2022年冪函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載 2.3 冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 通過具體實例了解冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2. 體會冪函數(shù)的變化規(guī)律及蘊含其中的對稱性并能進行簡單的應(yīng)用. 學(xué)習(xí)過程任務(wù)一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材p77 p79，找出疑惑之處）復(fù)習(xí) 1：求證3yx 在 r 上為奇函數(shù)且為增函數(shù). 復(fù)習(xí) 2：1992 年底世界人口達到54.8 億，若人口年平均增長率為x%，2008 年底世界人口數(shù)為y（億），寫出：（1）1993 年底、 1994 年底、 2000 年底世界人口數(shù)；（2）2008 年底的世界人口數(shù)y 與 x 的函數(shù)解析式任務(wù)二、新課導(dǎo)學(xué)探究任務(wù)一 ：冪函數(shù)的概念問題：分析以下五個函數(shù)，它們有什么共同特征？（1）

2、邊長為a的正方形面積2sa ， s是a的函數(shù)；（2）面積為 s的正方形邊長12as ，a是 s的函數(shù)；（3）邊長為a的立方體體積3va ， v 是a的函數(shù)；（4）某人 ts 內(nèi)騎車行進了1km，則他騎車的平均速度1/vt km s，這里v是 t 的函數(shù)；（5）購買每本1 元的練習(xí)本w本，則需支付pw元，這里p是w的函數(shù) . 新知1、冪函數(shù)的概念：一般地，形如yx()ar 的函數(shù)稱為 冪函數(shù) ，其中為常數(shù) . 試一試 ：判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù). 1yx；22yx；3yxx；1y. 探究任務(wù)二 ：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題：作出下列函數(shù)的圖象：（1）yx； （2）12yx ； （3）2yx ； （4

3、）1yx； （5）3yx 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載說明：除函數(shù)12yx外，其余四個冪函數(shù)具有奇偶性在第一象限內(nèi)，函數(shù)1yx的圖像向上與y軸無限接近，我們稱x軸y軸為漸近線結(jié)合以上特殊冪函數(shù)的圖像得出一般冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有冪函數(shù)在(0,)上都有定義，并且圖像都通過點(1,1)（2）若0，則冪函數(shù)的圖像都過原點，并且在區(qū)間0,)上為增函數(shù)（ 3）若0,則冪函數(shù)的圖像在區(qū)間(0,)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖像在y軸右方無限地逼近y軸

4、，當(dāng)x趨向于時，圖像在x軸上方無限地逼近x軸（4）當(dāng)為奇數(shù)時， 冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)從圖象分析出冪函數(shù)所具有的性質(zhì). 觀察圖象，總結(jié)填寫下表：常見冪函數(shù)的性質(zhì)例 1、已知冪函數(shù)2121(22)23mymmxn，求,m n的值例 2、已知函數(shù)221( )(2),mmf xmmxm為何值時，( )f x是：（1）正比例函數(shù)（2）反比例函數(shù)（3）二次函數(shù)（4）冪函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 3 下面六個冪函數(shù)的圖象如圖所示，試建立函數(shù)與圖

5、象之間的對應(yīng)關(guān)系. （1）32yx；（ 2）13yx；（ 3）23yx；（ 4）2yx；（ 5）3yx；（ 6）12yx2、冪函數(shù)的定義域和值域所有冪函數(shù)yx的定義域和值域的求法分為五種情況（1）0時，0yx的定義域為0 x x，值域為1（2）為正整數(shù)時，yx的定義域為r，為偶數(shù)時，值域為0,),為奇數(shù)時，值域為r（3）為負整數(shù)時，yx的定義域為0 x x，為偶數(shù)時，值域為(0,)，為奇數(shù)時，值域為0y y（4）當(dāng)為正分?jǐn)?shù)nm時，化為mnyx，根據(jù),m n的奇偶性求解（5）當(dāng)為負分?jǐn)?shù)nm時，化為1mnyx，根據(jù),m n的的奇偶性求解例 4、 （1）函數(shù)23yx的定義域是，值域是；（2）函數(shù)23

6、yx的定義域是，值域是；練 1（ 1）函數(shù)32yx的定義域是，值域是；（2）函數(shù)32yx的定義域是，值域是；練 2、冪函數(shù)2yx，45yx，54yx，23yx，45yx，其中定義域為r的是（）abcd例 5設(shè) 1,1，12，3，則使函數(shù)y x的定義域為r，且為奇函數(shù)的所有值為 () a 1,3 b 1,1 c 1,3 d 1,1,3 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、 冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性（1）冪函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間(0,)上，當(dāng)0時，yx是增函數(shù)；當(dāng)0時，y

7、x是減函數(shù)（2）冪函數(shù)的奇偶性：令qp（其中p、q互質(zhì)，p、qn）當(dāng)q為奇數(shù)，則pqyx的奇偶性取決于p是奇數(shù)還是偶數(shù).當(dāng)p是奇數(shù)時，則pqyx是奇函數(shù)；當(dāng)p是偶數(shù)時，則pqyx是偶函數(shù)當(dāng)q為偶數(shù)，則p必是奇數(shù)，此時pqyx既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)例 6、若當(dāng)(0,)x時，冪函數(shù)253(1)mymmx為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為（）a2mb1mc1m或2md152m例 7、已知函數(shù)223()( )mmm zf xx為偶函數(shù)，且(3)(5)ff（1）求m的值，并確定( )f x的解析式（2）若( )log ( )(0,1)ag xfxaxaa在2,3上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍例 8、已知冪函數(shù)

8、223( )()mmf xxmz為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,)上市減函數(shù)（1）求函數(shù)( )fx的解析式（2）討論( )( )( )bf xaf xxf x的奇偶性練 3、下列說法正確的是（）a12yx是奇函數(shù)b3yx是奇函數(shù)c2yx是非奇非偶函數(shù)d13yx是非奇非偶函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載構(gòu)造冪函數(shù)比較兩個冪值得大小比較兩個冪值的大小，關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；若指數(shù)不同而底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；若底數(shù)不同，指數(shù)也不同，需

9、引入中間量，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或借助于函數(shù)的圖像來比較例 9、 比較下列各組數(shù)大?。海?）1.5(1)a1.5(0)aa（2）223(2)a232（3）121.1120.9練 4、比較下列各組數(shù)大?。海?）3( 2)3(2. 5 )（2）78( 8)781( )9（3）25(4.1)，23(3.8)，35( 1.9)練 5、若01ab，則下列不等式成立的是（）a1(1)(1)bbaab(1)(1)ababc2(1)(1)bbaad(1)(1)abab任務(wù)三、課后作業(yè)第一題、選擇題1在函數(shù)y2x3，yx2，yx2x，yx0中，冪函數(shù)有 () a 1 個b2 個c 3 個d4 個解析：

10、選 b.yx2與 yx0是冪函數(shù)2 若冪函數(shù)( )f xx 在 (0,) 上是增函數(shù)，則（）. a0 b0 c=0 d不能確定3函數(shù) f(x)(m2m1)xm22m3是冪函數(shù)，且在x(0， )上是減函數(shù)，則實數(shù)m () a 2 b3 c 4 d5 4使 (32xx2)34有意義的x 的取值范圍是() a rbx1 且 x3 c 3x1 dx 3 或 x1 解析： 選 c.(32xx2)341432x x2 3，要使上式有意義，需3 2xx20，解得 3x1. 解析： 選 a.m2m11，得 m 1 或 m2，再把 m 1 和 m2 分別代入m22m3 0，經(jīng)檢驗得 m2. 5. 若11221.

11、1 ,0.9ab，那么下列不等式成立的是（）. aal bb1a b精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載c blad1b a6函數(shù)43yx 的圖象是（）. a. b. c. d. 7函數(shù) y(x4)2的遞減區(qū)間是() a (， 4) b(4， ) c (4， ) d(， 4) 解析： 選 a.y(x4)2開口向上，關(guān)于x 4 對稱，在 (， 4)遞減8給出四個說法：當(dāng) n0 時， yxn的圖象是一個點；冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,0)， (1,1)；冪函數(shù)的圖象不可能出

12、現(xiàn)在第四象限；冪函數(shù)yxn在第一象限為減函數(shù)，則n0. 其中正確的說法個數(shù)是() a 1 b2 c3 d4 解析： 選 b.顯然錯誤；中如yx12的圖象就不過點(0,0)根據(jù)冪函數(shù)的圖象可知、正確，故選 b. 第二題、填空題9. 已知冪函數(shù)( )yf x 的圖象過點(2,2) ，則它的解析式為. 10比較下列兩組數(shù)的大?。海?）11221.3 _1.5； （2）225.1_5.09. 11已知 2.42.5，則 的取值范圍是 _解析： 02.42.5，而 2.42.5， yx在 (0， )為減函數(shù)答案： 0 第三題、解答題12求函數(shù)y(x1)23的單調(diào)區(qū)間解： y (x 1)231x12313

13、x12，定義域為x1.令 tx1，則 yt23， t0 為偶函數(shù)因為 230，所以 yt23在(0， )上單調(diào)遞減，在(，0)上單調(diào)遞增又tx1 單調(diào)遞增，故 y(x1)23在(1， )上單調(diào)遞減，在(，1)上單調(diào)遞增13已知 (m4)12(32m)12，求 m 的取值范圍解： yx12的定義域為 (0， )，且為減函數(shù)原不等式化為m4032m0m43 2m，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解得13m32. m 的取值范圍是(13，32)14已知冪函數(shù)yxm22m

14、3(mz)在(0， )上是減函數(shù)，求y 的解析式，并討論此函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解： 由冪函數(shù)的性質(zhì)可知m22m30? (m1)(m3)0? 3m1，又 m z， m 2， 1,0. 當(dāng) m0 或 m 2 時， yx3，定義域是 (，0) (0， ) 30， yx3在(，0)和(0， )上都是減函數(shù)，又 f(x)(x)3 x3 f(x)， yx3是奇函數(shù)當(dāng) m 1 時， yx4，定義域是 (，0) (0， ) f(x)(x)41x41x4x4f(x)，函數(shù)y x4是偶函數(shù) 40， yx4在(0， )上是減函數(shù)，又 yx4是偶函數(shù)，yx4在( ， 0)上是增函數(shù)任務(wù)四、鞏固訓(xùn)練第一題、選擇題1已知

15、冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點 (2，22)，則 f(4)的值為 () a16 b.116c.12d2 解析： 選 c.設(shè) f(x)xn，則有 2n22，解得 n12，即 f(x)x12，所以 f(4)41212. 2下列冪函數(shù)中，定義域為x|x 0的是 () a yx23by x32cy x13d yx34解析： 選 d.a. yx233x2， x r；b.yx32x3，x0；c.yx1313x，x 0；d.yx3414x3，x 0. 3函數(shù)3xy和31xy圖象滿足（）a關(guān)于原點對稱b關(guān)于x軸對稱c關(guān)于y軸對稱d關(guān)于直線xy對稱4函數(shù)2xy在區(qū)間2,21上的最大值是（）a41b1c4d4精品學(xué)習(xí)

16、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載5設(shè) t12312，t22315，t31312，則下列關(guān)系式正確的是() a t1t2t3bt3t1t2 ct2t3t1dt2t1t36.冪函數(shù)213112xy,xy,xy,xy在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線（） a. 2134,ccccb. 2314c,c,c,cc. 4123c,c,c,c d. 3241c,c,c,c7.下列函數(shù)在,0上為減函數(shù)的是（）a.13yxb.2yxc.3yxd.2yx答案：8冪函數(shù)f(x) x滿足 x1

17、時 f(x)1，則 滿足條件 () a 1 b0 1 c 0 d 0 且 1 解析： 選 a.當(dāng) x1 時 f(x)1，即 f(x)f(1)，f(x)x為增函數(shù)，且 1. 解析： 選 d.yx233x2，其定義域為r，值域為 0， )，故定義域與值域不同9. 當(dāng)x （ 1 ， ） 時 ， 函 數(shù) ）yax的 圖 象 恒 在 直 線yx的 下 方 ， 則a的 取 值 范 圍 是（a ）a、a1 b、 0a1 c、a0 d、a0 10若點,a a b在冪函數(shù)nyxnq的圖象上，則下列結(jié)論中不能成立的是( b ) a00abb00ab00abd00ab第二題、填空題11函數(shù)102( )(1)(1)f

18、 xxx的定義域為 _精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析：1x01x0， x 13n，則 n_1,2_. 13942aaxy是偶函數(shù)，且在),0(是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是5 . 14設(shè) x(0,1)時， yxp(pr)的圖象在直線yx 的上方，則p 的取值范圍是 _解析： 結(jié)合冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知p1. 答案 ：p1 15已知函數(shù)f(x) x(0 1),對于下列命題： 若 x1,則 f(x) 1； 若 0 x1,則 0f(x) 1; 若 f(x1) f(x2),

19、則 x1 x2； 若 0 x1x2,則2211)()(xxfxxf. 其中正確的命題序號是_ _. 第三題、解答題16已知冪函數(shù)f（x）13222ppx（pz）在 (0,) 上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，求p 的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（ x）17函數(shù) f(x)(m2m5)xm1是冪函數(shù)，且當(dāng)x(0， )時， f(x)是增函數(shù)，試確定m 的值解： 根據(jù)冪函數(shù)的定義得：m2m51，解得 m3 或 m 2，當(dāng) m3 時， f(x)x2在(0， )上是增函數(shù)；當(dāng) m 2 時， f(x)x3在(0， )上是減函數(shù)，不符合要求故m3. 18已知冪函數(shù)2223(1)mmymmx，當(dāng)x (0 ， ) 時

20、為減函數(shù)，則該冪函數(shù)的解析式是什么？奇偶性如何？單調(diào)性如何？解：由于2223(1)mmymmx為冪函數(shù)，所以m2m11，解得 m2，或 m 1. 當(dāng) m2 時， m22m3 3，yx3，在 (0， ) 上為減函數(shù)；當(dāng) m 1 時， m22m30，yx01(x0) 在 (0， ) 上為常函數(shù)，不合題意，舍去故所求冪函數(shù)為y x3.這個函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域是( ，0)(0， ) ，根據(jù)函數(shù)在x(0， ) 上為減函數(shù)，推知函數(shù)在( ，0)上也為減函數(shù)。19已知點(2, 2)在冪函數(shù)( )f x的圖象上，點1( 2,)2在冪函數(shù)( )g x的圖象上，當(dāng)x為何值時：(1) ( )( )f xg x；(2)( )( )f xg x；( 3 )()()fxgx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解: 根據(jù)冪函數(shù)的概念，利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再結(jié)合圖象確定滿足條件的x 的取值范圍設(shè) f(x) x，則 (2)2，得2，所以 f(x)x2；同理可得g(x) x1.