線性規(guī)劃的實際應用

1、銭俊規(guī)劃的空降應用教學目的：1 能應用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題.2. 增強學生的應用意識.培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的觀點.教學重點：求得最優(yōu)解.教學難點：求最優(yōu)解是整數(shù)解*授課類型：新授課.課時安排：1課時.教具：多媒體、實物投影儀.教材分析：線性規(guī)劃的兩類重要實際問題：第一種類型是給定一定數(shù)量的人力、物力 資源，問怎樣安排運用這些資源，能使完成的任務量最大，收到的效益最大； 第二種類型是給定一項任務，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項任務的人力、物 力資源量最小* 教學過程：一、復習引入：1. 二元一次不等式ax+by+oo在平面直角朋標系中表示直線ax+bv+c=o 某一側所有點組成的平

2、面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包插邊界直線）.2. 1=1標函數(shù)，線性1=1標函數(shù)線性規(guī)劃問題，可行解，可行域，最優(yōu)解3用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基木步驟:（1）根據(jù)線性約朿條件畫出可行域（即不等式組所表示的公共區(qū)域）；（2）設片0,畫出直線（3）觀察、分析，平移直線人，從而找到最優(yōu)解川無）,兒）,3（坷）；（4）最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值.4.求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的授優(yōu)解的格式與步驟：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平而區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求日標函數(shù)的最優(yōu)解.二、講解新課：判斷可行區(qū)域的方法：由于對在直線ax+by+c=o同一側的

3、所有點（x,y）, 把它的處標（龍,刃代入ax+by+c,所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此百線 的某一側取一特殊點（兀（）,旳），從ax（）+by（）+c的正負即可判斷ax+by+c>0表示 直線哪一側的平面區(qū)域.（特殊地，當cho時，常把原點作為此特殊點），三、講解范例例1已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200力噸和300力噸，需經(jīng)過東 車站和西車站兩個車站運往外地.東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年 授多能運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為1元/噸和 1.5皿噸，乙煤礦運往東車詁和西車站的運費價格分別為0.8元/噸和1.6元/噸. 煤礦應怎樣編制調運

4、方案，能使總運費最少？解：設卬煤礦向東車站運/萬噸煤，乙煤礦向東年站運y萬噸煤，那么總 運費 z=x+l .5(200x)+0.8y+1.6(300y)(萬元).即 =780-0.5x-0.8_y.x、y應滿足：x>0y >0200-x>0< 300-y >0x + y <280200 兀 + (300 刃5 360作出上面的不等式組所表示的平面區(qū)域.設百線x+.y=280與y軸的交點為m,則m(0, 280)把直線/： o.5x+o.8)=0向上平移至經(jīng)過平而區(qū)域上的點m時，込的值最小* 點m的坐標為(0, 280),卬煤礦生產(chǎn)的煤全部運往西車站、乙煤礦向

5、東車站運280萬噸向西車站 運20萬噸時，總運費最少例2設實數(shù)八y滿足不等式組1 < jc + y < 4, y + 2> |2x - 3|.(1) 求點匕,力所在的平面區(qū)域;(2) 設4一1,在(1)所求的區(qū)域內(nèi),求函數(shù)f(x,y) = y-ax的最值.導析：必須使學生明確，求點(x,y)所在的平面區(qū)域，關鍵是確定區(qū)域的 邊界線，可從去掉絕對值符號入手.解：(1)己知的不等式組等價于1 < x + y < 4,1 < x + y < 4,v y + 2 a 2兀一3,(1)或 y + 2 a 3 2x,(2) 2x-3 > 0.2x-3 <

6、; 0.解得點(x, y)所在的平面區(qū)域為所示的陰影部分(含邊界)其中,ab : y = 2x - 5; bc :兀 + y = 4cd : y = -2x +1; da : x + y = (2 ) /(x,y) = y-cix 表示直線 l:y-ax = k在y軸上的截距，且直線/與(1)中所求區(qū)域有公共點ci > 1,當直線/過頂點。時，f(x,y) = y-tc點的坐標為(-3, 7),a /(%,y) = y-ax 的最大值為 7 + 3a 如果-lvdw2,那么當直線z過頂點a (2, -1)時,f(x,y) = y-ax小，最小值為-1-2。.如果a >2,那么當直線

7、/過頂點b (3, 1)時， f(x,y) = y-ax最小,最小值為1-3a .說明：rh于直線/的斜率為參數(shù)所以在求截距£的最值時，要注意對參 數(shù)a進行討論，方法是直線/動起來例3某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，己知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級子棉 2噸、二級子棉1噸；牛產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉1噸、二級子棉2噸，每1 噸卬種棉紗的利潤是600元，每1噸乙種棉紗的利潤是900元，工廠在生產(chǎn)這 兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300噸、二級子棉不超過250噸.甲、 乙兩種棉紗應各生產(chǎn)多少(精確到噸)，能使利潤總額最大？分析：將己知數(shù)據(jù)列成下表：品甲種棉紗 （1噸）乙種棉紗（1噸）資源限

8、額 （噸）一級了棉（噸）2130()解:設二級子棉（噸）12250兩種棉紗利潤（元）600900叫i、），噸,生產(chǎn)甲、乙 分別為x 利潤總額為z元，那么2x+y <300x + 2y < 250x>0y > 0z=600x+900v.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖）， 即可行域*作直線 /： 600x4-900）=0,即直線 7： 2x+3）=0, 把直線/向右上方平移至zi的位置時，直線經(jīng)過可 行域上的點m,且與原點距離最大，此時z=600x+900y取最大值.解方程組2"心00型“型卡x + 2y = 25033答：應生產(chǎn)甲種棉紗117噸，乙種棉紗

9、67噸，能使利潤總額達到最大. 例4要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成a、b、c三種規(guī)格，每根鋼管町同時截得三種規(guī)格的短鋼管的根數(shù)如卜農(nóng)所示:類型鋼管云a規(guī)格b規(guī)格c規(guī)格甲種鋼管214乙種鋼管231今需a、b、c三種規(guī)格的鋼管各13、16、18根, 根可得所需三種規(guī)格鋼管，且使所用鋼管根數(shù)最少*解：設需截甲種鋼管x根，乙種鋼管y根，則2x + 2y >13x + 3y > 16<4x+y>18作出可行域（如圖）：x>0y>0kl標函數(shù)為ex+y,作出一組平行直線x+y=r中（r為參數(shù)）經(jīng)過可行域內(nèi)的點 且和原點距離最近的直線，此直線經(jīng)過直線4x+）=18和直線

10、a+3）'=16的交點 a（直線方程為x+y=.于翌和些都不是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的11 11 11 11 11點（二，亠）不是最優(yōu)解.11 11經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與原點距離最近的克線是x+y二&經(jīng)過的整點是b（4,4）,它是最優(yōu)解*答：要截得所需三種規(guī)格的鋼管，且使所截兩種鋼管的根數(shù)最少方法是，截甲種鋼管、乙種鋼管各4根*四、課堂練習：圖小陰影部分的點滿足不等式組x + y < 5 2x4-y <6 x>0y >0在這些點中，使目標函數(shù)k = 6x +取得最大值的點的朋標是>參考答案：（），5） *五、小結*求線性1=1標函數(shù)在線性約束條件下的最

11、優(yōu)解的格式與步驟：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）市二冗一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解.六、課后作業(yè)：1. 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品it需耗人種礦石&、b 種礦石8t、煤5t;生產(chǎn)乙種產(chǎn)品it需耗a種礦石4t、b種礦石8t、煤10t.每it 甲種產(chǎn)品的利潤是500元，每it乙種產(chǎn)品的利潤是400元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn) 品的計劃中耍求消耗a種礦石不超過320jb種礦石不超過400（、煤不超過450（. 甲、乙兩種產(chǎn)品應各生產(chǎn)多少能使利潤總額達到最人？2. 某人需要補充維生素，現(xiàn)有甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含有

12、維生素a、c、i）、e和最新發(fā)現(xiàn)的z.甲種膠囊每粒含冇維生素a、c、d、e、z 分別是lmg、img、4mg> 4mg> 5mg；乙種膠囊每粒含有維牛素a、c、d、e、 z分別是3mg、2mg、lmg、3mg、2mg.如果此人每天攝入維生素4至多19mg, 維生素c至多13mg,維生素d至多24mg,維生素e至少12mg,那么他每天 應服用兩種膠囊各多少粒才能滿足維生素的需要量，并能得到最大量的維生索 乙3. 張明同學到某汽車運輸隊調查，得知此運輸隊有8輛載重量為6t的a型卡車與6輛載垂量為10t的b型卡車,有10名駕駛員.此車隊承包了每天至少搬 運720t瀝青的任務.已知每輛卡車

13、每天往返的次數(shù)為a型卡車16次，b型卡午 12次.每輛卡車每天往返的成本費為4型車240元，b型車378元.根據(jù)張明同 學的調查寫出實習報告，并回答每天派出a型車與b型車各多少輛運輸隊所花 的成本最低？4. 某廠生產(chǎn)人與b兩種產(chǎn)品，每公斤的產(chǎn)值分別為600元與400元.乂知每 生產(chǎn)1公斤a產(chǎn)品需要電力2千瓦、煤4噸：而生產(chǎn)1公斤b產(chǎn)品需要電力3 鰭、煤2噸.但該廠的電力供應不得超過100鱗，煤最多只有120噸.問如何安排 生產(chǎn)計劃以取得最大產(chǎn)值？5. 某鋼廠兩個煉鋼爐同時各用一種方法煉鋼.第一種煉法每爐用。小時（包括清爐 時間）；第二種煉法每爐用方小時（包插清爐時間）.假定這兩種煉法，每爐出鋼都 是k公斤，而煉1公斤鋼的平均燃料費第一法為加元，第二法為n元.若要在c 小時內(nèi)煉鋼的公斤數(shù)不少于