《高等數(shù)學(xué)教學(xué)匯編》第五章1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性ppt課件

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 第一節(jié) 第五章 定義：定義： 給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)， 其中第 n 項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的普通項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和nkknuS1稱為級(jí)數(shù)的部分和.nuuuu321次相加, 簡(jiǎn)記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,那么稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱 S 為級(jí)數(shù)的和, 記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的有關(guān)概念一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的有關(guān)概念 1nnuS當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值21nnnnuuSSr為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,lim不存在若nnS那么稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .顯然0limnnr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

2、下頁(yè) 前往 終了 例例1. 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1q12nnqaqaqaaSqqaan1時(shí)，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級(jí)數(shù)收斂 ,;1 qa,1時(shí)當(dāng)q,limnnq由于從而,limnnS那么部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 2). 假設(shè),1q,1時(shí)當(dāng)qanSn因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,1時(shí)當(dāng)qaaaaan 1) 1(因此nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .

3、那么,級(jí)數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 例例2. 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性判別以下級(jí)數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消 求和23ln34lnnn1ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消 求和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

4、頁(yè) 前往 終了 二、級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)二、級(jí)數(shù)的根本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 假設(shè)級(jí)假設(shè)級(jí)數(shù)數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS那么各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)1nnuc也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS那么nkknuc1,nScnnlimSc這闡明1nnuc收斂 , 其和為 c S . nnSclim闡明闡明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS1nnv那么級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S證證: 令令,1nkknuS,1nkknv那么)(1k

5、nkknvu nnS)(nS這闡明級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 闡明闡明:(2) 假設(shè)兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 那么)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但假設(shè)二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 闡明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證證: 將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)1nnu的前 k 項(xiàng)去掉,1nnku的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時(shí)由于n數(shù)斂散性一

6、樣. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為.kSS 類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限情況一樣, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS假設(shè)按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu那么新級(jí)數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級(jí)數(shù)部分和序列 ),2,1(nSn的一個(gè)子序列,nnmmS limlimS推論推論: 假設(shè)加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散假設(shè)加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 那么原級(jí)數(shù)必那么原級(jí)數(shù)必發(fā)散發(fā)散.留意留意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂

7、.,0) 11 () 11 (但1111發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 性質(zhì)性質(zhì)5.級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS那么必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見(jiàn): 假設(shè)級(jí)數(shù)的普通項(xiàng)不趨于0 , 那么級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其普通項(xiàng)為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.nun,時(shí)當(dāng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 留意留意:0limnnu并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .現(xiàn)實(shí)上現(xiàn)實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 那那么么0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假設(shè)不真 .21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 例例3. 判別下面級(jí)數(shù)的斂散性：判別下面級(jí)數(shù)的斂散性：1!nnnnne解解: 令令,!