2022年數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用近幾年來湖南高考考試說明（物理）中明確要求“能夠依據(jù)詳細問題找出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，依據(jù)數(shù)學(xué)特點、規(guī)律進行推導(dǎo)、 求解和合理外推， 并依據(jù)結(jié)果做出物理判定、 進行物懂得釋或得出物理結(jié)論”本文僅就筆者多年教學(xué)實踐的體會，著重談?wù)剶?shù)學(xué)方法在中學(xué)物理教學(xué)中多方面的運用及其應(yīng)當留意的一些問題；一、數(shù)學(xué)學(xué)問是物理概念的定義工具，和物理定律、原理的推導(dǎo)工具 在物理中， 用數(shù)學(xué)學(xué)問來定義物理概念、 表達物理規(guī)律的最簡潔、最精確、最概括、 最深刻的語言；很多物理概念和規(guī)律都要以數(shù)學(xué)形式（公式或圖像）來表述，也只有利用了數(shù)學(xué)表述，才便于進一步運用它來分析、推理、論證，

2、才能廣泛地定量地說明問題和解決問題；1. 用數(shù)學(xué)的方法來定義物理概念在此僅以兩例來說明 .(1) 在中學(xué)物理中常用到的比值定義法.所謂比值定義法就是用兩個基本的物理量的“比”來定義一個新的物理量的方法；比值法 定義的基本特點是被定義的物理量往往是反映物質(zhì)最本質(zhì)的屬性，它不隨定義所用的物理量的大小取舍而轉(zhuǎn)變；如: 密度、壓強、速度、加速度, 功率、電場強度 , 電容等物理量的定義 .(2) 中學(xué)物理中的很多定律，例如電阻定律、歐姆定律、牛頓其次定律、氣體試驗三定律，光的折射定律等都是從試驗動身，經(jīng)過科學(xué) 抽象為物理定律， 最終運用數(shù)學(xué)語言把它表示為物理公式的； 這是研究物理的基本方法之一；2.

3、用數(shù)學(xué)學(xué)問來推導(dǎo)物理公式；物理學(xué)中經(jīng)常利用數(shù)學(xué)學(xué)問爭論問題； 以高中物理“直線運動” 這一章為例，就要用極限概念和圖像爭論速度、加速度和位移；用代 數(shù)法和三角法爭論運動規(guī)律和軌跡； 用矢量運算法就爭論位移與速度的合成和分解等； 另外， 物理學(xué)中經(jīng)常運用數(shù)學(xué)學(xué)問來推導(dǎo)物理公式或從基本公式推導(dǎo)出其它關(guān)系式， 這樣既可以使同學(xué)獲得新學(xué)問， 又可以幫忙他們領(lǐng)悟物理學(xué)問間的內(nèi)在聯(lián)系，加深懂得；二、用數(shù)學(xué)方法處理物理問題在中學(xué)物理學(xué)習(xí)中常用的數(shù)學(xué)方法有圖像法、極值法、近似運算法、微元法等；1、圖像法物理圖像是一種特別形象的數(shù)字語言和工具，利用它可以很好 地描述物理過程，反映物理概念和規(guī)律，推導(dǎo)和驗證新的規(guī)

4、律；物理圖像不僅可以使抽象的概念形象化， 仍可以恰當?shù)乇硎菊Z言難以表達的內(nèi)涵；用圖像解物理問題，不但快速、直觀，仍可以防止復(fù)雜的運算過程；例 1、甲乙兩地相距s 1.6km ，摩托車加速時的加速度為a11.6m2 ，s減速時的加速度為 a26.4 m2s摩托車從甲地往乙地所用最短時間為多少？運動過程中的最大速度為多少？解法一：用數(shù)學(xué)推導(dǎo)法；設(shè)摩托車加速運動時間為t1 ，勻速運動時間為t2 ，減速運動時間為 t3 ，總時間為 t ，就：vma1t1a2t3 ,s1 a t2 ,1 112s2vmt2 ,s1 a t 2,ssss,ttttt2322 3123213聯(lián)立以上六式并代入數(shù)據(jù)得：11.

5、6tt116000要使以上方程有解，須判別式0 ，即：1.62416000 ,所以 t50s ，即最短時間為 50s；t1故有： 280t116000 ，解得： t140s, t20,t 310s ；可見摩托車從甲地到乙地先加速40s , 后緊接著減速10s 達到乙地所用時間最短，勻速時間為零；最大速度為：vma1t11.640 m s64 m s ；解法二： 用圖象分析法； 建立如圖 1 所示的象，圖象中梯形的“面積”即為甲乙兩地的距離，v圖vmt1t2t圖 1在保證“面積”不變的情形下要使運動時間變小，只有把梯形變成三角形；svm t1t22， a1t1a2t2 ,tt1t2聯(lián)立以上三式得

6、：最短時間為t 50s ，最大速度為vm64 ms ；歸納：比較以上兩種分析方法，圖象法比解析法簡潔，是一種可取的方法；2、極值法 極值法是在物理模型的基礎(chǔ)上借助數(shù)學(xué)手段和方法，從數(shù)學(xué)的極值法角度進行分析、 歸納的數(shù)學(xué)處理方法； 物理極值問題的爭論中常用的極值法有 : 三角函數(shù)極值法 , 二次函數(shù)的極值法 , 一元二次方程的判別式法等 .例 2: 質(zhì)量為 m的物體放在地面上，它們間的滑動摩擦系數(shù)為，用力 f 斜向上拉物體，使物體在水平面上作勻速直線運動， 求力與水平方向的夾角 為多大時最省力；圖 2析與解: 由于物體在水平面上做勻速直線運動，隨著 角的不同，物體與水平面間的彈力不同，因而滑動摩

7、擦力也不一樣；而拉力 在水平方向的分力與摩擦力相等； 以物體為爭論對象， 受力分析如圖2 所示；由于物體處于平穩(wěn)狀態(tài)，依據(jù) f0得：f cosfn（1），f sinfnmg（ 2）由（ 1）、（2）式得：fcosmgsinmg12 sin（arctan 1 ）可見，當fmgmin12900 ，即acr tan時， sin1， f 有最小值為：3、近似運算法 .物理運算中，常用一些數(shù)學(xué)近似公式：如: 當很小時：sintan借助上述公式結(jié)論，在物理估算中常收到一些意想不到的成效；例 3: 在水下 1m處放置一個小物塊，問當從水面正上方向下看時， 物體離水面為多少？解析:水面下物體 a 所發(fā)出的光線

8、經(jīng)水面折射，其像點 a' ，光路如圖 3 所示.tanoo 'oa', tanoo 'oa當人眼從水面正上方往下看時，、 兩角都應(yīng)接近零度；因此有：圖 3tansin， tansin由光的折射定律，就有：'oo'nsin sintan tanoa' oo oaoa oa'所以當從水面正上方向下看時，物體離水面深度為4. 微元法:1 n 米微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體 的思維方法；它是將爭論對象（物體或物理過程）進行無限細分，從 其中抽取某一微小單元即“元過程”， 進行爭論， 每個“元過程”所遵循的規(guī)律是

9、相同的； 對這些“元過程”進行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進而使問題求解；例 4: 用微元法推導(dǎo)勻變速直線運動位移與時間關(guān)系；做勻變速直線運動的物體，其速度與時間圖線下面四邊形的面積可以表示其位移；這一結(jié)論的得出就需要用微元法思想；我們爭論以初速度v0 做做勻變速直線運動的物體，在時間內(nèi)發(fā)生的位移；物體運動的v-t圖像如圖 4 所示；t圖 4把時間 t 分割成很多多個小的時間間隔t ，在 v-t圖中，每一個時間間隔起始時刻的瞬時速度由相應(yīng)的縱坐標表示；在每一個時間間隔內(nèi)，我們認為物體做勻速直線運動；在v-t圖中，各段位移可以用一個又窄又高的小矩形的面積代表；每個小矩形的面積之和近似的代表物體

10、在整個過程中的位移；為了精確一些，可以把運動過程劃分為更多的小段，如圖乙，用全部這些小段的位移之和，近似代表物體在整個過程中的位移；從v-t圖上看， 就是用更多的但是更窄的小矩形的面積之和代表物體的位移；可以想象，假如把整個運動過程劃分得特別特別細，很多很多小矩形的面積之和就能特別精確地代表物體的位移了；這時，“很多很多”小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來了，這些小矩形合在一起成了一個梯形oapq；梯形 oapq的面積就代表做勻變速直線運動的物體從 0 到 t 這段時間間隔的位移；圖中v-t直線下面的梯形 oapq的面積 圖丙 是ss1s2oaoqarrpv 201 at 22即位移： xv01

11、 at 22例 5：（江蘇， 20xx 年高考卷 15 題）如下列圖，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l 、足夠長且電阻忽視不計，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強磁場的寬度為d，磁感應(yīng)強度大小為 b、方向與導(dǎo)軌平面垂直； 長度為 2d 的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成 “”型裝置，總質(zhì)量為 m， 置于導(dǎo)軌上；導(dǎo)體棒中通以大小恒為 i 的電流（由外接恒流源產(chǎn)生， 圖中未圖出）；線框的邊長為 d（d < l），電阻為 r，下邊與磁場區(qū)域上邊界重合；將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運動到磁場區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直；重力加速度為 g；求

12、：（1）裝置從釋放到開頭返回的過程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱 q；（2） 線框第一次穿越磁場區(qū)域所需的時間t 1；（3） 經(jīng)過足夠長時間后， 線框上邊與磁場區(qū)域下邊界的最大距離m ；圖 5解析:1 、（ 3）問解省略（ 2）設(shè)線框剛離開磁場下邊界時的速度為v1 ，就接著向下運動 2d1由動能定理mg sin2dbild01 mv22裝置在磁場中運動時收到的合力fmg sinf '感應(yīng)電動勢=bd感應(yīng)電流i ' =r安培力f 'bi ' d由牛頓其次定律，在 t 到 t+t 時間內(nèi)，有vft m就有 v1vgt1 sing sin2b 2d 3mrb2d 2vt mr

13、解得t12 m bild2mgd sin mg sin2 b 2d 3r三、 應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來分析、解決物理問題時應(yīng)當留意的一些問題1. 懂得物理公式或圖像所表示的物理意義物理公式中運用數(shù)學(xué)學(xué)問時，肯定要使同學(xué)弄清物理公式或圖像所表示的物理意義， 不能單純地從抽象的數(shù)學(xué)意義去懂得物理問題，要防止單純從數(shù)學(xué)的觀點動身將物理公式“純數(shù)學(xué)化”的傾 向；如在電容的概念教學(xué)時筆者就發(fā)覺有一大部分同學(xué)認為電容與電荷量成正比 , 與電壓成反比；2. 表達物理概念或規(guī)律的公式都有自己的適應(yīng)條件在運用數(shù)學(xué)解決物理問題時，肯定要使同學(xué)弄清物理公式的適用條件和應(yīng)用范疇； 例如，真空中庫侖定律的公式只適用于兩個相對靜止

14、的點電荷；值得留意的是，假如從“純數(shù)學(xué)化”觀念來看，當r 0時， f，但這樣的爭論在物理上是毫無意義的，由于這時q1,q2 不能看做點電荷，而且兩者間的相互作用力變的很復(fù)雜的，庫侖定律描述不了它們之間的相互作用；3. 數(shù)學(xué)的解與物理的解的統(tǒng)一假如由建立的數(shù)學(xué)模型， 應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解出的數(shù)學(xué)的解都不符合物理實際意義， 并不能只是簡潔下個無解的結(jié)論， 而是應(yīng)當對原數(shù)學(xué)模型作認真的分析與反思， 找到其潛在的問題， 并對原數(shù)學(xué)模型進行修正；例 6: 在平直大路上以20 m s勻速行駛的汽車， 剎車后獲得8 m 2 大小s的加速度，問經(jīng)過 5 秒鐘，汽車發(fā)生的位移是多少 .錯解依據(jù)勻變速直線運動的位移公式s v0t1 at2 ，代入數(shù)據(jù)得： s22051 8520 ；2爭論：汽車剎車后，沒有向前移動，這是不行能的；為什么會顯現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？進一步分析可以發(fā)覺， 汽車從開頭剎車到停止所需時間為：t vtv0 a25s ；假如