貝努利不等式在高考中的應用

1、貝努利不等式在高考中的應用貝努利不等式：對任意正整數心0,和任意實數xa1,有(1+兀)"ni + 處成立；如果20且為偶數，則不等式 對任意實數x成立?？梢钥吹皆趎 = 0,l,或x=0時等號成立，而對任意正整數必2和任意實數空1且x去0,有 嚴格不等式：(l + xf>l+nx下而把伯努利不等式推廣到實數幕形式：若 mso 或 m> 1,有(l + x)/w> 1 + mx ；若 0 < m< 1,有(14-x)/w< 1 + mx證明方法如下：如果m=0, 1,則結論是顯然的如果m/0, 1,作輔助函數/(x) = (l + x)w - (1

2、 + 771%),那么f (兀)=加(1 +兀)心一加，則八兀)=00 x=0;下面分情況討論：1. 0 < m< 1,則對于x > 0, f (%) < 0；對于- 1 < x < 0, f (x) > oo因此/(兀)在x = 0處取最大值0,故得(l + x)w < 1 + mx.,2. m<0或m>l,則對于x>0, /'(x)>0；對于一 l<x<0, /'(%)< 0«因此/(兀)在x = 0處取最小值0,故 得(l + x)m>l+mx標準所指的貝努利不等式是

3、：(1 +兀)"21 +處 (x>-l, n為正整數).注不等式中的條件“n為正整數”可推廣為“n為大于1的實數”，推論1設nwn+, n>l, t>0,則有嚴>l+n(t- 1),當且僅當t=l時，取等號.的證明可由怛等式廣加+ n 1 = (/ l)?/" + 2廣3/" ° + (/2 2)/ + n 1 直接推出.易見，當且僅當t=l時，取等號，因此當且僅當x=0時，取等號.在中令x+l=t,則可變?yōu)榛?，因此不等式與是等價的.因此不等式與都可以稱為貝努利不等式. 推論2設a,2>0, nen+, n>l,則an

4、 > nx'xa -(n-，當且僅當a = a時，取等號.證明由得，an=x-yi>t 1 + /?(-1) =nxl-xa-(n-)xl aa例題精講1.(2007,湖北理5)己知和q是兩個不相等的正整數，且q三2,則卩史a. 0b. 1c.q解答：由于1 + (1+對+ (1+兀)2+(1 +對3 +d.0-19一1c )+ (1+曠二1一(1 + 兀)"1 (1 + 兀)所以1 一(1 +兀二兀1 + (1 +兀)+ (1 +兀)2+(1 +兀)3+. + (1 +兀)心令兀二丄，加分別取#和g,則原式化為 n1n1 +1 + 丄+<n )'1

5、 1 + <n丿_l_ .1<n)1n1 +1+r< n丿h1+廠i n >+<n 2門"t8%)t821，t81 + 1 + + 1 d所以原式(分子、分叭的個數分別為八7個)法二：根據貝努利不等式可知當兀to時，(1 + x)m =l+mx ,故對于此題有當htoo有(1+丄)"=1+占 nn(i+丄 丫=i+znn(1+丄)-1i+£-i£所以 lim 耳=lim 3 = lim & = £“(1 + 丄)9_心8 + 纟_ nq qnnn2. (2007,湖北理21)己知 為正整數，(1)用數學歸納

6、法證明：當兀>1時，(1+兀廣$1+涇;(2)對于心6,已知(1一一-v兀+ 3丿(,求證1一m 丫"(3)求出滿足等式3" + 4" + (/7 + 2)"=+ 3)"的所有正整數n .解法1： (1)證：用數學歸納法證明：(i)當加=1時，原不等式成立；當m = 2 b't,左邊=l + 2x + ，右邊=l + 2x,因為甘上0,所以左邊上右邊，原不等式成立;(ii)假設當m = k時，不等式成立，即(1 +兀)*$1 +也，則當加二£ + 1時,vx>-1,1 +兀>0,于是在不等式(1 +兀)*上1

7、 +也兩邊同乘以1 + x得(1 +x)"(l + x)三(1 + 閔(1 +兀)=1 + 伙 + 1)尤+圧 2 1 + 伙 + 1)無，所以(1 +力曲$1 +伙+ 1)兀.即當m = k +1時，不等式也成立.綜合(i ) (ii)知，對一切正整數加，不等式都成立.( | 丫" m(2)證：當心 6, mn時，由(i )得1 + 21>0,i + 3 丿n + 3于是(3)解：由(ii)知，當時,1-兀+ 3丿/+ 1-i 71 + 3 丿” 1< +2 (2丿(12丿(2 丫-ip5 + 3丿即3"+4"+ + s + 2）"

8、; v（n + 3）".即當 & 6時，不存在滿足該等式的正整數n .故只需要討論77 = 1,2,3,4,5的情形：當77 = 1時，3工4,等式不成立；當n = 2時，32 +42 = 52,等式成立；當n = 3時，3+4'+5'=6，等式成立;當刃=4時，34 +44 +54 +64為偶數，而才為奇數，故34 +44 +54 + 64 74,等式不成立;當n = 5時，同兄=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的刃只有77 = 2,3.解法2： （1）證：當x = 0或加=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明:當 x > -1,且

9、xho 時，m2 2 , (1 + x)m > 1 + mx 不等式成立; 當m = 2時，左邊=1 + 2兀+，右邊= l + 2x,因為xh0,所以%2 0,即左邊右邊, 假設當m = k（k2）時，不等式成立，即（1 +兀）*1 +總，則當m = k 1時，因為%-1 ,所以1+兀 0 .又因為xho, k2 ,所以±f0 于是在不等式（1+兀1 +總兩邊同乘以1 + x得(1 + x)k (! + x) > (1 + 閔(1 + x) = 1 + 伙 + l)x + kx2 > 1 + 伙 +1)兀, 所以（1 +無）切1 +仗+ 1）兀.即當m = k時，

10、不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.(2)( 1 “ 1/1、1< » 1-<斤+ 3丿2斤+ 3丿,2丿mm證：當三6, m w n時，tnm 丫、加而由(1),1li斤+ 3丿21-一 >0,1-/? + 3解：假設存在正整數禺三6使等式3%+4%+ （如+ 2廣=（如+3嚴成立,即有%十 4申+3丿+十4)+ 2嚴+3,=1.又rti（2）可得f3、+< 4、+ +(r、禺+ 2g+3丿(%+3 丿（他+3丿( 、1 f%+( 1、1弘-1%+ +rl-1、%<r、5+<斤o + 3丿1勺+3丿（勺+3丿<2；丿故當n6時，不存在滿

11、足該等式的正整數斤.下同解法1.+j1-丄2 2%<1,與式矛盾.3. (2001,全國理20)已知m, n是正整數,且1 <im<n(1 )證明 nlplm<mlpln；證明:略(2)證明(1+加)>(1+嚴(2)因為 1v加vn , >1，由貝努利不等式有(l + m)w, > 1 + ./7t = l + n,所以(1+加)©(l+y72 mm/、h4.(2007,四川理 22)設函數/=1 + - (nw n,且a1,兀wn) 當x=6時，求(1 +丄|的展開式中二項式系數最大的項;(2)對任意的實數x,證明丿(2工)：/> /

12、©)(廣(兀)是/(兀)的導函數);、k)(3)是否存在aw n，使得an<y 1 + -<(a +1)/1恒成立?若存在，試證明你的結論并求出a的值;若不存在，請說明理由.(1)解：展開式中二項式系數最大的項是第4項，這項是(2)證法一：因為20心+ /(2)屮+計、22“ / + 1 + - >2 i n)2n(1+斗=2| 1+ 丄 1 +二 >2 1+-krnin>2nin1 丿i 2丿<斤丿< n)2f (%)>2、2"證法二因/(2x) + /(2) = | 1 + i、2+1 + 丄 >2i n)/ 2n1

13、+-(nj2| 1+- 1 + -nins+r故只需對和in1 +斗而 2/(x) = 2進行比較。1y 1令g(x) = x-lnx(x>l),有g(x) = l_=x x由口 = 0,得兀二1兀因為當0 vxv 1時，g (兀)<0，g(x)單調遞減；當1 vxv+oo時，g >0 , g(x)單調遞增，所以在x = l處$(尢)有極小值1 故當兀1 吋，g(x) > g(1)二 1,從而有x-lnx> 1,亦即 x> lnx + 1 > lnx故有1+丄、h丿(1 >ln 1 + -恒成立。所以/(2x) + /(2)>2/'

14、(x),原不等式成立。 兀丿(3)對me n ,且加>1有(1 +丄i e1 2q+c； - +c；k+ + c；hlm( m1 + 1 +-2!(加一1)(加一 £+1)( 1 ykm (m+ + r i、1(1 )(2)i+1 v肌丿k(m)i fnj5丿1上、< m丿1i+ 1(m-l1(m )<2 +丄+丄+丄+丄<2 +丄+丄+ +亠+ +亠 2! 3! k m 2x13x2(-1) m(m-l)= 2 + (1 一丄+i 2丿1>=3-丄 <3m>0伙=2,3,4,加)，故2v 1 + <3v2<fl + 'i

15、加丿<3,從而有2v工/1、人1+-<3n成立，即存在a(k)a = 2,使得加v21(1、人1+-i k)< 3斤恒成立。5. (2003,江蘇理)已知a >0, n為正整數。(1) 設,證明(2) 論£(x)=於,對任意必 a，證明£+,("+d > (” + 1)£'何。證明：(1)因為(x-ay =ycn (一所以=k=0k=0k=0(2)對函數 fn(x) = x,l-(x-a)n 求導數：ftx) = fu-n(x-ay 所以d(n)二嗆嚴5 0)心.當尢 >a> 0 時 j” (x) >

16、; 0.當x > aflt, fn(x) = xn -(x-a)n是關于兀的增函數.因此，當n >。時， + iy-(n +1 -a)" > nf,-(n-a)n£+i (n + 1) =(n +!)(« +1)" 一 5 +1 a)" > (n + l)(nw -(n- a)n) >(n +1)(" 一 n(n 一 a)"" ) = ( +1)/ (n)./ /即對任意nn q，九+】+1)>+1)九()法二：+ d >(" + 1)彳g)等價于 s+l)&qu

17、ot;s+l_a) >/(°)”對于 x>l,因丄 >0>1,->1由得(1 )" >14- > (1 )" >11x兀xxxx兩邊同乘以無"有，(工 +1)" > 兀"+ 刃*' 1 ,(x l)z, > xn nxn 1 所以(尢 +1)" _兀"nxn 1,nxn 1 > xn (x l)n(2)若 a 21,在屮分另 ij 取兀=斤及兀二斤 + _ g 貝 ij(n + if- nn> nnn >(h + 1- a)n- +1 a)n - (/?- a)"即得式，所以人1© + 1）>5+1）£