不定積分的概念及性質(zhì)

1、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì)不定積分的概念及性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 不定積分的積分方法不定積分的積分方法第五章第五章 不定積分不定積分 一、一、不定積分的概念不定積分的概念 二、二、基本積分公式基本積分公式 三、三、不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì)不定積分的概念及性質(zhì) 1 1原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念例例 因?yàn)橐驗(yàn)?(ln ) xx ，故，故ln x是是 1x的一個(gè)原函數(shù)；的一個(gè)原函數(shù)； 因?yàn)橐驗(yàn)?()2xx，所以，所以 2x是是2x的一個(gè)原函數(shù)，但的一個(gè)原函數(shù)，但 222(1)(2)(3)xxx2x，所所以以 2x的的原原函函 數(shù)數(shù)不不是是惟惟一一的的 原函數(shù)說(shuō)

2、明：原函數(shù)說(shuō)明：第一， 原函數(shù)的存在問(wèn)題： 如果第一， 原函數(shù)的存在問(wèn)題： 如果( )f x在某區(qū)間連續(xù)，在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在那么它的原函數(shù)一定存在( (將在下章加以說(shuō)明將在下章加以說(shuō)明) ) 定義定義 1 1 設(shè)設(shè)( )f x是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存在函數(shù)在函數(shù)( )f x，使得，使得 ( )( )f xf x或或d ( )( )df xf xx, 則稱則稱( )f x為為( )f x的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) 一、不定積分的概念一、不定積分的概念第第二二，原原函函數(shù)數(shù)的的一一般般表表達(dá)達(dá)式式：前前面面已已指指出出，若若( )f x 存存

3、在在原原函函數(shù)數(shù)，就就不不是是惟惟一一的的，那那么么，這這些些原原函函數(shù)數(shù)之之間間有有 什什么么差差異異？能能否否寫寫成成統(tǒng)統(tǒng)一一的的表表達(dá)達(dá)式式呢呢？對(duì)對(duì)此此，有有如如下下結(jié)結(jié) 論論： 定理定理 若若( )f x是是( )f x的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則( )f xc是是 ( )f x的全部原函數(shù)，其中的全部原函數(shù)，其中 c為任意常數(shù)為任意常數(shù) 證證 由于由于( )( )f xf x， 又， 又 ( )( )( )f xcf xf x，所以函數(shù)族所以函數(shù)族( )f xc中的每一個(gè)都是中的每一個(gè)都是( )f x的原函數(shù)的原函數(shù) 另一方面另一方面, ,設(shè)設(shè)( )g x是是( )f x的任一

4、個(gè)原函數(shù)，的任一個(gè)原函數(shù)， 即即( )( )g xf x，則可證，則可證( )f x與與( )g x之間只相差一個(gè)常數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù). . 這這樣樣就就證證明明了了( )f x的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)剛剛好好組組成成函函數(shù)數(shù)族族 ( )f xc 所以所以( )( )f xg xc，或者，或者( )( )g xf xc，這就是說(shuō)，這就是說(shuō) ( )f x的任一個(gè)原函數(shù)的任一個(gè)原函數(shù)( )g x均可表示成均可表示成( )f xc的形式的形式 事實(shí)上事實(shí)上, ,因?yàn)橐驗(yàn)?( )( )( )( )( )( )0f xg xf xg xf xf x， 2. 2. 不定積分的概念不定積分的概念定定義義

5、2 2 函函數(shù)數(shù)( )f x的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)( )f xc叫叫做做( )f x的的不不定定積積分分，定定積積分分，記記為為 ( )d( )f xxf xc，其其中中( )( )f xf x, , 上式中的上式中的x叫做積分變量，叫做積分變量，( )f x叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，( )df xx叫叫做被積表達(dá)式，做被積表達(dá)式，c叫做積分常數(shù)， “叫做積分常數(shù)， “”叫做積分號(hào)”叫做積分號(hào) 例例 1 1 求下列不定積分：求下列不定積分：（1 1）2dxx； （2 2）sin dx x；（3 3）1dxx 解解 （1 1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?331xx，所以，所以cxxx3231d. . （2

6、2）因因?yàn)闉閤xsin)cos(，所所以以cxxxcosdsin. . （3 3）因因?yàn)闉? x時(shí)時(shí)，xx1)(ln，又又0 x時(shí)時(shí)， xxx11 )ln(，所以，所以cxxx|lnd1. . 例例 2 2 設(shè)設(shè)曲曲線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)（1 1，2 2）且且斜斜率率為為x2，求求曲曲線線方方程程 解解 設(shè)設(shè)所所求求曲曲線線方方程程為為)(xyy 按按xxy2dd，故故cxxxy2d2 又又因因?yàn)闉榍€線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) （1 1， 2 2） ， 故故代代入入上上式式c12， 得得 1c，于于是是所所求求方方程程為為12 xy. . 例例 3 3 設(shè)某物體運(yùn)動(dòng)速度為設(shè)某物體運(yùn)動(dòng)速度為23tv， 且當(dāng)， 且當(dāng)

7、0t時(shí)，時(shí)，2s，求運(yùn)動(dòng)規(guī)律求運(yùn)動(dòng)規(guī)律)(tss 解解 按題意有按題意有23)(tts，即，即ctttts32d3)(，再將，再將 條條件件0t時(shí)時(shí)2s代代入入得得 2c，故所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，故所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為23ts 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算之間的互逆關(guān)系：積分運(yùn)算與微分運(yùn)算之間的互逆關(guān)系：（1 1）)(d)(xfxxf或或；xxfxxfd)(d)(d (2)(2)cxfxxf)(d)(或或cxfxf)()(d 由于求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，所以由導(dǎo)數(shù)公由于求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，所以由導(dǎo)數(shù)公 式可以相應(yīng)地得出下列積分公式：式可以相應(yīng)地得出下列積分公式： ( (1 1) )ckxxkd( (k為

8、為常常數(shù)數(shù)) )， (2)(2)cxxx111d（1） ， (3)(3)cxxxlnd1， (4)(4)e dexxxc， (5)(5)caaxaxxlnd ， ( (6 6) )cxxxsindcos， ( (7 7) )cxxxcosdsin， 二、二、 基本積分公式基本積分公式(8)(8)cxxxxxtandsecdcos122， ( (9 9) )cxxxxxcotdcscdsin122， ( (1 10 0) )cxxxxsecdtansec， (11)(11)cxxxxcscdcotcsc， (12)(12)cxxxarctand112， （1 13 3）cxxxarcsind11

9、2. . 性質(zhì)性質(zhì)1 1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分 號(hào)外，即號(hào)外，即 xxfkxxkfd)(d)( （0k）. . 性質(zhì)性質(zhì)2 2 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分 的代數(shù)和，即的代數(shù)和，即 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. . 例例 4 4 求下列不定積分：求下列不定積分：（1 1）；xxd12 (2)(2)xxxd； (3)(3)gxx2d 解解 （）cxcxxxxx112dd11222. . （）cxxxxxx252352dd. . 三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) （） xxgg

10、xxd212d ggxcxg2121121121 c 例例 5 5 求下列不定積分求下列不定積分: :（）xxxxd11； （）xxxd1122 解解（1 1）xxxxxxxxxd11d11 xxxxxxxxd1d1dd.2215221225cxxxx（）xxxxxxxxd121d121d1122222 .arctan21d2d2cxxxxx 例例 6 6 求下列不定積分：求下列不定積分：(1)(1)xxdtan2； (2) (2)xxd2sin2 解解 ( (1 1) ) xxdtan2xxd) 1(sec2 = =.tanddsec2cxxxxx 21 cossindd2211sin.22xxxxxxc (2) (2)例例 7 7 設(shè)設(shè),cossin22xxf求求 xf 解解 由由于于xxxf222sin1cossin， 所所以以 xxf1, ,故故知知)(xf是是x1的的原原函函數(shù)數(shù) ， cxxxxxf2d)1 (