第六講行程問題8-時(shí)鐘問題

1、第六講行程問題（8）時(shí)鐘問題【知識(shí)精要】同學(xué)們有沒有注意過墻上掛的大鐘或者手上的手表，以大鐘為例子，鐘上面有三根針: 時(shí)針分針和秒針，有的時(shí)候，這些指針會(huì)形成獨(dú)特的圖形，比如12點(diǎn)整的時(shí)候，三根針會(huì) 重合12點(diǎn)的那個(gè)地方，而6點(diǎn)整的 時(shí)候，時(shí)針和分針會(huì)成一條直線， 其中時(shí)針指6,分針指12。如果形 象地去想象，12點(diǎn)的時(shí)候，就好像 三根針在同一起跑線上開始出發(fā)， 秒針跑得最快，很快就走過了一圈 又一圈，分針慢一些，一步一步挪 著步子，而吋針就像一個(gè)年邁的老 人，老半天才能走一格，這樣的賽 跑每天每時(shí)每刻都在進(jìn)行，這一講, 我們就來探討時(shí)針分針秒針?biāo)麄冑?跑的問題，這也可以看作一類行程 問題，我

2、們就來看看其中的奧妙。既然我們把這類問題看做行程 問題，就會(huì)遇到行程問題一個(gè)一貫 的問題：路程，速度與時(shí)間之間的關(guān)系，可是既然是在時(shí)蝕上做文章，時(shí)間肯定不成問題，時(shí)針分針秒針自己的運(yùn)動(dòng)就代表 著時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，但是路程和速度如何計(jì)算呢？同學(xué)們肯定能想到，整個(gè)鐘面就像一個(gè)環(huán)形 跑道，那么時(shí)鐘問題也一定和環(huán)形跑道有著千絲萬縷的聯(lián)系，再想得深刻一點(diǎn)，我們可以 發(fā)現(xiàn)，時(shí)針分針秒針都是沿著同樣的方向，就是我們平時(shí)所說的“順時(shí)針”方向在移動(dòng)， 既然不存在相向和相背的運(yùn)動(dòng)，這類問題就只剩下追及問題了，所以時(shí)鐘問題抽象出來， 實(shí)質(zhì)就是環(huán)形跑道上的追及問題?？墒巧厦娴膯栴}還沒有解決，如何來衡量路程和 速度，不同的鐘

3、面大小不一樣，鐘樓頂層的大鐘，半 徑可能有好兒米，而我們平時(shí)手上戴的手表，半徑才 1厘米左右，這樣，我們的速度和路程也就變得非常 復(fù)雜，有沒有什么可以簡單計(jì)算的方法呢？我們知道, 生活常識(shí)告訴我們，秒針每分鐘走一圈，分針每小吋 走一圈，而時(shí)針呢，要12小時(shí)才能走一圈，如果我們 把鐘面按照刻度劃分成12個(gè)格子的話，就相當(dāng)于時(shí)針 每小時(shí)走1格，分針每小時(shí)走12格，如此等等，如果 再仔細(xì)想一想，如果我們把蝕而看作一個(gè)普通的圓， 刻度就是在圓周上的12等分，把等分點(diǎn)和圓心相連， 就得到12個(gè)30度的圓心角，而三根時(shí)針正是在“跑”這樣的圓心角，一圈的路程就是360 度，而每一格就相當(dāng)于30度，這樣形容速

4、度，所有的鐘面就都很清楚了，時(shí)針每小時(shí)走一 格就是60分鐘走30度，相當(dāng)于每分鐘0.5度，分針每小時(shí)走一圈就是60分鐘走360度， 相當(dāng)于每分鐘6度，而秒針每分蝕就能走一圈，也就是每分蝕360度，這樣他們的速度也 就能表示出來了，當(dāng)然，我們還可以用小時(shí)或者秒來作為時(shí)間的單位，之間的換算關(guān)系如下表所示:每小吋每分鐘每秒時(shí)針?biāo)俣?0度丄度21心 度 120分針?biāo)俣?60度6度1缶一度10秒針?biāo)俣?1600 度360度6度既然速度用角度作為計(jì)量，同樣的，路程也應(yīng)該用角度作為計(jì)量，這樣鐘血這樣一個(gè) “環(huán)形跑道”，它的路程就是一圈360度，而我們的題目，也往往就是用兩個(gè)針之間所成的 角度來衡量他們之間的

5、“距離”的，解決的思路和普通行程問題里的追及問題沒有兩樣， 我們將在題目屮具體講述?！纠}精選】【例1】指出下列時(shí)間里，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌龋海?）22 點(diǎn)；（2） 6 點(diǎn)；（3） 3 點(diǎn)；（4） 4 點(diǎn) 30 分；（5） 3 點(diǎn) 20 分；（6） 7 點(diǎn) 32 分?！痉治觥窟@個(gè)題目的意思很明顯，是讓我們來認(rèn)識(shí)在時(shí)鐘問題屮的“路程”，前面的【知 識(shí)精要】里已經(jīng)指出，這里的時(shí)鐘問題中的路程指的是角度，因此，解決時(shí)鐘問題，首先 要會(huì)計(jì)算不同的吋i'可，所成的角度是多少。計(jì)算指針之間的夾角往往有兩種方法，一種是 畫出指針的位置，然后直接計(jì)算，一種是從某一個(gè)時(shí)間開始計(jì)算，然后看兩個(gè)指針移動(dòng)了

6、多少度，然后就可以得出具體最后是多少度角了?！窘獯稹浚?）12點(diǎn)的時(shí)候，時(shí)針和分針重合在12點(diǎn)的刻度上，因此角度為0°。（2）6點(diǎn)的吋候，吋針指向6點(diǎn)刻度，分針指向12點(diǎn)刻度，之間相差6格，因此角度 為 180° 。（3）3點(diǎn)的時(shí)候，時(shí)針指向3點(diǎn)刻度，分針指向12點(diǎn)刻度，之間相差3格，因此角度 為 90° -（4）4點(diǎn)30的時(shí)候，分針指向6的刻度，時(shí)針指向4和5刻度的中間，之間相差一格 半，因此角度為45°。（5）3點(diǎn)10分的時(shí)候，分針指向2的刻度，時(shí)針在3的刻度后過了 10分鐘，10分鐘 時(shí)針可以走丄x10 = 5° ,因此之間相差1格加上5

7、°，為35° o2（6）7點(diǎn)32分的時(shí)候，是從7點(diǎn)30分之后過了 2分鐘，7點(diǎn)30分的時(shí)候，分針指向 6的刻度，吋針指向7和8的中間，之間相差1格半為45° ,且吋針在前（按照順吋針方 向看），過了兩分鐘，時(shí)針走了丄x2 = l° ,分針走了 12° ,因此之問的角度為245。+1。一 12。= 34?！驹u(píng)注】這個(gè)題目屬于時(shí)鐘問題的初級(jí)問題，主要是讓大家熟悉一下具體時(shí)間的角度 的計(jì)算，這個(gè)是解決這類問題的基礎(chǔ)，只有很快能計(jì)算出任何吋間所夾的角度，才能在后 面問題的解決里占盡先機(jī)，另外要提醒大家的是，解決這類問題，一定要腦子里有一個(gè)鐘 的形彖，如

8、果不好想彖的情況，就要學(xué)會(huì)畫圖來解決?！九e一反三】1，計(jì)算下列時(shí)間的時(shí)候，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌? （1）7 點(diǎn)；（2） 12 點(diǎn) 30 分；（3） 6 點(diǎn) 30 分。2, 計(jì)算下列時(shí)間的時(shí)候，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌龋海?） 7 點(diǎn) 15 分；（2） 8 點(diǎn) 10 分；（3） 5 點(diǎn) 45 分。3, 計(jì)算下列時(shí)間的時(shí)候，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌龋海?）8 點(diǎn) 22 分；（2） 9 點(diǎn) 24 分；（3） 10 點(diǎn) 13 分。【例2】時(shí)鐘在12點(diǎn)的時(shí)候，時(shí)針和分針重合在一起，下一次重合在一起的時(shí)候是什 么時(shí)間呢？【分析】12點(diǎn)的時(shí)候，時(shí)針分針重合在一起，相當(dāng)于它們從起跑線“12點(diǎn)”的位置同 時(shí)出發(fā)，分針跑

9、得比時(shí)針快，因此過一段時(shí)間之后，分針會(huì)追上時(shí)針，也就是說，這個(gè)時(shí) 候，分針超出了時(shí)針整整一圈，這個(gè)時(shí)候它們就再次重合在一起了，也就是說，我們要求 出的就是：“分針什么時(shí)候超出時(shí)針一圈”，一圈的路程就是360。,分針的速度是6。每分 鐘，時(shí)針的速度是丄。每分鐘，它們的速度差就是6-丄=5丄度，因此可以利用環(huán)形跑道2 2 2的追及問題的方法來解決?！窘獯稹糠轴樀乃俣仁敲糠昼?。，時(shí)針的速度是每分鐘丄。2它們的速度差為6- = 5-（度），2 2時(shí)針和分針再次重合，也就是分針超出了時(shí)針一圈，因此路程為360° o1 2 7205所花時(shí)間為：360-5- = 360x= = 65（分鐘）。2

10、 111111因此，再次重合的時(shí)間為1點(diǎn)5工分。11【評(píng)注】從這道題冃里，我們可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)鐘問題本質(zhì)上就是環(huán)形跑道的追及問題， 而路程用角度來衡量，速度在前面我們已經(jīng)提到，因此基本的公式就是：路程差二速度差x 時(shí)間。另外，需要提醒大家注意的是，這里的時(shí)間都是準(zhǔn)確時(shí)間，而且我們把指針的移動(dòng) 看作連續(xù)的，也就是說，這里我們理想地認(rèn)為指針不是跳著走的，而是連續(xù)平均地移動(dòng)， 所以這道題目的結(jié)果里才會(huì)出現(xiàn)5丄分這樣的時(shí)間，而在平時(shí)，我們?cè)阽娒嫔鲜强隙ㄗx不ii出這樣的時(shí)間的?！九e一-反三】1, 時(shí)鐘在12點(diǎn)的時(shí)候，時(shí)針和分針重合在一起，這次重合之后（這次不算），第二次 重合在什么時(shí)間呢？2, 5點(diǎn)以后，時(shí)

11、針和分針什么時(shí)候第一次重合在一起？3, 1點(diǎn)10分后過多久，分針和秒針會(huì)第一次重合在一起？【例3】時(shí)針和分針成90度角，那么，之后多久會(huì)第一次重合在一起？【分析】這個(gè)題目要注意的關(guān)鍵是，時(shí)針和分針成90°角，但是卻有可能有兩種位置 關(guān)系，第一種是按照順時(shí)針方向，分針在后，時(shí)針在前，就好像3點(diǎn)整的那樣，另外一種 情況是分針在前時(shí)針在后，比如9點(diǎn)鐘的時(shí)候，這兩種情況，由于分針要追時(shí)針，走的路 線不同，因此要分別進(jìn)行討論?？紤]類似3點(diǎn)鐘的情況，這個(gè)吋候分針在后面，吋針按照 順時(shí)針方向正好在它前面90° ,因此正好需要追的路程也是90° ,而9點(diǎn)鐘的情況，分針 在前面，因

12、此需要繞過大半個(gè)鐘面，之間的路程差為360° -90° =270° ,因此分兩種情況 解決。【解答】（1）當(dāng)按照順時(shí)針方向，分針在時(shí)針后面90°的時(shí)候，需要的時(shí)間是：1 21 co 490-（6）= 90x =16 （分）；2 11 11 11（2）當(dāng)按照順時(shí)針方向，分針在時(shí)針前面90°的時(shí)候，需要的時(shí)間是：1 ? 5401270 + （6 ） = 270x= - = 49（分）。2 11111141答：根據(jù)不同情況，時(shí)針和分針會(huì)在16或49分鐘之后重合。1111【評(píng)注】這個(gè)問題提醒我們注意的就是成的角度，除非180°和0°

13、 （即重合），會(huì)出 現(xiàn)順時(shí)針和逆時(shí)針兩種方向的角度，因此我們?cè)诰唧w處理問題的時(shí)候，無論是給的條件還 是最后得出的結(jié)論，都礙要謹(jǐn)慎考慮，把兩種情況辨析清楚，才能完整解決題目?！九e一反三】1，時(shí)針和分針成60度角，那么，它們?cè)谥蠖嗑脮?huì)第一次重合?2, 吋針和分針成180度角，那么它們會(huì)在多久之后第一次重合？3, 時(shí)針和分針成90度角，它們下一次成90度角是在多久以后？【例4】時(shí)針和分針重合在一起，它們多久之后會(huì)第一次成90°角？【分析】這個(gè)題目有同學(xué)就要問了，之后它們成90度角，是不是也有兩種情況，第一 鐘順時(shí)針時(shí)針在分針前面，第二種分針在時(shí)針前面呢？但是我們要注意仔細(xì)分析，這個(gè)題 f

14、i它們是從重合開始出發(fā)，也就是它們的出發(fā)點(diǎn)是一樣的，因?yàn)榉轴樑艿帽葧r(shí)針快，所以 必然是分針先把時(shí)針“拋下”90。,也就是說，要問第一次成90。角，必然是分針在前， 時(shí)針在后的90°角，而不會(huì)是另外一種情況，分析清楚了，問題也就不難解決了?！窘獯稹恳?yàn)榉轴樀乃俣缺葧r(shí)針快，因此第一次成90°的時(shí)候，必然是分針在前時(shí)針在后，所14以路程為90° ,所需要的時(shí)間就是90（6-） = 16（分）。4答：16分鐘之后，它們會(huì)第一次重合。11【評(píng)注】是不是有兩種情況，要具體問題具體分析，不能簡單地就作出判斷，其實(shí)三 個(gè)針的速度相差很大，同學(xué)們腦子里面稍微模擬一下鐘面上指針的情況

15、就能作出判斷了， 所以解決時(shí)鐘問題，很大程度上讓自己多去想象鐘而的實(shí)際情況?！九e一反三】1，時(shí)針和分針重合在一起，它們多久之后會(huì)第一次成60度角？2, 時(shí)針和分針重合在一起，它們多久之后會(huì)第二次成60度角？3, 時(shí)針和分針重合在一起，從它們第二次成60度角到再次重合需要多長時(shí)間？【例5】時(shí)針和分針成60°角，它們之后什么時(shí)候會(huì)第一次成30°角？【分析】這個(gè)問題就比較復(fù)雜了，首先是60°角就有兩種情況，然后之后成30。角又 有可能兩種情況，因此我們要一個(gè)一個(gè)情況來進(jìn)行處理，首先分析開始的60° ,有兩種情 況，笫一種情況是時(shí)針在前分針在后，這個(gè)時(shí)候，它們之

16、間的角度在減少，這樣的話，它 們要成30°角，就必然是分針在追時(shí)針的過程中，從60°減少為30° ,因此路程為30 o 而不可能出現(xiàn)它們重合z后，分針超岀時(shí)針30°的情況。第二種情況就是時(shí)針在后分針在前，這個(gè)時(shí)候，分針要追過大半個(gè)鐘面才能和時(shí)針從 300°減少為30° ,因此路程為270° ,這個(gè)吋候，也不可能出現(xiàn)分針和時(shí)針重合之后再超 出30°的情況，根據(jù)這兩種情況的分析進(jìn)行求解?！窘獯稹浚?）沿順時(shí)針方向，時(shí)針在分針前60度開始，追到只有30度的時(shí)候,路程為30° ,因此所需要的時(shí)間為（60-30）一

17、（6-*） = 5春（分）。（2）沿順時(shí)針方向，分針在吋針前60度開始，追到只有30度的吋候,路程為270° ,因此所需要的時(shí)間為（360 - 60） - 30 * （6 - *）=晉=49 + （分）。答：根據(jù)不同情況，時(shí)針和分針會(huì)在5丄或49丄分鐘之后重合。11 11【評(píng)注】這個(gè)題目開始看起來好像有四種情況，因?yàn)椴还苁?0°還是30° ,都會(huì)出現(xiàn) 順時(shí)針和逆時(shí)針的問題，但是經(jīng)過仔細(xì)的分析之后，我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上對(duì)于每-種60。的 情況，分針對(duì)時(shí)針的追趕都是唯一的，也就是說，最后的30°不是任意的，而是取決于前 面所成的60”角的情況，因此我們?cè)谌魏螘r(shí)候

18、都要切記具體問題具體分析，根據(jù)不同的情 況仔細(xì)考慮特點(diǎn)?！九e一反三】1，時(shí)針和分針成90度角，它們之后什么時(shí)候會(huì)第一次成30度角？2, 時(shí)針和分針成120度角，它們之前最近一次成60度角是多久之前？3, 時(shí)針和分針成45度角，離它們最近一次（之前或者之后）成30度角是什么時(shí)候?【例6】12點(diǎn)的時(shí)候，時(shí)針和分針重合，到下一個(gè)12點(diǎn)之間，時(shí)針和分針一共可以重 合多少次？（兩次12點(diǎn)都不算）【分析】我們來想象一下，從12點(diǎn)開始，分針不停地超過時(shí)針，每超過一次，它們就 重合一次，這道題目就相當(dāng)于詢問可以超越多少次。從【例2】我們知道，每過一個(gè)固定的 時(shí)間，時(shí)針和分針就重合一次，而從現(xiàn)在的12點(diǎn)到下一個(gè)

19、12點(diǎn)，之間正好是12個(gè)小時(shí)， 因此只要用12小時(shí)除以兩次重合之間的時(shí)間差就可以了，但是注意，這里的頭和尾的兩次 重合都不算，不知道大家是不是還記得三年級(jí)的植樹問題？這道題目也一樣，相當(dāng)于頭尾 都不植樹的問題，最后的結(jié)果要小心?！窘獯稹渴紫扔?jì)算重合的周期吋間：272077=77=65h 你。12x60-65 -!i-720x 1 *1-11 1-10 (次)。360-(6-) = 360-5-= 360x2 212個(gè)小吋可以重合的次數(shù)為:11720答：兩次12點(diǎn)之間，時(shí)針和分針可以重合10次?！驹u(píng)注】這道題目有明確的周期，就是兩次重合之間的時(shí)間，然后用總的時(shí)間間隔除 以吋間差就可以得到問題的結(jié)

20、果，除了一些小的地方需要注意，比如頭和尾的重合算不算 入總次數(shù)，當(dāng)然，如果題目變化一下，不是以重合為起始，而是以某個(gè)角度為起始，那么 同樣需要考慮順時(shí)針還是逆時(shí)針的方向問題，問題就會(huì)變得略微復(fù)雜，解決的關(guān)鍵在于， 不管順時(shí)針還是逆時(shí)針，我們都要考慮從某個(gè)狀態(tài)到達(dá)下一個(gè)同樣狀態(tài)的時(shí)候，z間有過 多少次，這才是計(jì)算我們的周期?！九e一反三】1, 時(shí)針和分針成180°角，那么在12個(gè)小時(shí)以內(nèi)，時(shí)針和分針還有成多少次180°角？2, 時(shí)針和分針成90°角，那么在12個(gè)小時(shí)以內(nèi)，時(shí)針和分針還有多少次機(jī)會(huì)成90° 角？3, 吋針和分針成60°角，那么在12個(gè)

21、小吋以內(nèi)，吋針和分針有多少次機(jī)會(huì)成30°角？【本章小結(jié)】前面講過，時(shí)鐘問題，本質(zhì)上就是鐘面上的追及問題，以角度作為路程的衡量標(biāo)準(zhǔn)， 但是在具體解決的時(shí)候，乂會(huì)和環(huán)形跑道上的追及問題有所區(qū)別，區(qū)別在于很多時(shí)候我們 需要思考兩個(gè)指針的相對(duì)位置，相對(duì)位置的不同會(huì)帶來初始狀態(tài)的不同，從而影響我們計(jì) 算的距離，這點(diǎn)在幾道例題里面都有充分說明，還希望大家能夠細(xì)心一些?！咀詼y(cè)題】：1：計(jì)算下列時(shí)間的時(shí)候，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌龋?） 6 點(diǎn)、15 分 （2） 8 點(diǎn) 43 分 （3） 1 點(diǎn) 18 分角, 角, 角, 角,那么過多長時(shí)間之后，兩針第一次成90°角？ 那么過多長時(shí)間之后，兩針

22、第一次重合在一起? 那么過30分鐘之后，兩針成多少度角呢？ 那么過6小吋之后，兩針成多少度角呢？2： 6點(diǎn)的時(shí)候，時(shí)針與分針成180°角。那么過多長時(shí)間之后，兩針重合呢? 3：時(shí)針與分針現(xiàn)在成20°4：時(shí)針與分針現(xiàn)在成40°5：時(shí)針與分針現(xiàn)在成60°6：吋針與分針現(xiàn)在成80° 7：五點(diǎn)到六點(diǎn)之間，分針落后時(shí)針40°角，求準(zhǔn)確時(shí)間。&十點(diǎn)到十點(diǎn)半之間，分針與時(shí)針成90°角，求準(zhǔn)確時(shí)間。10：11：12：13：14：時(shí)針和分針成180°角，求分針和秒針?biāo)傻慕嵌?。時(shí)針落后分針90°角，求分針和秒針?biāo)傻慕嵌?。時(shí)針領(lǐng)先分針80°角，求分針和秒針?biāo)傻慕嵌?。小亮想知道具體時(shí)間。他測(cè)得時(shí)針領(lǐng)先分針約10。角，但是由于角9：十二點(diǎn)過后，第一次分針落后時(shí)針120。角是什么時(shí)候？ 十二點(diǎn)過后，第二次時(shí)針落后分針30。角是什么時(shí)候？ 現(xiàn)在是兩點(diǎn)多鐘， 現(xiàn)在是兩點(diǎn)多鐘，