簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題導(dǎo)學(xué)稿(教師版)(2)

1、寧師中學(xué)“自主參與學(xué)習(xí)法” 數(shù)學(xué) 學(xué)科導(dǎo)學(xué)稿（教師版）編號(hào)sxxx2-3t. 4主編人：廖天生協(xié)編人：羅建平審稿人：高二備課組使用人：高二理科學(xué)生定稿日：2013-03-05一、課題：簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題（北師大版2-3）二、課型分析：新授課（復(fù)合型）三、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 善于從位置或元素入手,解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際計(jì)數(shù)問題；2. 孝握排列、組合混合應(yīng)用問題的一般處理方法：先組合厲排列：3. 處理比較復(fù)雜的排列組合問題時(shí)，要合理進(jìn)行分類、分步,務(wù)必做到層次清楚，不重不漏.四、學(xué)習(xí)過程（一）、課前準(zhǔn)備1、復(fù)習(xí)回顧分類與分步的聯(lián)系與區(qū)別，掌握分類與分步及組合與排列的關(guān)系；2、熟記排列與組合數(shù)公式及性質(zhì)；（二）、新

2、課導(dǎo)學(xué)（先閱讀理解教材p18-21頁(yè)，積累題型，探究解法）1、積累題型，歸納解法，各小組交流探討。2、分析討論下列問題及解法：-.直接法1. 特殊元素法例1用1,2,3,5,6這6個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字不排在個(gè)位和千位（2 ）數(shù)字1不在個(gè)位,數(shù)字6不在千位。分析：（1）個(gè)位和干位有5個(gè)數(shù)字可供選擇& ,其余2位有四個(gè)可供選擇,由乘法原理：al盃=2402. 特殊位置法（2 ）當(dāng)1在干位時(shí)余下三位有a=60, 1不在干位時(shí)，干位有a：種選法，個(gè)位有種，余下有,共有a； a： a；=192所以總共有192+60=252間接法當(dāng)直接法求解類別比

3、較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2 ）可用間接法- 2a； + aj =252例2有五張卡片,它的正反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè) 不同的三位數(shù)?分析:此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1 ,類別較復(fù)雜，因而可使用間接計(jì)算:任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)c； x 2 x 個(gè)，其中0在百位的有cj x 2? x盃個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)有x23 x aj-c； x22 x =432 （個(gè)）三插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例3在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，

4、臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序,有多少中插入方法？分析:原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè),故有a* x a；（）=100中插入方法。四捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。例4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法,又乘法原理滿足條件的排法有：a； xa；=576練習(xí)1.四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有種（w）2某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，

5、要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（c 4；）（注意連續(xù)參觀2天,即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來選有c；9其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排 列）五. 閣板法 名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì),這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成,每班至少一人，名額分配方案共種。分析:此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額 的分配方式，故有種練習(xí)l.（a + b+c+d）i5有多少項(xiàng)？解析：當(dāng)項(xiàng)中只有一個(gè)字母時(shí)，有種（即a.b.c.d而

6、指數(shù)只有15故c 。當(dāng)項(xiàng)中有2個(gè)字母時(shí)，有c；而指數(shù)和為15 ,即將15分配給2個(gè)字母時(shí)，如何分，閘板法f 為2 , c；即c腎當(dāng)項(xiàng)中有3個(gè)字母時(shí)c：指數(shù)15分給3個(gè)字母分三組即可當(dāng)項(xiàng)種4個(gè)字母都在時(shí)c： 四者都相加即可.練習(xí)2 有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號(hào)數(shù)，問有多少種不同的方法？（）練習(xí)3 .不定方程x1+x2+x3+.+x50j00中不同的正整數(shù)解有. （ c需）六. 平均分堆問題例6 .6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？分析：分出三堆書（ala2） ,（a3,a4） , （ a5/a6）曲ii篩不同可以有種，而這6種分

7、法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三練習(xí)1 . 6不同的本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法? （15）練習(xí)2.某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)課,分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教,每人教兩個(gè)班，則分派方法的種數(shù)有（ 90 ）七. 合并單元格解決染色問題例7 .（全國(guó)卷（文、理）如圖1 , 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇, 則不同的舂色方法共有種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5.f面分情況討論:（i）當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時(shí)，將2、4合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于4個(gè)元理 的全排列數(shù)人：12

8、345圖24（ii ）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時(shí)，與情形（i ）類似同理可得種著色法（iii）當(dāng)2、4與3、5分別同色時(shí)，將2、4 ; 3、5分別合并,這樣僅有三個(gè)單元 © 從4種顏色中選3種來著色這三個(gè)單元格，計(jì)有c： 種方法4 33由加法原理知:不同著色方法共有2 + q=48+24=72 （種）練習(xí)1.（天津卷（文）將3種作物種植在如圖2的5塊試驗(yàn)田里每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共_ 種（以數(shù)字作答）（48）2 .（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖3 ）,現(xiàn)要栽種4種顏色的花,每部分栽種一種且相

9、 鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有種（以數(shù)字作答）.（120）3 .如圖4 ,用不同的5種顏色分別為abcde五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種 要求的不同著色方法有種（ 540 ）4. 如圖5:四個(gè)區(qū)域坐定4個(gè)單位的人，有四種不同顏色的服裝,每個(gè)單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝,且相鄰兩區(qū)域的顏色不同,不相 鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是種（48 ）5 .將一四棱錐（圖6）的每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色,若只有五種顏色可供使用,則不同的染色方法共種（420 ）八. 遞推法例8. 樓梯共10級(jí)，如果規(guī)

10、定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要走上這10級(jí)樓梯，共有多少種不同的走法？分析:設(shè)上n級(jí)樓梯的走法為an種，易知ai=l,a2=2 "2時(shí)，上n級(jí)樓梯的走法可分兩類：第一類:是最后一步跨一級(jí),有種走法, 第二類是最后一步跨兩級(jí)，有an一2種走法，由加法原理知：an=an-i+ an-2,據(jù)此，a3=ai+a2=3/a4=a#+a2= 5,35=34+33=8,86= 13,37=21,38=3439=55,310=89.4 走上 10 級(jí)樓梯共有 89 種不同的方法。九幾何問題1 .四面體的一個(gè)頂點(diǎn)位a,從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)取3個(gè)點(diǎn),使它們和點(diǎn)a在同一平面上，不同的取法有種（3cl+3 =

11、 33）2.四面體的棱中點(diǎn)和頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)（1）從中任取3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，共能確定多少個(gè)平面？（c>4 c： +4-3 c： +3-6c： +6+2x6二29）以這10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),共能確定多少個(gè)凸棱錐?三棱錐有cio4-4c64-6c-3c44=141）,四棱錐有6x4x4+ 3x6=114個(gè) 故凸棱錐共有256個(gè)。十.先選后排法例9 .有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān),乙丙各需1人承擔(dān),從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),不同的選派方法有（c ）a.1260 種b.2025 種c.2520 種d.5054 種十一.用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題例10 .某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)

12、命中，按"中"與"不中"報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種.解 把問題轉(zhuǎn)化為四個(gè)相同的黑球與四個(gè)相同白球,其中只有三個(gè)黑球相鄰的排列問題.a? =20種例11.個(gè)人參加秋游帶10瓶飲料,每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法?解 把問題轉(zhuǎn)化為5個(gè)相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的10個(gè)相同的黑球之間的9個(gè)空隙種的排列問題.c； =126種例12 .從1 , 2 , 3，1000個(gè)自然數(shù)中任取10個(gè)不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法解 把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為10個(gè)相同的黑球與990個(gè)相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。c粘例13 .某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西

13、向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種.解 無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同的白球與四個(gè)相同的黑球的排列問題.二35 （種）例14 . 一個(gè)樓梯共18個(gè)臺(tái)階12步登完,可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階，一共有多少種不同的走法.解 根據(jù)題意要想12步登完只能6個(gè)一步登一個(gè)臺(tái)階,6個(gè)一步登兩個(gè)臺(tái)階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個(gè)相同的黑球與6個(gè)相同的白球的排 列問題.c=924 （種）.例15 求（a + b+c）"的展開式的項(xiàng)數(shù).解 展開使的項(xiàng)為a«bpcv,且a+p+y“0 ,因此，把問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)相同的黑球與10個(gè)相同的白球的排列問題

14、 c$ =66 （種）例16 亞、歐乒乓球?qū)官?各隊(duì)均有5名隊(duì)員，按事先排好的順序參加擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì) 員比賽,直到一方全被淘汰為止,另一方獲勝,形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種?解.設(shè)亞洲隊(duì)隊(duì)員為ai,a2，,a%歐洲隊(duì)隊(duì)員為bi, b2，b5,下標(biāo)表示事先排列的出場(chǎng)順序,若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序,比賽過程轉(zhuǎn)化 為這10個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列,所以比賽過程可表示為5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同黑球排列問題,比賽過程的總數(shù)為c加252 （種） 點(diǎn)評(píng)：等于有10個(gè)槽，毎個(gè)槽放一個(gè)球。把亞洲隊(duì)看成黑球，歐洲隊(duì)看成白球，先放黑球和白球是一樣

15、的。然后從10個(gè)槽里面選5個(gè)放黑球， 然后剩下的放白球。放的球位置代衣被淘汰的次序。比如第一個(gè)放白球，代農(nóng)歐洲隊(duì)第一個(gè)人被淘汰了，然后如果第二個(gè)是黑球，就是亞洲隊(duì) 第一個(gè)人被淘汰了。所以結(jié)果是ci05=252 十二.轉(zhuǎn)化命題法例17 圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè)？分析:因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn),則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以兩弦的四端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多 少個(gè)圓內(nèi)接四邊形,因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有c=1365 （個(gè)） 十三.概率法例18 天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課,如果數(shù)學(xué)必須排

16、在體育之前,那么該天的課程表有多少種排法？ 分析:在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為丄，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的丄,2 2即-a=360種2十四除序法例19用1 , 2 , 3,4 , 5,6,7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2,4,6次序一定，有多少個(gè)？（2 ）若偶數(shù)2,4,6次序一定，奇數(shù)1,3,5,7的次序也一定的有多少個(gè)？解 十五.錯(cuò)偽e列例20、同室四人各寫一張賀卡，先集中起來,然后每人從中拿一張別人送岀的卡片，則不同的分配方法有種(9)分析：設(shè)a、b、c、d四張賀卡分別由a、b、c、d四人所寫，由于每個(gè)人都要拿

17、別人寫的，即不能拿口己寫的，故a有 三種拿法，不妨設(shè)a拿了 b,則b可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，c和d只能有一種拿法，所以共有3x3x1 x1 =9 種分配方式。公式1) an=(n-+ ah_2) n=4時(shí)a4=3(a3+a2)=9種 即三個(gè)人有兩種錯(cuò)排，兩個(gè)人有一種錯(cuò)排.1 12)art=n.(l- + -丄+.+ (一1)冷練習(xí)1有五位客人參加宴會(huì)，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會(huì)結(jié)束后每人戴了一頂帽子回家，回家后,他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少種? (44)2.(08 建丿某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果

18、要求至少冇1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為法_：用直接法,4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩科】情況，計(jì)算各種情況下的選派方案種數(shù),由加法原理,計(jì)算可得答 案；法二：用排除法，首先計(jì)算從4男2女中選4人的選派方案種數(shù)，再計(jì)算4名都是男生的選派方案種數(shù)，由排除法，計(jì)算可得答案.解答：解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，故不同的選派方案種數(shù)為c2,-c43+c22-c42=2x4+1 x6=i4；法二：從4男2女中選4人共有c&4種選法，4名都是男生的選法冇c/種，故至少冇i名女生的選派方案種數(shù)為c64-c44=15-l=14.&)、【學(xué)習(xí)探究

19、】(小組內(nèi)進(jìn)行討論)1. 馬路上有9盞路燈，為了節(jié)約用電，可以關(guān)掉其中的三盞燈，要求滅掉的燈不能相鄰，且不在馬路的兩頭，那么，關(guān)燈的不同方法共有多少種？ (10)2. (四川)山1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是(32)、【當(dāng)堂練習(xí)】(獨(dú)立思考)1.在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是多少？2. 要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，按下列要求各冇多少種不同選法？(1)a、b、c三人必須入選.(2)a、b、c三人只有一人入選.(3)a、b、c三人至少一人入選.伍)、【課時(shí)拓展】(組內(nèi)探究，小組間相互補(bǔ)充)1.方

20、程cx = c5 (xgz)的解集為多少？ (3) 2.從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求毎個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市,且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有3. (08仝i 12)如圖，一環(huán)形花壇分成a, b ,c d四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為多少？4.把20個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子，使得每個(gè)盒中的球數(shù)不少于盒子的編號(hào),則不同的方法冇多少?分析：先把每個(gè)盒子里放入編號(hào)個(gè)球，即1號(hào)盒子放1個(gè)球，2號(hào)盒子放2個(gè)球，3號(hào)盒子放3個(gè)球。共有1種 剩下的14個(gè)球就可以隨便放了，用插空法把它們分為3組即可，共有16個(gè)空位置，所以有c(16,2)種 所以一共有：c(16,2) =120種5.從1,3,5,7中任意取2個(gè)數(shù)字，從0