專(zhuān)題調(diào)研數(shù)學(xué)平面向量與平面解析幾何

1、第一章 平面向量專(zhuān)題二 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示歸納點(diǎn)1 平面向量的基本定理(1)和必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量：如果和共線(xiàn)，由共線(xiàn)向量定理，存在唯一的實(shí)數(shù)使，則，再由共線(xiàn)向量定理知與共線(xiàn)，即只能表示平面內(nèi)與和共線(xiàn)的向量(2)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、的含義：如果且，那么且，逆過(guò)來(lái)如果且，當(dāng)然有，即特別有(3)向量的線(xiàn)性相關(guān)：如果兩個(gè)非零向量與有線(xiàn)性關(guān)系，式中不全為零，則稱(chēng)這兩個(gè)向量共線(xiàn)；反之亦成立，稱(chēng)向量和 線(xiàn)性相關(guān).如果兩個(gè)非零向量與有線(xiàn)性關(guān)系，且只有在和時(shí)才成立，則稱(chēng)向量和 線(xiàn)性無(wú)關(guān).(4)如G是ABC的重心，則平面上任一點(diǎn)O，總有(5)在一個(gè)平面圖形中,用待定系數(shù)法通過(guò)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量

2、確定另一個(gè)向量.歸納點(diǎn)1 平面向量的坐標(biāo)表示(1)如果，C為AB的中點(diǎn)，則.(2)如果G是ABC的重心， ，則.(3)向量平行的坐標(biāo)表示：設(shè)向量，如果，那么；反之，如果，那么 . 為了便于記憶，可以把改寫(xiě)為，但應(yīng)注意分母不為零. 如果則.如果則.(4)相等向量的坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)可以不同，如A(3，5)，B(6，8)，； C(-5，3)，D(-2，6)，.顯然，但A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同.(5)兩個(gè)向量共線(xiàn)或相等的問(wèn)題,?？衫孟蛄康淖鴺?biāo)形式進(jìn)行判斷與計(jì)算.常考點(diǎn)2 平面向量的坐標(biāo)表示【剖析】 向量的坐標(biāo)表示是向量表示的一種重要形式，借助于這個(gè)工具，可以有效地實(shí)現(xiàn)向量問(wèn)題與幾

3、何問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，利用向量的坐標(biāo)法處理共線(xiàn)問(wèn)題是高考的重點(diǎn)之一，往往出現(xiàn)在選擇題或填空題中，屬于中低檔題.要認(rèn)真掌握好坐標(biāo)形式的向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算，善于將相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式進(jìn)行解答，提高解題的效率.典例6 (2008·江蘇徐州模擬) 設(shè)坐標(biāo)平面上有三點(diǎn)A、B、C，分別是坐標(biāo)平面上x(chóng)軸，y軸正方向的單位向量，若向量2，那么是否存在實(shí)數(shù)，使A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，即 方法一 假設(shè)滿(mǎn)足條件的存在，由A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，即，存在實(shí)數(shù)，使，2()， ，2當(dāng)2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)方法二 假設(shè)滿(mǎn)足條件的存在，根據(jù)題意可知：(1，0)，(0，1)，(1，0)2(0，1)(1，2)，(1，0)(0

4、，1)(1，)，由A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，即，故1·1·(2)0解得2當(dāng)2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn) 【點(diǎn)評(píng)】 共線(xiàn)向量的充要條件有兩種不同的表示形式，一是向量的線(xiàn)性關(guān)系，二是坐標(biāo)關(guān)系，但其本質(zhì)是一樣的，在運(yùn)用中各有特點(diǎn)，解題時(shí)可靈活選擇.本題是存在性探索問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般有兩種思考方法，即假設(shè)存在法當(dāng)存在時(shí)；假設(shè)否定法當(dāng)不存在時(shí).本題在解題過(guò)程中，首先假設(shè)滿(mǎn)足條件的存在，由A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn) 存在實(shí)數(shù)，使，從而建立方程來(lái)進(jìn)行求解.第二章 平面解析幾何初步專(zhuān)題一 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示?？键c(diǎn)1 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【剖析】 平面向量的數(shù)量積是一個(gè)重要的概念，是它溝通了向量與實(shí)

5、數(shù)的關(guān)系，為解決平面幾何、不等式等問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的理論依據(jù)，因此復(fù)習(xí)時(shí)要清晰地理解概念，掌握運(yùn)算律的形式及內(nèi)容，熟悉計(jì)算數(shù)量積的公式，并會(huì)正確運(yùn)算. 典例1 (原創(chuàng)題)對(duì)于如下命題：·；0·0；·；若，則對(duì)任一非零有·0；·0，則與中至少有一個(gè)為；對(duì)任意向量，都有(·)(·)；與是兩個(gè)單位向量，則.判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由. 對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有·0；對(duì)于：應(yīng)有0·；對(duì)于：由數(shù)量積定義有···cos，這里是與的夾角，只有或時(shí)，才有··；

6、對(duì)于：若非零向量、垂直，有·；對(duì)于：由·可知可以都非零；對(duì)于：若與共線(xiàn)，記則·()·(·)(·)，(·)·(·)(·)(·).若與不共線(xiàn)，則(·)(·).上述8個(gè)命題中只有正確. 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的基本知識(shí)，處理問(wèn)題時(shí)要注意把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律等，還應(yīng)該把平面向量的數(shù)量積同前面的數(shù)乘區(qū)別開(kāi)來(lái)，加強(qiáng)對(duì)特殊向量的理解和運(yùn)用. 易錯(cuò)點(diǎn)1 不等價(jià)變換引起參數(shù)范圍擴(kuò)大典例 已知：|=,|=3, 和的夾角為45°，求使向量+與+的夾角

7、是銳角時(shí)的取值范圍. ·=|·|·cos 45°=3·=3.+與+夾角為銳角，(+)·(+)>0，即·2+(2+2) +·>0.把·=3，2+2=|2+|2=2+9=11代入得32+11+3>0，解之得<或>，又+與+夾角為銳角，所以即，所以. 【糾錯(cuò)筆記】 在解答本類(lèi)型題目時(shí)，容易將的夾角為銳角和作為等價(jià)條件使用，從而使得所求范圍變大.要注意此類(lèi)題目排除共線(xiàn)的情況，即的夾角為銳角且不共線(xiàn)；的夾角為鈍角>0，且不共線(xiàn). 易錯(cuò)點(diǎn)2 思維定勢(shì)引起信息錯(cuò)覺(jué)典例 設(shè)是夾角為兩個(gè)

8、單位向量，且，求的值. = . 【糾錯(cuò)筆記】 在解答本題時(shí)容易受教材中方向垂直的正交向量的干擾，誤認(rèn)為是垂直的，所以由得，最終得到=3的錯(cuò)誤答案，因此在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，一定要注意認(rèn)真審題，具體問(wèn)題具體分析. 一、選擇題1.直線(xiàn)xcos 1+ysin 13=0的傾斜角是A 1 B 1+ C 1 D 1+2.空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(3，4，5)到平面的距離是A3 B4 C 5 D3.(2008·云南昆明模擬)若圓的圓心到直線(xiàn)的距離為,則a的值為A-2或2 B C2或0 D-2或04. (2007·湖北理)已知直線(xiàn)(是非零常數(shù))與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，

9、那么這樣的直線(xiàn)共有A60條B66條C72條D78條5.方程所表示的圖形是A一條直線(xiàn) B一個(gè)圓 C一條直線(xiàn)和一個(gè)圓 D兩條射線(xiàn)和一個(gè)圓6.(2007·福建泉州模擬)已知ab0,點(diǎn)M(a,b)是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn),直線(xiàn)m是以點(diǎn)M為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn),直線(xiàn)l的方程是ax+by=r2,則下列結(jié)論正確的是A ml,且l與圓相交 B ml,且l與圓相切 C ml,且l與圓相離 D ml,且l與圓相離二、填空題7. (2007·江西卷)設(shè)有一組圓下列四個(gè)命題：存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切；存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相交；存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交；所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn).其中

10、真命題的代號(hào)是(寫(xiě)出所有真命題的代號(hào))8.已知圓O的方程是，圓O的方程是，由動(dòng)點(diǎn)向圓O 和圓O所引的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，則運(yùn)點(diǎn)的軌跡方程是_9.已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A(1,3)，B(5,2)，動(dòng)直線(xiàn)：x+ty=與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)P，則參數(shù)t的取值范圍是 10.函數(shù)的圖像為C,則C與x軸圍成的封閉圖形的面積為_(kāi).11.(2006·江西卷)已知圓M：(xcos q)2(ysin q)21，直線(xiàn)l：ykx，下面四個(gè)命題：對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線(xiàn)l和圓M相切；對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線(xiàn)l和圓M有公共點(diǎn)；對(duì)任意實(shí)數(shù)q，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線(xiàn)l與和圓M相切；對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)q，使得直線(xiàn)l與和圓M相切.其中

11、真命題的個(gè)數(shù)是_.三、解答題12.一條直線(xiàn)被兩直線(xiàn)：4x+y+6=0,：3x5y6=0截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)恰好為坐標(biāo)原點(diǎn),求這條直線(xiàn)的方程.13.(2008·浙江杭州模擬)如圖，已知圓 ，設(shè)M為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)M作圓C的弦MA，并使它的中點(diǎn)P恰好落在y軸上.(1)當(dāng)r=2時(shí)，求滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡G的方程；(3)過(guò)點(diǎn)P(0，2)的直線(xiàn)L與(2)中軌跡G相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) E、F，若，求直線(xiàn)L的斜率的取值范圍.14三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC底面ABC，ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，AB=BC=，又PA=PB=PC=3，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在這個(gè)

12、坐標(biāo)系中： (1)求點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)；求AB、PC的中點(diǎn)之間的距離.1.B 設(shè)傾斜角是 則tan =tan (1+). 2.C 空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)到平面的距離即為z值.3.C 利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解.4.A 可知直線(xiàn)的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓 上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為，前8個(gè)點(diǎn)中，過(guò)任意一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)滿(mǎn)足，有8條；12個(gè)點(diǎn)中過(guò)任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線(xiàn)，其中有4條直線(xiàn)垂直軸，有4條直線(xiàn)垂直軸，還有6條過(guò)原點(diǎn)(圓上點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性).故滿(mǎn)足題設(shè)的直線(xiàn)有52條.綜上可知滿(mǎn)足題設(shè)的直線(xiàn)共有條，選A.5.D 方程可以轉(zhuǎn)化為或，所以此方程所表示的曲線(xiàn)為：兩條射線(xiàn)和一個(gè)

13、圓6.C 由OMm 得kmab 故ml ，又點(diǎn)M(a,b)是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)，得 ，所以l與圓相離 ，故選C.7. 圓心為(k-1，3k)半徑為，圓心在直線(xiàn)y=3(x+1)上，所以直線(xiàn)y=3(x+1)必與所有的圓相交，正確；由C1、C2、C3的圖像可知、不正確；若存在圓過(guò)原點(diǎn)(0，0)，則有(因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在k使上式成立，即所有圓不過(guò)原點(diǎn).填.8. 圓心，半徑；圓心，半徑設(shè)，由切線(xiàn)長(zhǎng)相等得，即9. 直線(xiàn)可化為,由此可知(1+3t+)(5+2t+)0，又3t2+t+1恒正且t2>0. t2+5t+10,即.10.2 是偶函數(shù).當(dāng)0x1時(shí)表示 (x1)2+(y1)

14、21上的圓弧如圖可知面積為2.11.2 圓心坐標(biāo)為(cos q，sin q)，d.故選正確.12.方法一 由題意可設(shè)所求直線(xiàn)方程為y=kx，分別與,的方程聯(lián)立，得兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為與,令+=0解得.從而所求直線(xiàn)方程為x+6y=0.方法二 設(shè)所求直線(xiàn)與,的交點(diǎn)分別為A,B.設(shè),AB關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又A,B分別在直線(xiàn),上,4x0+y0+6=0且3x0+5y06=0,兩式相加得x0+6y0=0.即點(diǎn)A在直線(xiàn)x+6y=0上,又直線(xiàn)x+6y=0過(guò)原點(diǎn),故所求的直線(xiàn)方程為x+6y=0.13.(1)由題意M(-1，0)，設(shè)N(x,y)，則，解得.MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(2)作NQy軸Q為垂足，P為MN 的中

15、點(diǎn)，NO=MO.又NC=MC=r,OC =1N、C的距離等于N到直線(xiàn)x=-1的距離N的軌跡為一拋物線(xiàn)，C為焦點(diǎn)，O為頂點(diǎn)方程為.(3)由題意知直線(xiàn)l的斜率存在且不等于0.設(shè)直線(xiàn)l的方程為，由，得.由得且. 將代入得.14(1)取AC的中點(diǎn)O，連OB、OP.ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且AB=BC=，AC=4，OB=2，ABC的外心是AC的中點(diǎn)O.又PA=PB=PC，點(diǎn)P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即點(diǎn)O， PO平面ABC.PA=3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、AC、OP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，

16、0)且點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0，0，).(2)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1，0)，PC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1，)，這兩個(gè)中點(diǎn)之間的距離為.第五章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程專(zhuān)題二 參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)1 參數(shù)方程(1)概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)中，如果曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)反過(guò)來(lái)，對(duì)于的每個(gè)允許值，由函數(shù)式 所確定的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上，那么方程 叫做曲線(xiàn)的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)是參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的叫普通方程(2)參數(shù)的意義參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒(méi)有明顯意義同一曲線(xiàn)選取的參數(shù)不同，曲線(xiàn)的參數(shù)方程形式也不一樣.在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍.

17、(3)參數(shù)方程的意義：參數(shù)方程是曲線(xiàn)點(diǎn)的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來(lái)，參數(shù)方程實(shí)際上是一個(gè)方程組，其中，分別為曲線(xiàn)上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)(4)參數(shù)方程求法建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為.選取適當(dāng)?shù)膮?shù).根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式.證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線(xiàn)的方程.(5)關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取:選取參數(shù)的原則是曲線(xiàn)上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題選取時(shí)間做參數(shù)，與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問(wèn)題選取角做參數(shù)，或選取有向線(xiàn)段的數(shù)量、長(zhǎng)度、直線(xiàn)的傾斜斜角、斜率等(6)參數(shù)方程與普通方程的互化：化參數(shù)方程為普通方程為：