2022年數學第十五講二次函數的綜合題及應用2

1、第十五講二次函數的綜合題及應用【重點考點例析】考點一：確定二次函數關系式例 1 （2013?牡丹江）如圖，已知二次函數y=x2+bx+c 過點 a（ 1，0）， c（0， -3 ）（1）求此二次函數的解析式；（2）在拋物線上存在一點p使 abp的面積為10，請直接寫出點p的坐標思路分析： （1）利用待定系數法把a （1，0），c（0，-3）代入）二次函數y=x2+bx+c 中，即可算出b、c的值，進而得到函數解析式是y=x2+2x-3 ；（2）首先求出a、b兩點坐標，再算出ab的長，再設p（m ，n），根據 abp的面積為10 可以計算出n的值，然后再利用二次函數解析式計算出m的值即可得到p點

2、坐標解： （1）二次函數y=x2+bx+c 過點 a（1，0）， c （ 0，-3 ），103bcc，解得23bc，二次函數的解析式為y=x2+2x-3 ；（2）當 y=0 時， x2+2x-3=0 ，解得： x1=-3，x2=1；a（ 1，0）， b（-3，0），ab=4 ，設 p（m ， n）， abp的面積為10，12ab?|n|=10，解得： n=5，當 n=5 時， m2+2m-3=5，解得： m=-4 或 2，p（ -4 ，5）（ 2，5）；當 n=-5 時， m2+2m-3=-5，方程無解，故 p（-4 ，5）（ 2，5）；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - -

3、- - - - - - - - 第 1 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -點評： 此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，以及求點的坐標，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點必能滿足解析式對應訓練1（ 2013?湖州）已知拋物線y=-x2+bx+c 經過點 a（3，0）， b（-1 ，0）（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點坐標1解：（ 1）拋物線y=-x2+bx+c 經過點 a（ 3，0）， b（-1，0）拋物線的解析式為；y=- （x-3 ）（ x+1），即 y=-x2+2x+3，（2）拋物線的解析式為y=-x2+2x+3=- （x-1 ）2+4，拋物線的頂點坐標為：

4、（1，4）考點二：二次函數與x 軸的交點問題例 2 （2013?蘇州）已知二次函數y=x2-3x+m（m為常數）的圖象與x 軸的一個交點為（1，0），則關于x的一元二次方程x2-3x+m=0 的兩實數根是（）ax1=1， x2=-1 bx1=1，x2=2 cx1=1，x2=0 d x1=1，x2=3 思路分析： 關于 x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的兩實數根就是二次函數y=x2-3x+m（m為常數）的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標解： 二次函數的解析式是y=x2-3x+m（m為常數），該拋物線的對稱軸是：x=32又二次函數y=x2-3x+m（m為常數）的圖象與x 軸的一個交點為（1，0）

5、，根據拋物線的對稱性質知，該拋物線與x 軸的另一個交點的坐標是（2，0），關于 x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的兩實數根分別是：x1=1，x2=2故選 b點評： 本題考查了拋物線與x 軸的交點解答該題時，也可以利用代入法求得m的值，然后來求關于x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的兩實數根對應訓練2（ 2013?株洲）二次函數y=2x2+mx+8的圖象如圖所示，則m的值是（）a-8 b8 c 8 d6 2b 考點三：二次函數的實際應用例 3 （2013?營口）為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優(yōu)惠政策，使農民收入大幅度增加某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的

6、成本價為每千克20 元，市場調查發(fā)現，該精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元 / 千克）有如下關系：y=-2x+80 設這種產品每天的銷售利潤為 w元（1）求 w與 x 之間的函數關系式（2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）如果物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于每千克28 元，該農戶想要每天獲得150 元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？思路分析： （1）根據銷售額=銷售量銷售價單x，列出函數關系

7、式；（2）用配方法將（2）的函數關系式變形，利用二次函數的性質求最大值；（3）把 y=150 代入（ 2）的函數關系式中，解一元二次方程求x，根據 x 的取值范圍求x 的值解： （1）由題意得出：w=（x-20 ）? y =（x-20 ）（ -2x+80 ）=-2x2+120 x-1600 ，故 w與 x 的函數關系式為：w=-2x2+120 x-1600 ；（2） w=-2x2+120 x-1600=-2 （x-30 ）2+200，-2 0，當 x=30 時， w有最大值 w最大值為 200答：該產品銷售價定為每千克30 元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200 元（3）當 w=150時，

8、可得方程 -2 （x-30 ）2+200=150解得x=25，x2=353528，x2=35 不符合題意，應舍去答：該農戶想要每天獲得150 元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25 元點評： 本題考查了二次函數的運用關鍵是根據題意列出函數關系式，運用二次函數的性質解決問題對應訓練3（2013?武漢）科幻小說實驗室的故事中，有這樣一個情節(jié)：科學家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：溫度 x/ -4 -2 0 2 4 4.5 植物每天高度增長量y/mm 41 49 49 41 25 19.75 由這些數據，科學家推測出植物每天高度增長量y 是

9、溫度 x 的函數，且這種函數是反比例函數、一次函數和二次函數中的一種（1）請你選擇一種適當的函數，求出它的函數關系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數的理由；（2）溫度為多少時，這種植物每天高度增長量最大？（3）如果實驗室溫度保持不變，在10 天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm ，那么實驗室的溫度x 應該在哪個范圍內選擇？請直接寫出結果3解：（ 1）選擇二次函數，設y=ax2+bx+c（a0），x=-2 時， y=49，x=0 時， y=49，x=2 時， y=41，4249494241abccabc，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

10、 第 3 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -解得1249abc，所以， y 關于 x 的函數關系式為y=-x2-2x+49 ；不選另外兩個函數的理由：點（ 0，49）不可能在反比例函數圖象上，y 不是 x 的反比例函數，點（ -4 ，41）（ -2，49）（ 2，41）不在同一直線上，y 不是 x 的一次函數；（2）由（ 1）得， y=-x2-2x+49=- （x+1）2+50，a=-1 0，當 x=-1 時， y 有最大值為50，即當溫度為 -1 時，這種作物每天高度增長量最大；（3） 10 天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm ，平均每天該植物高度增長量超過25m

11、m ，當 y=25 時， -x2-2x+49=25 ，整理得， x2+2x-24=0 ，解得 x1=-6 ，x2=4，在 10 天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm ，實驗室的溫度應保持在-6 x4考點四：二次函數綜合性題目例 4 （2013?自貢）如圖，已知拋物線y=ax2+bx-2 （a0）與 x 軸交于 a、 b兩點，與y 軸交于 c點，直線 bd交拋物線于點d，并且 d（2，3）， tan dba= 12（1）求拋物線的解析式；（2）已知點 m為拋物線上一動點，且在第三象限， 順次連接點b、m 、c、a，求四邊形bmca 面積的最大值；（3）在（ 2）中四邊形bmca 面積最大

12、的條件下，過點m作直線平行于y 軸，在這條直線上是否存在一個以 q點為圓心， oq 為半徑且與直線ac相切的圓？若存在，求出圓心q的坐標；若不存在，請說明理由思路分析： （ 1）如答圖1 所示，利用已知條件求出點b的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）如答圖1 所示，首先求出四邊形bmca 面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出其最大值；（3）本題利用切線的性質、相似三角形與勾股定理求解如答圖2 所示，首先求出直線ac與直線 x=2 的交點 f 的坐標，從而確定了rtagf的各個邊長； 然后證明 rt agf rtqef ，利用相似線段比例關系列出方程，求出點q的坐標解： （1）

13、如答圖1 所示，過點d作 de x 軸于點 e，則 de=3 ，oe=2 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -tan dba=debe=12，be=6 ，ob=be-oe=4 ，b（ -4 ，0）點 b（-4，0）、 d（2， 3）在拋物線y=ax2+bx-2 （a0）上，164204223abab，解得1232ab，拋物線的解析式為：y=12x2+32x-2 （2）拋物線的解析式為：y=12x2+32x-2 ，令 x=0，得 y=-2 ， c（0，-2 ），令 y=0，得 x=-4

14、 或 1， a（1，0）設點 m坐標為（ m ，n）（ m 0，n0），如答圖 1 所示，過點m作 mf x 軸于點 f，則 mf=-n， of=-m ， bf=4+m s四邊形 bmca=sbmf+s梯形 mfoc+saoc=12bf?mf+12（mf+oc ）?of+12oa?oc=12（4+m ）（ -n ）+12（-n+2 ）（ -m）+1212=-2n-m+1 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -點 m （m ， n）在拋物線y=12x2+32x-2 上，n=12m2+32

15、m-2，代入上式得：s四邊形 bmca=-m2-4m+5=- （m+2 ）2+9，當 m=-2 時，四邊形bmca 面積有最大值，最大值為9（3）假設存在這樣的q 如答圖 2 所示，設直線x=-2 與 x 軸交于點g，與直線ac交于點 f設直線 ac的解析式為y=kx+b，將 a（1，0）、 c（0， -2）代入得：02kbb，解得： k=2，b=-2 ，直線 ac解析式為： y=2x-2 ，令 x=-2 ，得 y=-6 ， f（-2， -6 ）， gf=6 在 rtagf中，由勾股定理得：af=22aggf=22363 5設 q（-2 ，n），則在rtagf中，由勾股定理得：oq=22ogq

16、f=24n設 q與直線 ac相切于點e ，則 qe=oq=24n在 rtagf與 rtqef中， agf= qef=90 ， afg= qfe ，rtagf rtqef ，afagqfqe，即3 56n=234n，化簡得： n2-3n-4=0 ，解得 n=4 或 n=-1 存在一個以q點為圓心， oq為半徑且與直線ac相切的圓，點q的坐標為（ -2 ，4）或（ -2 ，-1）點評： 本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形、勾股定理、圓的切線性質、解直角三角形、圖形面積計算等重要知識點，涉及考點眾多，有一精品學習資料 可選擇p d f -

17、- - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -定的難度第（2）問面積最大值的問題，利用二次函數的最值解決；第（3）問為存在型問題，首先假設存在，然后利用已知條件，求出符合條件的點q坐標對應訓練4（2013?張家界）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點c（0，1），頂點為q （ 2，3），點d在 x 軸正半軸上，且od=oc （1）求直線cd的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線cd繞點 c逆時針方向旋轉45所得直線與拋物線相交于另一點e，求證： ceq cdo ；（4）在（ 3）的條件下，若點p是線段 qe

18、上的動點，點f 是線段 od上的動點，問：在p點和 f點移動過程中， pcf的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由4解：（ 1） c（0，1）， od=oc ， d點坐標為（ 1，0）設直線 cd的解析式為y=kx+b（k0），將 c（0， 1）， d（1，0）代入得：10bkb，解得： b=1，k=-1 ，直線 cd的解析式為：y=-x+1 （2）設拋物線的解析式為y=a（x-2 ）2+3，將 c（0， 1）代入得： 1=a（ -2 ）2+3，解得 a=-12y=-12（x-2 ）2+3=-12x2+2x+1（3）證明：由題意可知，ecd=45 ，oc=od ，且

19、 oc od ， ocd 為等腰直角三角形， odc=45 ， ecd= odc ， ce x 軸，則點 c、e關于對稱軸（直線x=2）對稱，點 e的坐標為（ 4， 1）如答圖所示，設對稱軸（直線x=2）與 ce交于點 f，則 f（2，1），精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -me=cm=qm=2， qme 與 qmc 均為等腰直角三角形，qec= qce=45 又 ocd 為等腰直角三角形，odc= ocd=45 ， qec= qce= odc= ocd=45 ， ceq cdo

20、（4）存在如答圖所示，作點c關于直線qe的對稱點c，作點c關于 x 軸的對稱點c，連接cc，交od于點 f，交 qe于點 p，則 pcf即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，pcf的周長等于線段 cc的長度（證明如下： 不妨在線段od 上取異于點f的任一點 f， 在線段 qe上取異于點p的任一點 p， 連接 fc，fp，pc由軸對稱的性質可知，pcf 的周長 =fc+fp+pc；而 fc+fp+pc是點c，c之間的折線段，由兩點之間線段最短可知：fc+fp+pccc，即pcf 的周長大于pce的周長）如答圖所示，連接ce，c， c關于直線qe對稱， qce為等腰直角三角形，qc

21、e 為等腰直角三角形，cec 為等腰直角三角形，點 c的坐標為（4，5）；c，c關于x 軸對稱，點c的坐標為（ -1 ，0）過點 c作 cn y 軸于點 n，則 nc =4，nc =4+1+1=6 ，在 rtcnc 中，由勾股定理得： cc=2222462 13ncnc綜上所述，在p點和 f 點移動過程中，pcf的周長存在最小值，最小值為213精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -【聚焦山東中考】1 （2013?淄博） 如圖， rt oab 的頂點 a （-2 ，4）在拋物線 y=ax

22、2上，將 rtoab繞點 o順時針旋轉90，得到 ocd ，邊 cd與該拋物線交于點p，則點 p的坐標為（）a （2，2）b （2，2）c （2，2）d （2，2）1c 2（2013?濱州）某高中學校為高一新生設計的學生單人桌的抽屜部分是長方體形其中，抽屜底面周長為 180cm，高為 20cm請通過計算說明，當底面的寬x 為何值時，抽屜的體積y 最大？最大為多少？（材質及其厚度等暫忽略不計）2解：已知抽屜底面寬為x cm，則底面長為1802-x= （90-x ）cm由題意得： y=x（90-x ）20=-20 （x2-90 x ）=-20 （x-45 ）2+40500 當 x=45 時， y

23、有最大值，最大值為40500答：當抽屜底面寬為45cm時，抽屜的體積最大，最大體積為40500cm33（2013?日照）一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車100 輛公司在經營中發(fā)現每輛車的月租金x（元）與每月租出的車輛數（y）有如下關系：x 3o00 3200 3500 4000 y 100 96 90 80 （1）觀察表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識求出每月租出的車輛數y（輛）與每輛車的月租金x（元）之間的關系式（2）已知租出的車每輛每月需要維護費150 元，未租出的車每輛每月需要維護費50 元用含 x（x3000）的代數式填表：租出的車輛數未租出的車輛數租出每輛車的月

24、收益所有未租出的車輛每月的維護費（3）若你是該公司的經理，你會將每輛車的月租金定為多少元，才能使公司獲得最大月收益？請求出公司的最大月收益是多少元3解：（ 1）由表格數據可知y 與 x 是一次函數關系，設其解析式為y=kx+b由題：3000100320096kbkb，解之得：150160kb，y 與 x 間的函數關系是y=-150 x+160精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -（2）如下表：租出的車輛數-150 x+160 未租出的車輛數150 x-60 租出的車每輛的月收益x-15

25、0 所有未租出的車輛每月的維護費x-3000 （3）設租賃公司獲得的月收益為w元，依題意可得：w= （-150 x+160）（ x-150 ） -（x-3000 ）=（-150 x2+163x-24000 ）- （x-3000 ）=-150 x2+162x-21000 =-150（x-4050 ）2+30705 當 x=4050 時， wmax=307050 ，即：當每輛車的月租金為4050 元時，公司獲得最大月收益307050 元故答案為： -150 x+160，150 x-60 4 （2013?棗莊）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c 的圖象與x 軸交于 a、b 兩點，

26、a 點在原點的左側，b點的坐標為（3，0） ，與 y 軸交于 c（0，-3）點，點p是直線 bc下方的拋物線上一動點（1）求這個二次函數的表達式（2）連接 po 、pc ，并把 poc沿 co翻折，得到四邊形pop c，那么是否存在點p ，使四邊形pop c 為菱形？若存在，請求出此時點p的坐標；若不存在，請說明理由（3）當點 p 運動到什么位置時，四邊形abpc的面積最大？求出此時p 點的坐標和四邊形abpc的最大面積4解：（1）將 b、c兩點的坐標代入得930-3bcc，解得：-2-3bc；所以二次函數的表達式為：y=x2-2x-3 。（2）存在點p，使四邊形pop c 為菱形；精品學習資

27、料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -如圖，設p點坐標為（ x，x2-2x-3 ） ，pp 交 co于 e 若四邊形pop c 是菱形，則有pc=po ；連接 pp ，則 pe co于 e，oe=ec=32，y=-32；x2-2x-3=-32解得 x1=2102，x2=2102（不合題意，舍去）p點的坐標為（2102，-32） 。（3） 過點 p作 y 軸的平行線與bc交于點 q， 與 ob交于點 f， 設 p （x， x2-2x-3 ） ，易得，直線bc的解析式為y=x-3 則 q點的坐標為

28、（x， x-3 ） ；s四邊形 abpc=sabc+sbpq+s cpq=12ab?oc+12qp?bf+12qp?of=1243+12 (-x2+3x)3=-32 (x-32)2+758。當x=32時，四邊形abpc 的面積最大此時 p點的坐標為(32，-154)，四邊形 abpc的面積的最大值為758精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -5（2013?濰坊）為了改善市民的生活環(huán)境，我市在某河濱空地處修建一個如圖所示的休閑文化廣場，在rtabc內修建矩形水池defg ，使定點 d，

29、e在斜邊 ab上， f，g分別在直角邊bc ，ac上；又分別以ab ，bc ，ac為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設瓷磚，其中ab=243米， bac=60 ，設ef=x米， de=y米（1）求 y 與 x 之間的函數解析式；（2）當 x 為何值時，矩形defg 的面積最大？最大面積是多少？（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積，并求當x 為何值時，矩形defg 的面積及等于兩彎新月面積的13？5解：（ 1）在 rtabc中， acb=90 ， ab=243米， bac=60 ，ac=12ab=123米， bc=3ac=36米， abc=30 ，

30、ad=tan60dg=33x，be=tan30ef=3x，ad+de+be=ab，33x+y+3x=243，y=243-33x-3x=243-4 33x，即 y 與 x 之間的函數解析式為y=243-4 33x（0 x18）；（2） y=243-4 33x，矩形defg 的面積 =xy=x（243-4 33x）=-4 33x2+243x=-4 33（x-9 ）2+1083，當 x=9 米時，矩形defg的面積最大，最大面積是1083平方米；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -（3）

31、記 ac 、bc 、 ab為直徑的半圓面積分別為s1、s2、s3，兩彎新月面積為s，則 s1=18ac2，s2=18bc2，s3=18ab2，ac2+bc2=ab2，s1+s2=s3，s1+s2-s=s3-sabc，s=sabc，兩彎新月的面積s=12ac?bc=1212336=2163（平方米）如果矩形defg 的面積及等于兩彎新月面積的13，那么 -4 33（ x-9 ）2+1083=132163，化簡整理，得（x-9 ）2=27，解得 x=933，符合題意所以當 x 為（933）米時，矩形defg的面積及等于兩彎新月面積的136 （2013?煙臺）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形oabc

32、 是邊長為2 的正方形，二次函數y=ax2+bx+c 的圖象經過點a，b，與 x 軸分別交于點e，f，且點 e的坐標為（ -23，0） ，以 0c為直徑作半圓，圓心為d（1）求二次函數的解析式；（2）求證：直線be是 d的切線；（3）若直線be與拋物線的對稱軸交點為p，m是線段 cb上的一個動點（點m與點 b，c不重合），過點 m作 mn be交 x 軸與點 n，連結 pm ，pn ，設 cm的長為 t ， pmn 的面積為s，求 s與 t 的函數關系式，并寫出自變量t 的取值范圍s是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由6解：（1）由題意，得a（0，2） ，b （2，2）

33、，e的坐標為（ -23，0） ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -則224242-093caabc，解得9-8942abc，該二次函數的解析式為：y=-98x2+94x+2；（2）如圖 1，過點 d作 dg be于點 g 由題意，得ed=23+1=53，ec=2+23=83，bc=2 ，be=6449=103 bec= deg ， egd= ecb=90 ， egd ecb ，dgdebcbe，dg=1 d的半徑是1，且 dg be ，be是 d的切線；（3）如圖 2，由題意，得

34、e（-23，0） ，b（2，2） 設直線 be為 y=kx+h（k 0） 則22203khh，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -解得，3412kh，直線 be為： y=34x+12直線 be與拋物線的對稱軸交點為p ，對稱軸直線為x=1，點 p的縱坐標y=54，即 p（1，54） mn be ， mnc= bec c=c=90 ， mnc bec ，cnmcecbc，823cnt，則 cn=43t ，dn=54t-1 ，s pnd=12dn?pd=12（43t-1 ）?54=56

35、t-58s mnc=12cn?cm=1243t?t=23t2s梯形 pdcm=12（pd+cm ）?cd=12?（54+t ）?1=58+12t s=spnd+s梯形 pdcm-smnc=-23t2+43t （0t 2） 拋物線s=-23t2+43t （0t2）的開口方向向下，s存在最大值當t=1 時， s最大=237 （2013?泰安）如圖，拋物線y=12x2+bx+c 與 y 軸交于點c（0，-4 ） ，與 x 軸交于點a，b，且 b點的坐標為（ 2，0）（1）求該拋物線的解析式（2）若點 p是 ab上的一動點，過點p作 pe ac ，交 bc于 e，連接 cp ，求 pce面積的最大值（

36、3）若點 d為 oa的中點，點m是線段 ac上一點，且omd 為等腰三角形，求m點的坐標精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -7解：（1）把點 c （0，-4 ） ，b（ 2，0）分別代入y=12x2+bx+c 中，得2-412202cbc，解得1-4bc。該拋物線的解析式為y=12x2+x-4 （2）令 y=0，即12x2+x-4=0 ，解得 x1=-4 ，x2=2，a（ -4 ，0） ，sabc=12ab?oc=12設 p點坐標為（ x，0） ，則 pb=2-xpe ac ， b

37、pe= bac ， bep= bca ， pbe abc ，2pbeabcs()spbabvv，即2pbes2()126xv，化簡得： spbe=13（2-x ）2s pce=spcb-spbe=12pb?oc -spbe=12（ 2-x ）4 -13（2-x ）2=-13x2-23x+83=-13（x+1）2+3 當 x=-1 時， spce的最大值為3精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -（3） omd 為等腰三角形，可能有三種情形：（i ）當 dm=do 時，如答圖所示do=d

38、m=da=2， oac= amd=45 ，adm=90 ，m點的坐標為（-2，-2 ） ；（ii ）當 md=mo 時，如答圖所示過點 m作 mn od于點 n，則點 n為 od的中點，dn=on=1 ，an=ad+dn=3，又 amn 為等腰直角三角形，mn=an=3 ，m點的坐標為（-1，-3 ） ；（iii）當 od=om 時， oac為等腰直角三角形，點 o到 ac的距離為224=22，即 ac上的點與點o之間的最小距離為2222 2， od=om 的情況不存在綜上所述，點m的坐標為（ -2 ，-2 ）或（ -1 ， -3 ） 8 （2013?威海） 如圖， 在平面直角坐標系中，直線

39、y=12x+32與直線 y=x 交于點 a ，點 b在直線 y=12x+32上， boa=90 拋物線y=ax2+bx+c 過點 a，o，b，頂點為點e（1）求點 a，b的坐標；（2）求拋物線的函數表達式及頂點e的坐標；（3）設直線y=x 與拋物線的對稱軸交于點c，直線 bc交拋物線于點d，過點 e作 fe x 軸，交直線ab于精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -點 f，連接 od ，cf，cf交 x 軸于點 m 試判斷 od與 cf是否平行，并說明理由8解：（1）由直線y=12x

40、+32與直線 y=x 交于點 a，得1322yxyx，解得，33xy，點 a的坐標是（ 3， 3） boa=90 ，ob oa ，直線 ob的解析式為y=-x 又點 b在直線 y=12x+32上，1322yxyx，解得，11xy，點 b的坐標是（ -1，1） 綜上所述，點a、 b的坐標分別為（3，3） ， （-1，1） （2）由（ 1）知，點a、b的坐標分別為（3， 3） ， （-1 ，1） 拋物線y=ax2+bx+c 過點 a， o ，b，9330-1abcca bc，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 33 頁 - -

41、- - - - - - -解得12120abc，該拋物線的解析式為y=12x2-12x，或 y=12（x-12）2-18頂點 e的坐標是（12，-18） ；（3） od與 cf平行理由如下：由（ 2）知，拋物線的對稱軸是x=12直線 y=x 與拋物線的對稱軸交于點c，c（12，12） 設直線 bc的表達式為y=kx+b（k0） ，把 b（ -1，1） ，c（12，12）代入，得-121122kbkb，解得1-323kb，直線 bc的解析式為y=-13x+23直線 bc與拋物線交于點b、d，-13x+23=12x2-12x，解得， x1=43，x2=-1精品學習資料 可選擇p d f - - -

42、 - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -把 x1=43代入 y=-13x+23，得 y1=29，點 d的坐標是（43，29） 如圖，作dn x 軸于點 n則 tan don=16dnonfex 軸，點 e的坐標為（12，-18） 點 f 的縱坐標是 -18把 y=-18代入 y=12x+32，得 x=-134，點 f 的坐標是（ -134，-18） ，ef=12+134=158ce=12+18=58，tan cfe=16ceef， cfe= don 又 fex 軸， cmn= cfe ， cmn= don ，od cf，即 o

43、d與 cf平行9 （2013?濰坊）如圖，拋物線y=ax2+bx+c 關于直線x=1 對稱，與坐標軸交與a，b，c三點，且ab=4 ，點d（2，32）在拋物線上，直線l 是一次函數y=kx-2 （k0）的圖象，點o是坐標原點（1）求拋物線的解析式；（2）若直線l 平分四邊形obdc 的面積，求k 的值；（3）把拋物線向左平移1 個單位，再向下平移2 個單位，所得拋物線與直線l 交于 m ，n兩點，問在y 軸正半軸上是否存在一定點p，使得不論k 取何值，直線pm與 pn總是關于y 軸對稱？若存在，求出p點坐標；若不存在，請說明理由9解：（1）因為拋物線關于直線x=1 對稱， ab=4 ，所以 a

44、（-1 ，0） ，b（3，0） ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -設拋物線的解析式為y=a（x+1） （x-3 ） ，點 d（2，32）在拋物線上，32=a3（ -1 ） ，解得 a=-12，拋物線解析式為：y=-12（x+1） （ x-3 ）=-12x2+x+32（2）拋物線解析式為：y=-12x2+x+32，令 x=0，得 y=32， c（0，32） ，d（ 2，32） ， cd ob ，直線 cd解析式為y=32直線 l 解析式為y=kx-2 ，令 y=0，得 x=2k；

45、令 y=32，得 x=72k；如答圖 1 所示，設直線l 分別與 ob 、cd交于點 e、f，則 e（2k， 0） ，f（72k，32） ，oe=2k，be=3-2k，cf=72k，df=2-72k直線 l 平分四邊形obdc 的面積，s梯形 oefc=s梯形 fdbe，12（oe+cf ）?oc=12（fd+be ）?oc ，oe+cf=fd+be，即：2k+72k=（3-2k）+（2-72k） ，解方程得： k=115，經檢驗k=115是原方程的解且符合題意，k=115精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 33 頁 - -

46、 - - - - - - -（3）假設存在符合題意的點p，其坐標為（0，t ） 拋物線解析式為：y=-12x2+x+32=-12（x-1 ）2+2，把拋物線向左平移1 個單位，再向下平移2 個單位，所得拋物線解析式為：y=-12x2依題意畫出圖形，如答圖2所示，過點m作 md y 軸于點 d，ney 軸于點 e，設 m （xm，ym） ，n（xn，yen） ，則 md=-xm，pd=t-ym；ne=xn，pe=t-yen直線 pm與 pn關于 y 軸對稱，mpd= npe ，又 mdp= nep=90 ，rtpmd rtpne ，mdpdnepe，即mmnnxtyxty，點 m 、n在直線 y

47、=kx-2 上， ym=kxm-2 ，yen=kxn-2 ，代入式化簡得： （t+2 ） （xm+xn）=2kxmxn把 y=kx-2 代入 y=-12x2 ，整理得： x2+2kx-4=0 ，xm+xn=-2k ， xmxn=-4 ，代入式解得：t=2 ，符合條件所以在 y 軸正半軸上存在一個定點p（0， 2） ，使得不論k 取何值，直線pm與 pn總是關于y 軸對稱【備考真題過關】一、選擇題1（2013?大慶）已知函數y=x2+2x-3 ，當 x=m時， y0，則 m的值可能是（）a-4 b0 c2 d 3 1b 2（2013?南昌）若二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x 軸有兩

48、個交點，坐標分別為（x1，0），（x2，0），且 x1x2，圖象上有一點m （x0，y0）在 x 軸下方，則下列判斷正確的是（）aa0 bb2- 4ac0cx1x0 x2da（x0-x1）（ x0-x2） 0 2d 3 （2013?湖州）如圖，在1010 的網格中，每個小方格都是邊長為1 的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點若拋物線經過圖中的三個格點，則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內接格點三角形”以o為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，若拋物線與網格對角線ob的兩個交點之間的距精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁

49、，共 33 頁 - - - - - - - - -離為32，且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱軸平行于y 軸的拋物線條數是（）a16 b15 c14 d 13 3c 二、填空題4（2013?宿遷）若函數y=mx2+2x+1 的圖象與x 軸只有一個公共點，則常數m的值是40 或 1 5 （2013?貴港）如圖，在平面直角坐標系xoy 中，若動點p在拋物線y=ax2上， p恒過點 f（0，n） ，且與直線 y=-n 始終保持相切，則n= （用含 a 的代數式表示） 514a6 （2013?錦州）二次函數y=23x2的圖象如圖，點a0位于坐標原點，點a

50、1，a2，a3an在 y 軸的正半軸上，點 b1，b2，b3bn在二次函數位于第一象限的圖象上，點c1，c2，c3cn在二次函數位于第二象限的圖象上，四邊形 a0b1a1c1，四邊形 a1b2a2c2，四邊形 a2b3a3c3四邊形an-1bnancn都是菱形， a0b1a1= a1b2a1=a2b3a3=an-1bnan=60，菱形an-1bnancn的周長為64n三、解答題精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -7（2013?鞍山）某商場購進一批單價為4 元的日用品若按每件5 元的

51、價格銷售，每月能賣出3 萬件；若按每件6元的價格銷售，每月能賣出2 萬件，假定每月銷售件數y（件）與價格x（元 / 件）之間滿足一次函數關系（1）試求 y 與 x 之間的函數關系式；（2）當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？7解：（ 1）由題意，可設y=kx+b，把（ 5，30000），（ 6，20000）代入得：300005200006tbtb，解得：1000080000kb，所以 y 與 x 之間的關系式為：y=-10000 x+80000 ；（2）設利潤為w ，則 w= （x-4 ）（ -10000 x+80000 ）=-10000 （x-4 ）（ x-8

52、）=-10000 （x2-12x+32 ）=-10000 （x-6 ）2-4 =-10000 （x-6 ）2+40000 所以當 x=6 時， w取得最大值，最大值為40000 元答：當銷售價格定為6 元時，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000 元8（2013?烏魯木齊）某公司銷售一種進價為20 元/ 個的計算機，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元 /個）的變化如下表：價格 x（元 / 個）30 40 50 60 銷售量 y（萬個）5 4 3 2 同時，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40 萬元（1）觀察并分析表中的y 與 x 之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數

53、的有關知識寫出 y（萬個）與x（元 /個）的函數解析式（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬個）與銷售價格x（元 / 個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？（3）該公司要求凈得利潤不能低于40 萬元，請寫出銷售價格x（元 / 個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？8解：（ 1）根據表格中數據可得出：y 與 x 是一次函數關系，設解析式為：y=ax+b，則305404abab，解得：1108ab，故函數解析式為：y=-110 x+8；（2）根據題意得出：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

54、 - 第 24 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -z=（x-20 ）y-40= （x-20 ）（ -110 x+8）-40=-110 x2+10 x-200=-110（x2-100 x ）-200=-110 （ x-50 ）2-2500-200=-110（x-50 ）2+50，故銷售價格定為50 元 / 個時凈得利潤最大，最大值是50 萬元（3）當公司要求凈得利潤為40 萬元時，即 -110（x-50 ）2+50=40，解得： x1=40，x2=60如上圖，通過觀察函數y=-110（x-50 ）2+50 的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40 萬元，則銷售價格的取值范圍

55、為： 40 x60而 y 與 x 的函數關系式為：y=-110 x+8，y 隨 x 的增大而減少，9（2013?達州）今年，6 月 12 日為端午節(jié)在端午節(jié)前夕，三位同學到某超市調研一種進價為2 元的粽子的銷售情況請根據小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題（1）小華的問題解答：；（2）小明的問題解答：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -9解：（ 1）設定價為x 元，利潤為y 元，則銷售量為：（500-30.1x10），由題意得， y=（x-2 ）（ 500-30.1x10）=-

56、100 x2+1000 x-1600 =-100 （x-5 ）2+900，當 y=800 時，-100 （x-5 ）2+900=800，解得： x=4 或 x=6，售價不能超過進價的240% ，x2240% ，即 x4.8 ，故 x=4，即小華問題的解答為：當定價為4 元時，能實現每天800 元的銷售利潤；（2）由（ 1）得 y=-100 （ x-5 ）2+900，-100 0，函數圖象開口向下，且對稱軸為x=5，x4.8 ，故當 x=4.8 時函數能取最大值，即 ymax=-100（ 4.8-5 ）2+900=896故小明的問題簡答為：800 元的銷售利潤不是最多，當定價為4.8 元是，每天

57、的銷售利潤最大故答案為：當定價為4 元時，能實現每天800 元的銷售利潤；800 元的銷售利潤不是最多，當定價為4.8元是，每天的銷售利潤最大10（2013?黃岡）某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完該公司的年產量為6千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤y1（元）與國內銷售量x（千件）的關系為：y1= 1590(02)5130(26)xxxx，若在國外銷售，平均每件產品的利潤y2（元）與國外的銷售數量t （千件）的關系為y2=100(02)5110(26)ttt。（1）用 x 的代數式表示t 為：t= ；當 0 x4 時，y2與 x 的函數關系為

58、： y2= ；當時， y2=100；（2）求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤w（千元）與國內銷售數量x（千件）的函數關系式，并指出 x 的取值范圍；（3）該公司每年國內、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？10解：（ 1）由題意，得x+t=6 ，t=6-x ；y2=100(02)5110(26)ttt，當 0 x4 時，26-x 6，即 2t 6，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 33 頁 - - - - - - - - -此時 y2與 x 的函數關系為：y2=-5 （6-x ）+110=5x

59、+80；當 4x 6時，06-x 2，即 0t 2，此時 y2=100故答案為6-x ；5x+80；4，6；（2）分三種情況：當 0 x2 時， w= （15x+90）x+（5x+80）（ 6-x ）=10 x2+40 x+480；當 2x4 時， w= （-5x+130 ）x+（5x+80）（ 6-x ） =-10 x2+80 x+480；當 4x 6 時， w= （-5x+130 ）x+100（6-x ）=-5x2+30 x+600；綜上可知， w=2221040480(02)1080480(24)530600(46)xxxxxxxxx；（3）當 0 x2 時， w=10 x2+40 x+

60、480=10（x+2）2+440，此時 x=2 時， w最大=600；當 2x4 時， w=-10 x2+80 x+480=-10 （x-4 ）2+640，此時 x=4 時， w最大=640；當 4x 6時， w=-5x2+30 x+600=-5 （x-3 ）2+645，4 x6 時， w640；x=4 時， w最大=640故該公司每年國內、國外的銷售量各為4 千件、 2 千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64 萬元11. （2013?湛江）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交y 軸于 a點，交 x 軸于 b、c兩點（點b在點 c的左側），已知a點坐標為（ 0，-5 ）（