數(shù)學(xué)：一《平行線等分線段定理》教案(新人教A版選修4-1)

1、.平行線等分線段定理教學(xué)目標(biāo)1 掌握平行線等分線段定理及推論，認(rèn)識(shí)它的變式圖形.2 熟練掌握任意等分線段的方法.3 .培養(yǎng)化歸的思想。運(yùn)動(dòng)聯(lián)系的觀點(diǎn)及“特殊一一一般一一特殊的認(rèn)識(shí)事物的方法. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)是平行線等分線段定理及證明； 難點(diǎn)是平行線等分線段定理的證明和靈活運(yùn)用.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、從特殊到一般猜測(cè)結(jié)論1 復(fù)習(xí)提問(wèn)，學(xué)生口答.(1) 如圖 4 77,在厶 ABC中，AW MB MD BC , DE/AB.求證：AD = DC.說(shuō)明： 應(yīng)用平行四邊形和三角形全等的知識(shí)進(jìn)行證明. 題中條件DE/AB與結(jié)論沒(méi)有必然聯(lián)系， 可看成是證明時(shí)所添加的輔助線，刪去不影響結(jié)論的成立，即得到第(2

2、)題.圖 4-78(2) 如圖 4 78,在厶 ABC中, AM= MB, WD/BC 貝U AD= DC教法： 引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)該命題.假設(shè)三角形中一邊的平行直線把它的第二邊截成兩條相等線段，那么它也把第三邊邊截成兩條 相等線段. 對(duì)結(jié)論進(jìn)行引伸：假設(shè)把兩平行直線換成一組平行直線，是否還有這種性質(zhì)？二、用化歸、特殊化的方法及運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)定理1.用化歸的方法證明定理.以三條平行線與被截的兩條直線相交成梯形為例來(lái)證明定理.：如圖 4-79 (a) ,11 / 12 / I3,AB=BC .求證：A1B仁B1C1分析：由于三條平行線與被截的兩條直線相交成梯形，怎樣利用梯形中常用梯形，怎樣利用梯

3、形中常用的輔助線，將梯形分割化歸為大家熟悉的三角形和平行四邊形去解決？方法一如圖4 79 ( b),構(gòu)造根本圖形 4 78,過(guò)AI作AC的平行線交j2于D,交j3于E,利 用復(fù)習(xí)題(1 )的方法來(lái)證明.方法二如圖479 (c),構(gòu)造根本圖形 4-79 (d),過(guò)BI作EF/AC分別交j1 , j3于E, F, 利用三角形全等和平行四邊形的知識(shí)進(jìn)行證明.2 用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)掌握定理的變式圖形.(I )當(dāng)三條平行線與被截的兩直線相交不構(gòu)成梯形時(shí)，以上結(jié)論是否成立？教師制作教具， 演示AIC1 ;所在直線運(yùn)動(dòng)的各種狀態(tài)(見(jiàn)圖 480)，讓學(xué)生觀察結(jié)論，并總結(jié)：可用類(lèi)似的方 法來(lái)證明.圖4說(shuō)明：(1 )讓

4、學(xué)生認(rèn)識(shí)到被平行線組(每相鄰兩條的距離都相等的平行線組)所截的兩條直線 的相對(duì)位置不影響定理的結(jié)論.(2) 強(qiáng)調(diào)圖4 80 (C)中截得的AiB = BiC，與AC與AQ的交點(diǎn)D無(wú)關(guān)，讓學(xué)生認(rèn)清 定理的根本圖形結(jié)構(gòu).(3) 以上結(jié)論和證明方法對(duì)“一組平行線多于三條的情形同樣適用.3 用特殊化的方法研究推論.對(duì)定理的兩種特殊情況，即圖4-80 (a)、圖4-80 ( b)分解出被截的兩條直線與平行組相交構(gòu)成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推論1和推論2引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)兩種情形下的特殊結(jié)論，畫(huà)圖并寫(xiě)出數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：推論1經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底邊平行的直線必平分另一腰.在圖 4

5、-81 中，梯形 ABCD中, AD/BC, AE= EB, EF/BC ,二 DF= FC.推論2經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.EJ 481在圖 4 82 中，T ABC中，AE = EB, EF/BC ,二 AF= FC.讓學(xué)生熟記根本圖形圖 4-81、圖4-82的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及它們所包含的重要結(jié)論，是靈活運(yùn)用它們解決問(wèn)題的關(guān)鍵.三、運(yùn)用定理解決問(wèn)題1 . n等分任意一線段的作圖.例1：如圖4-83，線段AB.求作線段AB的五等分點(diǎn).分析：引導(dǎo)學(xué)生推廣圖4-82，構(gòu)造定理的根本圖形，進(jìn)行作圖和證明，強(qiáng)調(diào)平行線組要分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B.2 .分解或構(gòu)造根本圖形，應(yīng)用定理及推

6、論證明.例2 (I )如圖4-84 M , N分別為口 ABCD的邊 AB CD的中點(diǎn)，CM交BD于E , AN交BD 于 F,求證：BE = EF= FD.(2)如圖 4 85. AB丄j于B. CD丄j于C,E為AD中點(diǎn).求證： EBC是等腰三角形.圖 4-85教師指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生先分析圖中存在哪些根本圖形，然后怎樣利用它們的結(jié)論解題.例 3選用1如圖 4 86, CBL AB, DAL AB, M為 CD中點(diǎn).求證：/ MAB=Z MBA(2)如圖4-87 , E為口 ABC%角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A, B, C, D E分別向直線j引垂線，垂足 分別為A' , B' ,C&#

7、39;,D',E'.圖中能分解出幾個(gè)根本圖形圖4-81 ？ j上的線段之間有何等量關(guān)系？A1 D E* c*圖 4-87四、師生共同小結(jié)1 .平行線等分線段定理及兩個(gè)推論的內(nèi)容及證明方法.2 .怎樣n等分一條線段？3 指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方法：利用化歸思想證明問(wèn)題；利用“特殊一一般特殊的方法研究 問(wèn)題；禾U用運(yùn)動(dòng)的思維方法將問(wèn)題推廣；禾U用分解，構(gòu)造根本圖形的方法靈活運(yùn)用定理.五、作業(yè)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明本教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)需1課時(shí)完成.1 .利用復(fù)習(xí)題起到兩個(gè)作用：(1)研究定理的特殊情況，讓學(xué)生從特殊到一般接受理；(2)啟發(fā)證明思路，準(zhǔn)備定理所用的根本圖形，分散難點(diǎn).2 證明定理的過(guò)程，實(shí)際

8、上是從特殊一一三條平行線，到一般一一一組平行線，按照從 定理的標(biāo)準(zhǔn)圖形(圖 4-80 (a)到變式圖形(圖 4-80 ( b) -(e)，分別證明或說(shuō)明這樣處 理層層深入，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，邏輯性較強(qiáng).3 本節(jié)的兩個(gè)推論實(shí)際上是三角形、梯形的中位線的判定定理，有著非常廣泛的應(yīng)用.因 此課堂上要求學(xué)生不僅會(huì)用語(yǔ)言表達(dá)它們，還要求熟練掌握它們的根本圖形和數(shù)學(xué)表達(dá)式， 并通過(guò)兩個(gè)小題進(jìn)行及時(shí)穩(wěn)固.4 .定理還可用以下方式引入：(1 )禾9用坐標(biāo)黑板提出問(wèn)題(圖4-88 )組平行直線j1,j2,j3,j4分別被直線 m n所截.假設(shè)將m截得線段AB= BC= CD那么將n截得的線段A'B' , B' C' , C' D'是否相等?圖4趣(2) 得出猜測(cè)后，證明上述猜測(cè)的最簡(jiǎn)單情況，即三條平行直線