品次品 a 件件正品正品b 件件rkrrkbabbaaCBP )()()(且取得次品的概率均為且取得次品的概率均為,baap 因這是因這是k次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，每次只可能是次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，每次只可能是“次品次品”或或“正品正品”，故由伯努利公式可得結(jié)果。故由伯努利公式可得結(jié)果。與用古典定義所得之結(jié)果相同。與用古典定義所得之結(jié)果相同。33例（逆問(wèn)題）例（逆問(wèn)題）P.28例例4每門(mén)炮的炮彈擊中敵機(jī)的概率均