2022年數學分析教案(華東師大版)第十六章多元函數的極限與連續(xù)

1、學習必備歡迎下載第十六章 多元函數的極限與連續(xù)教學目的： 1.明確熟悉多元函數與一元函數的相同和不同之處，進而把握多元函數爭論問題的手法與特點； 2.明確爭論多元函數的目的及多元函數的用途；教學重點難點： 本章的重點是平面點集的有關概念與二元函數的連續(xù)性；難點是二元函數極限的爭論；教學時數： 16 學時§ 1平面點集與多元函數一.平面點集 :平面點集的表示 :滿意的條件 .余集.1. 常見平面點集 :全平面和半平面 :,等.矩形域:,.圓域:開圓 , 閉圓 , 圓環(huán).圓的個部分 .極坐標表示 , 特殊是和.角域:.簡潔域:型域和型域.2. 鄰域:圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內有方鄰域，方鄰

2、域內有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域 ,空心方鄰域與集的區(qū)分.二.點集拓撲的基本概念 :1. 內點、外點和界點： 集合的全體內點集表示為, 邊界表示為.集合的內點, 外點, 界點不定 .例 1確定集的內點、外點集和邊界 .例 2為 dirichlet 函數.確定集的內點、外點和界點集 .2. 以凝結程度分為 聚點和孤立點 :孤立點必為界點 .例 3.確定集的聚點集 .解的聚點集.3. 以包含不包含邊界分為開集和閉集 :時稱為開集 ,的聚點集時稱為閉集. 存在非開非閉集 .和空集為既開又閉集 . 以連通性分為 開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域： 以上常見平面點集均為區(qū)域 .有界集與無界集 :.點集的直徑： 兩點

3、的距離.三角不等式：（或）三.點列的極限 :設,.定義的定義 用鄰域語言 .例 4,.例 5設為點集的一個聚點 .就存在中的點列, 使.四.中的完備性定理 :.cauchy 收斂準就 :先證為 cauchy 列和均為 cauchy 列.4567.12. 閉集套定理 :p116.3. 聚點原理 :列緊性 ,weierstrass聚點原理 .4. 有限復蓋定理 :五.二元函數 :1. 二元函數的定義、記法、圖象：2. 定義域：例 6求定義域：>>.3. 二元函數求值 :例 7, 求.例 8, 求.4. 三種特殊函數 : 變量對稱函數 :,例 8 中的函數變量對稱 . 變量分別型函數 :

4、.例如,等 .但函數不是變量分別型函數 . 具有奇、偶性的函數：§ 2二元函數的極限一.全面極限與相對極限 :全面極限亦稱為二重極限 .1. 全面極限的定義:亦可記為.由的定義引入 .例 1用“”定義驗證極限.p94 例 1.例 2用“”定義驗證極限.例 3證明. 用極坐標變換 p94 例 2.2. 相對極限及方向極限 :相對極限和方向極限的定義.3. 全面極限與相對極限的關系 :th 1,對 d 的每一個子集 e ,只要點是 e 的聚點 ,就有.推論 1設,是的聚點 .如極限不存在 ,就極限也不存在 .推論 2設,是和的聚點.如存在極限, 但,就極限不存在.推論 3極限存在,對 d

5、 內任一點列,但,數列收斂 .通常為證明極限不存在,可證明沿某個方向的極限不存在, 或證明沿某兩個方向的極限不相等 , 或證明方向極限與方向有關 .但應留意 ,沿任何方向的極限存在且相等全面極限存在 以下例 5 .例 4證明極限不存在.考慮沿直線的方向極限 .全面極限具有與一元函數極限類似的運算性質.例 5求以下極限 :>>>>.4. 極限的定義:其他類型的非正常極限，無窮遠點的情形 .例 6驗證.二.累次極限 :1. 累次極限的定義 :定義.例 7, 求在點的兩個累次極限 .p97 例 6.例 8, 求在點的兩個累次極限 .例 9, 求在點的兩個累次極限 .2. 全面

6、極限與累次極限的關系 : 兩個累次極限存在時 , 可以不相等 . 例 9 兩個累次極限中的一個存在時 , 另一個可以不存在 .例如函數在點的情形 . 全面極限存在時 ,兩個累次極限可以不存在 .例如例 8 中的函數 ,全面極限存在,但兩個累次極限均不存在 .兩個累次極限存在 甚至相等 全面極限存在 .參閱例 7 .綜上 ,全面極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系.但有以下確定關系 .th 2如全面極限和累次極限或另一次序都存在 , 就必相等 . 證 p98.推論 1全面極限和兩個累次極限三者都存在時,三者相等 .系 1 給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論 2兩個累次極限存在但不相等時,全面極限不存在 .但兩個累次極限中一個存在, 另一個不存在全面極限不存在 .§ 3二元函數的連續(xù)性一 二元函數的連續(xù)（相對連續(xù)）概念： 由一元函數連續(xù)概念引入 .1. 連續(xù)的定義 :定義 用鄰域語言定義相對連續(xù) .全面連續(xù) .函數有定義的孤立點必為連續(xù)點 .例 1證明函數在點沿方向連續(xù) .函數的增量 :全增量、 偏增量 .用增量定義連續(xù)性 .函數在區(qū)域上的連續(xù)性 .2. 二元連續(xù) 即全面連續(xù) 和單元連續(xù) :定義 單元連續(xù) 二元連續(xù)與單元連續(xù)的關系 :參閱p101圖 16 9.3. 連續(xù)函數的性質 : 運算性質、局部有界性、局部保號性、復合函數連續(xù)性.僅證復合函數連續(xù)性