04-1 振動數(shù)值仿真方法

1、燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 振動分析的方法很多，數(shù)值仿真方法是進行振動振動分析的方法很多，數(shù)值仿真方法是進行振動分析的最直接的一類方法，它們可以應(yīng)用于包括非線性分析的最直接的一類方法，它們可以應(yīng)用于包括非線性振動在內(nèi)的各種振動問題，這類方法是研究動態(tài)響應(yīng)的振動在內(nèi)的各種振動問題，這類方法是研究動態(tài)響應(yīng)的有效手段之一。有效手段之一。第四章第四章 振動的仿真振動的仿真 從數(shù)學(xué)的觀點來看，數(shù)值仿真方法是解微分方程從數(shù)學(xué)的觀點來看，數(shù)值仿真方法是解微分方程邊值問題和初值問題的逐步方法。在結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)計邊

2、值問題和初值問題的逐步方法。在結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)計算方面，采用實用有效的數(shù)值仿真方法，可以對系統(tǒng)在算方面，采用實用有效的數(shù)值仿真方法，可以對系統(tǒng)在任意激勵下的動態(tài)響應(yīng)進行分析。任意激勵下的動態(tài)響應(yīng)進行分析。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University在時間域內(nèi)對響應(yīng)的時間歷程進行離散，把運動微分在時間域內(nèi)對響應(yīng)的時間歷程進行離散，把運動微分方程分為各離散時刻的方程；方程分為各離散時刻的方程；將某時刻的速度和加速度用相鄰時刻的各位移的線性將某時刻的速度和加速度用相鄰時刻的各位移的線性組合表示，將系統(tǒng)的運動微分方程化為一個

3、由位移組成組合表示，將系統(tǒng)的運動微分方程化為一個由位移組成的某離散時刻的代數(shù)方程組；的某離散時刻的代數(shù)方程組；對耦合的系統(tǒng)運動微分方程進行逐步數(shù)值積分，從而對耦合的系統(tǒng)運動微分方程進行逐步數(shù)值積分，從而求出在一系列離散時刻上的響應(yīng)值。求出在一系列離散時刻上的響應(yīng)值。 數(shù)值仿真方法的特點數(shù)值仿真方法的特點 這種數(shù)值仿真方法稱為逐步積分法這種數(shù)值仿真方法稱為逐步積分法( (或直接積分法或直接積分法) )。 燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University中心差分法；中心差分法；侯博特侯博特(Houbolt)法；法；威爾遜威

4、爾遜(Wilson- )法；法；紐馬克紐馬克(Newmark- )法。法。 對于高頻分量和低頻分量混合的問題，采用無條件對于高頻分量和低頻分量混合的問題，采用無條件穩(wěn)定的解法，可以提高計算效率。穩(wěn)定的解法，可以提高計算效率。求解多自由度線性振動系統(tǒng)常用的方法有：求解多自由度線性振動系統(tǒng)常用的方法有：燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 中心差分法是直接積分法的一種。中心差分法是直接積分法的一種。 它是將系統(tǒng)的運動微分方程在時間域內(nèi)離散，化它是將系統(tǒng)的運動微分方程在時間域內(nèi)離散，化成對時間的差分格式，然后根據(jù)

5、初始條件，利用逐步積成對時間的差分格式，然后根據(jù)初始條件，利用逐步積分求出在一系列離散時刻上的響應(yīng)值。分求出在一系列離散時刻上的響應(yīng)值。 4.14.1 中心差分法中心差分法離散系統(tǒng)的運動微分方程為離散系統(tǒng)的運動微分方程為 tRKxxCxM 式中式中M，C，K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣矩陣； , , ，x分別表示系統(tǒng)的加速度向量，速度向量分別表示系統(tǒng)的加速度向量，速度向量和位移向量；和位移向量；R(t)是外力向量。是外力向量。x x 燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan Unive

6、rsity 在中心差分法中，按中心差分將速度和加速度向量在中心差分法中，按中心差分將速度和加速度向量離散化為離散化為ttttttxxx21nTt tttttttxxxx212 假定在假定在t=0時，位移、速度和加速度分別為已知時，位移、速度和加速度分別為已知的的 。求時間區(qū)間求時間區(qū)間0，T的解。的解。000,x xx的近似解。的近似解。目的：目的：確定時刻確定時刻Ttnttttttn,2, 0210, ,x x x 兩式中，兩式中，t t時刻的時刻的速度和加速度是速度和加速度是以相鄰時刻的位以相鄰時刻的位移表示的。移表示的。把時間全程把時間全程T劃分為劃分為n等份，即：等份，即：燕山大學(xué)機械

7、工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University在在t時刻的動力方程為時刻的動力方程為 ttttRKxxCxM 式中式中ttttttttxCMxMKRR211222CMKtt211221212tttttttttttttxxxxxxxttRxK t燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University22211(3)2ttttttttRRKM xMC x211(2)2ttKMC(1)tttKxR求解方程式求解方程式(1)，可得，可得xt+ t。21212ttttt

8、ttttttttxxxxxxx02002xxxx ttt由式由式(3)可以看出，為求可以看出，為求xt+ t必須使用必須使用xt和和xt- t的值的值開始計算時，即開始計算時，即t=0時，要計算時，要計算x t的值，就需要已知的值，就需要已知的的x- t值，而值，而x- t是未知的。是未知的。需要一個起始技術(shù)，因而這種算法不是自起步的。需要一個起始技術(shù)，因而這種算法不是自起步的。由于由于 是已知的。根據(jù)是已知的。根據(jù)000,x xx燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University中心差分法的計算機實施格式中心差分法的計

9、算機實施格式22211(3)2ttttttttRRKM xMC x211(2)2ttKMC(1)tttKxRA. 初始計算初始計算 1. 形成質(zhì)量矩陣形成質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣，阻尼矩陣C和剛度矩陣和剛度矩陣K。 2. 給出初始值給出初始值 3. 選擇時間步長選擇時間步長t，t tcr，計算積分常數(shù)：，計算積分常數(shù)： 4. 計算計算 。 5. 形成有效剛度矩陣：形成有效剛度矩陣： 6. 對對 作三角分解：作三角分解：20120321,1 2,2,1atat aa aa0300 xxxx attCMK10aaTLDLK 000,x xxK燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical

10、 Engineering, Yanshan UniversityB. 關(guān)于每一時間增量計算關(guān)于每一時間增量計算 1. 計算計算t時刻的有效載荷時刻的有效載荷 2. 計算計算tt時刻的位移時刻的位移 3. 如果需要，計算如果需要，計算t時刻的加速度和速度時刻的加速度和速度taaattttxCMxMKRR102ttRxLDLT tttattttxxxx20 ttatttxxx122211(3)2ttttttttRRKM xMC x211(2)2ttKMC(1)tttKxR燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 中

11、心差分法是一種顯式積分方法。中心差分法是一種顯式積分方法。 使用中心差分法必須考慮積分的時間步長使用中心差分法必須考慮積分的時間步長t不不能大于臨界值能大于臨界值tcr，即，即式中式中Tn為離散系統(tǒng)的最小周期。為離散系統(tǒng)的最小周期。ncrTtt如果不滿足上式，數(shù)值解將出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。如果不滿足上式，數(shù)值解將出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。這種算法不是無條件穩(wěn)定的。這種算法不是無條件穩(wěn)定的。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 侯博特侯博特(Houbolt)法是法是Houbolt為研究飛機振動所為研究飛機振動所提出的方法。提出的

12、方法。 該方法以三級位移插值為基礎(chǔ)的，通過四點的位該方法以三級位移插值為基礎(chǔ)的，通過四點的位移建立三次式，用兩個向后差分公式表示在時刻移建立三次式，用兩個向后差分公式表示在時刻t+t的的速度和加速度，即速度和加速度，即4.24.2 侯博特法侯博特法222111189261254tttttttttt ttttttttttxxxxxxxxxx在在tt時刻的動力方程為時刻的動力方程為ttttttttRKxxCxM 燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University整理得關(guān)于整理得關(guān)于xt+ t的代數(shù)方程組的代數(shù)方程組式中式中1

13、ttttKxR（）MCKK22611tt222253431123ttttttttttt ttttRRMCxMCxMCx該方法不是自起步的，要用其它方法由該方法不是自起步的，要用其它方法由 起步，起步，例如可用中心差分法求出例如可用中心差分法求出x t和和x2 t后，才能使用后，才能使用Houbolt法的方程逐步求解。法的方程逐步求解。000 xxx， ，由上式可以看出，要計算由上式可以看出，要計算xt+ t時刻的解，必須使用前時刻的解，必須使用前三步的位移三步的位移xt, xt- t和和xt-2 t。 燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Ya

14、nshan UniversityHoubolt法的計算機實施格式法的計算機實施格式A. 初始計算初始計算 1. 形成質(zhì)量矩陣形成質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣，阻尼矩陣C和剛度矩陣和剛度矩陣K。 2. 給出初始值給出初始值 x0， ， 。 3. 選擇時間步長選擇時間步長t，并計算積分常數(shù)：，并計算積分常數(shù)： ， ， ， ， ， ， 。 4.使用特殊的起始過程，計算使用特殊的起始過程，計算x t和和x2 t。 5. 形成有效剛度矩陣形成有效剛度矩陣 ： 6. 對對 作三角分解：作三角分解：0 x 0 x KKKCMK10aaTLDLK 202tata6111225tata33042aa235aa206aa

15、 937aa 燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan UniversityB. 關(guān)于每一時間增量計算關(guān)于每一時間增量計算1. 計算計算t+t時刻的有效載荷時刻的有效載荷 2. 計算計算tt時刻的位移時刻的位移 3. 如果需要，計算如果需要，計算t+t時刻的加速度和速度時刻的加速度和速度24623572ttttttaaaaaa ttttttttRRMxxxCxxxttttaaaa26420tttttxxxxx ttttaaaa27531tttttxxxxx ttttRxLDLTHoubolt法和中心差分法的根本不同之處是剛度矩陣法和

16、中心差分法的根本不同之處是剛度矩陣K出現(xiàn)在方程出現(xiàn)在方程(1)的左端，因此的左端，因此Houbolt法是隱式積分格式，法是隱式積分格式，其舍入誤差與步長其舍入誤差與步長t的大小無關(guān)，所以的大小無關(guān)，所以Houbolt法是無法是無條件穩(wěn)定的。條件穩(wěn)定的。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan UniversityWilson- 法模型法模型4.3 威爾遜威爾遜- 法法 威爾遜威爾遜 (Wilson- )法法是假定在是假定在t, t+ t( 1)時間時間間隔內(nèi)，加速度呈線性變化，間隔內(nèi)，加速度呈線性變化，如圖所示。令如圖所示。令 為自

17、為自t時刻開始時刻開始的時間變量，適用于的時間變量，適用于0 t。根據(jù)線性加速度的假。根據(jù)線性加速度的假設(shè)，可得在此范圍內(nèi)的加速設(shè)，可得在此范圍內(nèi)的加速度為度為1tt ttttxxxx（）燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University若若 =t，由以上兩式可得，由以上兩式可得t +t瞬時的速度和位移瞬時的速度和位移 上式積分后得上式積分后得222tt tttttxxxxx（）321326tt ttttttxxxxxx（）22226ttttttt tttttttttxxxxxxxxxttttxxxx tt根據(jù)上式，將根

18、據(jù)上式，將t +t時刻的加速度和速度用位移表示時刻的加速度和速度用位移表示 。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University22226ttttttt tttttttttxxxxxxxxx226624tttt tttttxxxxx（）tttttxxxxx 223tttt燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University在在t +t時刻的動力方程為時刻的動力方程為 式中式中ttttttttRKxxCxM ttttRRRRtt22662322tttt

19、tttt ttttttttttxxxxxxxxxx燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University整理得關(guān)于整理得關(guān)于xt+ t的線性方程組的線性方程組式中式中ttttRxKMCKK2263tt22663222tttttttt ttttttttRRRRMxxxCxxx求解上述代數(shù)方程組，可得求解上述代數(shù)方程組，可得xt+t+t t。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University同樣取同樣取 = t，將式，將式(1)分別代入式分別代入式(2)和

20、式和式(3)，有，有 這樣就完成了一步積分。這樣就完成了一步積分。tttttxxxxx 3166222ttttttttxxxx ttt2tttttxxxxx 262tttt 求出求出t+t 瞬時的位移瞬時的位移xt+t后，代入式后，代入式(4)就可獲就可獲得得 。在式。在式(1)中取中取 = t，并將式，并將式(4)代入，有代入，有 ttx 1tt ttttxxxx（）226624tttt tttttxxxxx（）燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 本方法的物理意義是：假定加速度在時刻本方法的物理意義是：

21、假定加速度在時刻tt+ t內(nèi)為線性變化，首先計算內(nèi)為線性變化，首先計算t, t t區(qū)間的近似解，但區(qū)間的近似解，但僅取其中前半部分僅取其中前半部分(到時刻到時刻tt)作為正式的近似解而作為正式的近似解而舍去后半部分舍去后半部分(時刻時刻tt以后的部分以后的部分)。這種巧妙的處。這種巧妙的處理并非出于物理的原因，而主要是數(shù)學(xué)計算技術(shù)的理由。理并非出于物理的原因，而主要是數(shù)學(xué)計算技術(shù)的理由。 在在Wilson- 中，只要中，只要 值取值取1.37以上，不管以上，不管t取怎取怎樣的值都是穩(wěn)定的樣的值都是穩(wěn)定的(即這種算法是無條件穩(wěn)定的即這種算法是無條件穩(wěn)定的)。實際實際上，上， 最好不要太大，否則精

22、度會下降最好不要太大，否則精度會下降(截斷誤差增加截斷誤差增加)。因此，因此，Wilson推薦的合理推薦的合理 值為值為1.4。 燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan UniversityWilson- 法的計算機實施格式法的計算機實施格式A. 初始計算初始計算 1. 形成質(zhì)量矩陣形成質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣，阻尼矩陣C和剛度矩陣和剛度矩陣K。 2. 給出初始值給出初始值 x0， ， 。 3. 選擇時間步長選擇時間步長t，取，取 1.4，計算積分常數(shù)：，計算積分常數(shù)： ， ， ， ， ， ， ， 。 4. 形成有效剛度矩陣形成有效剛

23、度矩陣 ： 5. 對對 作三角分解：作三角分解：0 x 0 x KKKCMK10aaTLDLK 206tata31122aa 23ta04aa 25aa316a27ta628ta燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan UniversityB. 關(guān)于每一時間增量計算關(guān)于每一時間增量計算 1. 計算計算t+t時刻的有效載荷時刻的有效載荷 2. 計算計算tt時刻的位移時刻的位移 3. 計算計算t+t時刻的加速度和速度和位移時刻的加速度和速度和位移 ttttRxLDLTttttRRRRttttttttxxxCxxxM 312022aaaa

24、tttttxxxxx 654aaattttttxxxx tta7tttttxxxxx 28ttat燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University Wilson- 是一種隱式積分方法，即每計算是一種隱式積分方法，即每計算一步，必須解一個線性代數(shù)方程組。一步，必須解一個線性代數(shù)方程組。 Wilson- 算法是自起步的，算法是自起步的，tt時刻的時刻的位移，速度和加速度都可由位移，速度和加速度都可由t時刻的變量表示，時刻的變量表示，不需要特別的起動技術(shù)。不需要特別的起動技術(shù)。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mech

25、anical Engineering, Yanshan University 紐馬克紐馬克- (Newmark- )法同樣也是假定在時間間隔法同樣也是假定在時間間隔 t, tt內(nèi)加速度呈線性變化，它的基本假定為內(nèi)加速度呈線性變化，它的基本假定為 4.4 紐馬克紐馬克- 法法式中式中 和和 為按積分的精度和穩(wěn)定性要求可以調(diào)整的參數(shù)。為按積分的精度和穩(wěn)定性要求可以調(diào)整的參數(shù)。研究表明，當研究表明，當 1/2， 1/4(1/2+ )2時，時，Newmark- 法是法是無條件穩(wěn)定的。無條件穩(wěn)定的。1tttttttxxxx( 1)212(2)tt tttttttxxxxx根據(jù)以上兩式，根據(jù)以上兩式， 和

26、和 可用可用表示。表示。 ttx ttx , ,ttttxx x燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University1tttttttxxxx( 1)212(2)tt tttttttxxxxxtttttttxxxxx ttt121112(3)tttttttxxxxx tt211(4)Newmark- 法每步積分應(yīng)滿足法每步積分應(yīng)滿足t+t時刻的動力方程時刻的動力方程ttttttttRKxxCxM (5)將公式將公式(3)、(4)代入式代入式(5)，可得，可得關(guān)于關(guān)于xt+ t 的方程為：的方程為：燕山大學(xué)機械工程學(xué)院School of Mechanical Engineering, Yanshan University式中求解方程求解方程(6)就可得到就可得到xt+t ，然后根據(jù)式，然后根據(jù)式(3