統(tǒng)考版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章2.8函數(shù)與方程學(xué)案理含解析20210423115（精編版）

1、第八節(jié)函數(shù)與方程【知識(shí)重溫】一、必記4 個(gè)知識(shí)點(diǎn)1. 函數(shù)的零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)y f(x)， x d，我們把使 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù)y f(x)， x d 的零點(diǎn)2. 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系由函數(shù)的零點(diǎn)的概念可知，函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x) 0 的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y f(x) 的 圖 象 與 的 交 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 所 以 方 程f(x) 0有 實(shí) 數(shù) 根 ? ? 函數(shù) y f( x)有零點(diǎn)3. 函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理如 果 函 數(shù)y f(x) 在 區(qū) 間 a ， b 上 的 圖 象 是 的 一 條 曲 線 ， 并 且 ，那么函數(shù)y f(x) 在區(qū)間 (a， b)內(nèi)有零點(diǎn)，即

2、存在c (a， b) ，使得，這個(gè) c 也就是方程f(x) 0 的根4. 二分法的定義對(duì)于在區(qū)間 a，b 上連續(xù)不斷且f(a) ·f(b)<0 的函數(shù)y f(x)，通過(guò)不斷把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間 分法，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到 的方法叫做二二、必明2 個(gè)易誤點(diǎn)1函數(shù) yf(x)的零點(diǎn)即方程f(x) 0 的實(shí)根， 是函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，易誤認(rèn)為是一個(gè)點(diǎn)而寫(xiě)成坐標(biāo)形式2.由函數(shù) y f(x)在閉區(qū)間 a，b 上有零點(diǎn)不一定能推出f(a) ·f(b)<0 ，如圖所示 所以 f(a) ·f(b)<0是 y f(

3、x)在閉區(qū)間 a，b上有零點(diǎn)的充分不必要條件【小題熱身】一、判斷正誤1. 判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn) ()(2)函數(shù) y f(x)在區(qū)間 (a，b)內(nèi)有零點(diǎn) ( 函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則 f(a) ·f(b)<0.() (3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值()(4) 二次函數(shù)y ax2 bxc(a 0)在 b2 4ac<0 時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)()(5) 若函數(shù) f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a) ·f(b)<0，則函數(shù) f(x)在 a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn)()二、教材

4、改編2. 函 數(shù) f(x)ln x2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是() xa (1,2)b (2,3)c(1， 1)和(3,4)d (4， ) e3. 若函數(shù)f(x) 24ax2 4x 1 在區(qū)間 ( 1,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 三、易錯(cuò)易混4. 下列函數(shù)圖象與x 軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是()5. 設(shè) f (x)在區(qū)間 a， b上是連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，且f (a) ·f (b)<0，則方程f(x) 0 在閉區(qū)間 a， b 內(nèi)()a 至少有一實(shí)根b 至多有一實(shí)根c沒(méi)有實(shí)根d 必有唯一實(shí)根四、走進(jìn)高考62019 ·全國(guó)卷 函數(shù) f (x) 2

5、sin x sin 2x 在0,2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()a 2b 3c 4d 5考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間自主練透型 12021 ·湖北襄陽(yáng)七校聯(lián)考 設(shè) a 是方程 2ln x 3 x 的解，則 a 在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)()a (0,1)b (3,4)c (2,3)d (1,2)22021 ·河北石家莊檢測(cè)已知實(shí)數(shù)a>1,0< b<1，則函數(shù) f(x) ax xb 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()a ( 2， 1)b( 1,0)c(0,1)d (1,2)3函數(shù) f(x)log 3x x2 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為() a (0,1)b (1,2)c (2,3)d (3,4)悟·

6、;技法確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1) 定義法： 使用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù) y f( x)必須在區(qū)間 a，b 上是連續(xù)的， 當(dāng) f(a) ·f(b)<0 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)(2) 圖象法：若一個(gè)函數(shù)(或方程 )由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差 )構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x) g(x) h(x)，作出 yg(x) 和 y h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn) .考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)互動(dòng)講練型 ex x 2， x 0例 1(1)函數(shù) f(x)x2 2x，x<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ()a 0b 1c 2d 3(2)2021

7、廣·西宜州聯(lián)考 若定義在r 上的偶函數(shù)f(x)滿足 f(x 2) f(x) ，且當(dāng) x 0,1 時(shí)，f(x) x，則函數(shù)y f(x) log3 |x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 () a 5b 4c 3d 2悟·技法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3 種方法(1) 方程法：令f(x) 0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2) 定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b 上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a) ·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3) 圖形法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的

8、個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).變式練 (著眼于舉一反三)12021 ·山西臨汾質(zhì)檢 若函數(shù) y f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且部分?jǐn)?shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)值如表所示x123456y 52812 5 10函數(shù) y f(x)在 x 1,6 上的零點(diǎn)至少有() a 0 個(gè)b 1 個(gè)c 2 個(gè)d 3 個(gè)3x， x 1，2已知函數(shù)f(x)1log 3x， x>1，則函數(shù) y f(x) x 4 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()a 1b 2c 3d 4考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用分層深化型 考向一：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或存在情況求參數(shù)范圍x3， x 0，例 22020天·津卷 已知函數(shù) f(x

9、) x， x<0.若函數(shù) g(x) f(x) |kx2 2x|(k r) 恰有4 個(gè)零點(diǎn)，則k 的取值范圍是 ()2a. ， 12b. ， 1 (22， ) (0,22)c (， 0) (0,22)d (， 0) (22， )考向二：求函數(shù)各個(gè)零點(diǎn)(方程根 )的和( 范圍)x2 5x 6， x 0，例 32021天·津南開(kāi)檢測(cè)設(shè)函數(shù) f(x) 4x 4，x<0，若函數(shù) g(x) x a f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則這三個(gè)零點(diǎn)之和的取值范圍是 悟·技法已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根 )求參數(shù)取值范圍常用3 種方法直接法直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參

10、數(shù)范圍分離參數(shù)法 數(shù)形結(jié)合法先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解變式練 (著眼于舉一反三)32018 ·全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)ex， x 0， ln x， x>0，g(x) f(x) xa.若 g(x)存在 2 個(gè)零點(diǎn)，則a 的取值范圍是() a 1,0)b 0 ， )c 1， )d 1 ， )42021河·北衡水中學(xué)調(diào)考 已知函數(shù)f(x)2x 1， x 1， x 1，x>1，則函數(shù)f(x) f(x) a2 a1(a r) 總有零點(diǎn)時(shí)， a 的取值范圍是() a (， 0) (1，

11、)b 1,2)c 1,0 (1,2d 0,1第八節(jié)函數(shù)與方程【知識(shí)重溫】f(x) 0 x 軸函數(shù) yf(x)的圖象與 x 軸有交點(diǎn)連續(xù)不斷 f(a) ·f(b)<0 f(c) 0一分為二零點(diǎn)近似值【小題熱身】1答案： (1) ×(2)×(3)×(4) (5)22解析： f(2) ln 2 1<0 ，f(3) ln 3 3>0，且函數(shù) f( x)的圖象在 (0， ) 上連續(xù)不斷，f(x)為增函數(shù)， f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi) 答案： b43解析： (1) 當(dāng) a 0 時(shí)， f(x) 4x 1.令 f(x) 0，得 4x 10， x

12、1 ( 1,1)當(dāng) a 0 時(shí)， f(x)在( 1,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)(2)當(dāng) a 0 時(shí)， 42 4×24a× ( 1) 16 96a.若 0，即 a 1，62則函數(shù) f(x)的圖象與x 軸交于點(diǎn) (1， 0)，1x2是( 1,1)內(nèi)的唯一零點(diǎn)若 >0 ，即 a> 16a>1，則6f 1 f 1 24a524a 3 <0? 1<a< 5 .824115綜上可得， a 的取值范圍是0，.答案：0， 1 6158， 246 8， 244. 解析： 能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)，在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，由圖象可得，只有a 不滿足此條件

13、故選a.答案： a5. 解析： 由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)f(x)的圖象在 a，b內(nèi)與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程 f(x) 0 在a， b內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根答案： d6. 解析：由 f(x)2sin xsin 2x2sin x 2sin xcos x 2sin x(1 cos x) 0 得 sin x 0 或 cosx 1， x k， k z，又 x 0,2， x 0， ， 2即.零點(diǎn)有3 個(gè)故選b.答案： b課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1解析： 令 f(x) 2ln x3 x，則函數(shù)f(x)在(0 ， )上單調(diào)遞增，且f(1) 2<0， f(2) 2ln 2 1ln 4 1>0 ，所以函數(shù)f

14、(x)在 (1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，即a 在區(qū)間 (1,2)內(nèi) 答案： da2解析： 因?yàn)?a>1,0< b<1， f(x) ax x b，所以f(1) 1 1 b<0， f(0) 1 b>0，所以 f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間 (1,0)內(nèi)故選b 項(xiàng) 答案： b3解析： 解法一 (定理法 )函數(shù) f(x)log 3x x2 的定義域?yàn)?(0， ) ，并且 f(x)在(0 ， )上單調(diào)遞增，圖象是一條連續(xù)曲線由題意知f(1) 1<0 ， f(2) log 32>0， f(3) 2>0， 根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)f(x) log 3x x2 有唯一零點(diǎn)，且零

15、點(diǎn)在區(qū)間(1,2) 內(nèi)解法二 (圖象法 )函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x) log3x， h(x) x2 圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)故選 b.答案： b例 1 解析： (1)當(dāng) x<0 時(shí)，令 f( x)0，即 x2 2x 0，解得 x 2，或 x0(舍去 )所以當(dāng) x<0 時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) x 0 時(shí)， f(x)ex x 2，而 f (x)ex 1，顯然 f (x) 0，所以 f(x)在0 ， )上單調(diào)遞增，又 f(0) e00 2 1<0 ， f(2) e2 4>0 ，所以當(dāng) x0

16、 時(shí)， 函數(shù) f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù) f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)(2) 偶函數(shù) f(x)滿足 f (x 2) f(x)， 函數(shù)的周期為2.當(dāng) x 0,1 時(shí)， f (x) x，故當(dāng) x 1,0 時(shí)， f(x) x.函數(shù) y f(x) log3|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y f(x)的圖象與函數(shù)y log 3|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y f(x)的圖象與函數(shù)ylog 3|x|的圖象，如圖所示顯然函數(shù)y f(x)的圖象與函數(shù)y log3|x|的圖象有4 個(gè)交點(diǎn)，故選b 項(xiàng)答案： (1)c (2)b變式練1. 解析： 由題中表格得f(1) f(2)<0 ， f(4) f

17、(5)<0 ，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，所以函數(shù)在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，在(4,5)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)y f(x)在 x 1,6 上的零點(diǎn)至少有兩個(gè)故選c 項(xiàng)答案： c2. 解析： 函數(shù) y f(x) x 4 的零點(diǎn)，即函數(shù)y x 4 與 y f(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)如圖所示，函數(shù)y x 4 與 y f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y f(x) x 4 的零點(diǎn)有2 個(gè)故選 b 項(xiàng)答案： b例 2解析： 由題意知函數(shù)g(x) f(x) |kx2 2x|恰有 4 個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程f (x) |kx2 2x| 0，即 f(x) |kx2 2x|有 4 個(gè)不同的根，即函數(shù)y f(x

18、)與 y |kx2 2x|的圖象有4 個(gè)不同的公共點(diǎn)圖 1當(dāng) k 0 時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出y f(x)與 y |2x|的圖象如圖1 所示，由圖 1 知兩圖象只有2 個(gè)不同的公共點(diǎn)，不滿足題意當(dāng) k<0 時(shí)， y |kx2 2x| k x 12 111，其圖象的對(duì)稱軸為直線x <0，直線 xykkkk與21111 |kx 2x|的圖象的交點(diǎn)為k， k ，點(diǎn) k， k 在直線 y x 上，在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出y f(x)與 y |kx2 2x|的圖象如圖2 所示， 由圖 2 易知函數(shù)yf(x)與 y |kx2 2x|的圖象有 4 個(gè)不同的公共點(diǎn)，滿足題意圖

19、2當(dāng) k>0 時(shí)， 函數(shù) y |kx2 2x|的圖象與x 軸的 2 個(gè)交點(diǎn)分別為原點(diǎn)(0,0)與 2， 0 ，則當(dāng) x>2kk時(shí)，由kx2 2x x3，得 x2kx2 0，令 k2 8 0，得 k 22，此時(shí)在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)y f(x)與 y |kx2 2x|的圖象如圖3 所示，由圖3 知兩圖象有3 個(gè)不同的公共點(diǎn)，不滿足題意令 k2 8>0 ，得 k>22，此時(shí)在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù) yf(x)與 y |kx2 2x|的圖象如圖4 所示，由圖4 知兩圖象有4 個(gè)不同的公共點(diǎn)，滿足題意令 k2 8<0 ，得 0<k<22，易知此時(shí)不滿足題意圖 3圖 4綜上可知，實(shí)數(shù)k 的取值范圍是( ， 0) (22， )，故選 d.答案： d例 3解析： 函數(shù) f(x) x2 5x 6， x 0， 4x 4， x<0，函 數(shù)g(x) x