數(shù)學(xué)抽樣估計PPT課件

1、2021-11-24第七章 抽樣估計1 抽樣估計是在抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)上，利用樣本的實際資料計算樣本指標(biāo)，并據(jù)以推算總體相應(yīng)數(shù)量特征的一種統(tǒng)計分析方法。 （一）抽樣估計的概念第1頁/共101頁2021-11-242 統(tǒng)計分析的主要任務(wù)，就是要反映現(xiàn)象總體的數(shù)量特征。 但在實際工作中，我們不可能、也沒有必要每次都對總體的所有單位進行全面調(diào)查。在很多情況下，我們只需抽取總體的一部分單位作為樣本，通過分析樣本的實際資料，來估計和推斷總體的數(shù)量特征，以達(dá)到對現(xiàn)象總體的認(rèn)識。 第2頁/共101頁2021-11-243第七章 抽樣估計 1抽樣推斷是由部分推算整體的一種認(rèn)識方法； 2抽樣推斷是建立在隨機取樣的基

2、礎(chǔ)之上的； 3抽樣推斷運用的是概率估計的方法； 4抽樣推斷的誤差是可以事先計算并加以控制的。（二）抽樣推斷的特點第3頁/共101頁2021-11-244第七章 抽樣估計 （一）參數(shù)估計 雖然我們不知道總體的數(shù)量特征，但我們可以依據(jù)所獲得的樣本觀察資料，對所研究對象總體的水平、結(jié)構(gòu)、規(guī)模等數(shù)量特征進行估計，這種推斷方法稱為總體參數(shù)估計。 （二）假設(shè)檢驗 由于我們對總體的變化情況不了解，不妨先對總體的狀況作某種假設(shè)，然后根據(jù)抽樣推斷的原理，依據(jù)樣本觀察資料對所作假設(shè)進行檢驗，來判斷這種假設(shè)的真?zhèn)危詻Q定我們行動的取舍，這種推斷方法稱為總體參數(shù)的假設(shè)檢驗。第4頁/共101頁2021-11-245第七

3、章 抽樣估計 （一）總體和樣本 總體也稱全及總體或母體，是指所要認(rèn)識研究對象的全體。它是由所研究范圍內(nèi)具有某種共同性質(zhì)的全體單位所組成的集合體。總體的單位數(shù)通常較大，甚至是無限的，一般用N表示全及總體的單位數(shù)。一個全及總體的指標(biāo)數(shù)值是確定的、唯一的，所以稱為參數(shù)。 樣本又稱樣本總體或子樣，它是從全及總體中隨機抽取出來的一部分單位組成的集合體，樣本的單位數(shù)是有限的，一般用n表示樣本總體的單位數(shù)。 樣本總體的指標(biāo)數(shù)值是個隨機變量，所以稱為樣本統(tǒng)計量或樣本估計量。 第5頁/共101頁2021-11-246第七章 抽樣估計總體平均數(shù)和總體方差為：XXNXFXF22()XXXN22()XXXFF總體成數(shù)

4、及方差為： 1NPN2(1)PPP（二）總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計量第6頁/共101頁2021-11-247第七章 抽樣估計樣本統(tǒng)計量是用來估計總體參數(shù)的，因此和總體參數(shù)相對應(yīng)，有樣本平均數(shù)及方差、樣本成數(shù)及方差。樣本成數(shù)及方差為： xxnxfxf22()xxxsn22()xxxfsf1npn2(1)pspp樣本平均數(shù)和方差為：第7頁/共101頁2021-11-248第七章 抽樣估計 樣本容量是指一個樣本包含的單位數(shù)。一個樣本應(yīng)包含多少單位較合適，這是抽樣設(shè)計必須考慮的問題。樣本容量的大小不但關(guān)系到抽樣調(diào)查的效果，而且關(guān)系到抽樣方法的應(yīng)用。我們通常將單位數(shù)小于30的樣本稱為小樣本，單位數(shù)等于或大于30

5、的樣本稱為大樣本。社會經(jīng)濟統(tǒng)計的抽樣調(diào)查一般都采用大樣本調(diào)查。 樣本個數(shù)又稱樣本可能數(shù)目，是指從一個總體可能抽取的樣本個數(shù)。一個總體可以抽取多少個樣本和樣本容量以及抽樣方法有關(guān)。從一個總體中能抽取多少個樣本，則樣本統(tǒng)計量就有多少種取值，從而形成了該統(tǒng)計量的分布。研究所有可能抽取的樣本及其統(tǒng)計量的分布，是抽樣推斷的基礎(chǔ)。 （三）樣本容量和樣本個數(shù)第8頁/共101頁2021-11-249第七章 抽樣估計 重復(fù)抽樣也稱回置抽樣，它是指每次抽取一個樣本登記后再將它放回總體中參加下一次抽取。 也就是說每一個樣本單位都有被重復(fù)抽取的可能。 重復(fù)抽樣的特點是： 每次抽取樣本是在完全相同的條件下進行的， 總體

6、中每個單位中選的機會在各次都完全相等。 （四）重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣第9頁/共101頁2021-11-2410第七章 抽樣估計例如：總體有A、B、C共3個單位，要從中以重復(fù)抽樣的方法抽取2個單位構(gòu)成樣本， 則可能抽取的樣本數(shù)目為Nn = 32 = 9個,它們是： 從總體N個單位中，用重復(fù)抽樣的方法，隨機抽取一個容量為n的樣本，共可抽取Nn個樣本。 AA、AB、AC BA、BB、BC CA、CB、CC第10頁/共101頁2021-11-2411第七章 抽樣估計 不重復(fù)抽樣也稱不回置抽樣，它是指每次抽取一個樣本登記后不再放回總體中參加下一次抽取。也就是說每一個樣本單位只有一次被抽取的可能。 不重復(fù)抽

7、樣時，每個樣本的抽取不獨立的，因為每個樣本在抽取前總體單位數(shù)不一樣。 在實際操作中，大多數(shù)抽樣都是不重復(fù)抽樣。不重復(fù)抽樣的特點：第11頁/共101頁2021-11-2412第七章 抽樣估計例如：總體有3個單位A、B、C，要從中以不重復(fù)抽樣的方法抽取2個單位構(gòu)成樣本， 則全部可能抽取的樣本數(shù)目為32 = 6個，它們是： AB、AC、BA、BC、CA、CB從總體N個單位中，采用不重復(fù)抽樣的方法，隨機抽取一個容量為n的樣本，則全部可能抽取的樣本數(shù)目為： N（N1）（N2）（Nn + 1）個第12頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計13 抽樣誤差是指由于隨機抽樣的偶然因素使樣本各單位的結(jié)

8、構(gòu)不足以代表總體各單位的結(jié)構(gòu)，而引起抽樣指標(biāo)和全及指標(biāo)的絕對離差。 抽樣誤差不同于登記誤差： 登記誤差是人為差錯所引起的誤差，所有統(tǒng)計調(diào)查都可能發(fā)生。抽樣誤差不是人為失誤所引起的，而是隨機抽樣所特有的誤差。第13頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計14 抽樣誤差是一種代表性誤差。 用樣本統(tǒng)計量來代表總體參數(shù)，必然會有誤差。因此，抽樣誤差是已遵循了隨機原則，由偶然因素引起的誤差，它是抽樣推斷所固有誤差，是無法消除的，但能事先計算并加以控制。 有時抽樣過程中可能會產(chǎn)生另一種代表性誤差，即系統(tǒng)性誤差。系統(tǒng)性誤差是由于違反了隨機原則而產(chǎn)生的數(shù)據(jù)偏大或偏小的情況，因此也叫做系統(tǒng)偏差。系統(tǒng)偏

9、差不是抽樣誤差，它是人為原因產(chǎn)生的誤差，是可以采取措施避免或加以消除的。抽樣誤差的特點：第14頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計151. 總體各單位標(biāo)志值的差異程度；2. 樣本單位數(shù)；3. 抽樣方法；4. 抽樣組織方式。影響抽樣誤差大小的因素第15頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計16 抽樣平均誤差是反映抽樣誤差一般水平的指標(biāo)，它是所有可能抽取的樣本平均數(shù)或成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 由于所有樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)，所有樣本成數(shù)的平均數(shù)等于總體成數(shù)，因此，抽樣平均數(shù)或成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差反映了抽樣平均數(shù)或成數(shù)與總體平均數(shù)或成數(shù)的平均離差程度。第16頁/共101頁2021-

10、11-24第七章 抽樣估計17（一）重復(fù)抽樣條件下平均數(shù)的抽樣平均誤差定義公式為：2xnn2()xxXM由定義公式導(dǎo)出的計算公式為：第17頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計18重復(fù)抽樣平均誤差計算公式的推導(dǎo)：設(shè)總體變量為X1，X2，XN ，樣本變量為x1，x2，xn，根據(jù)平均數(shù)的定義和它的數(shù)學(xué)性質(zhì)，有： 12( )nxxxE xEn121()()()nE xE xE xn在重復(fù)抽樣條件下，由于x1，x2，xn是相互獨立的隨機變量，每一個變量在總體中都有N種選擇，中選機會相等，概率都是1/N。即： 12( )()()nE xE xE xX 121( )( )()()nE xE x

11、E xE xn11XXXnXXnn第18頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計19根據(jù)方差的定義和它的數(shù)學(xué)性質(zhì)，不重復(fù)抽樣平均誤差的計算公式可按其定義推導(dǎo)如下： 2222( )( )xxE xE xE xX212nxxxEXn21221()()()nExXxXxXn(1)2211()()()n nniijiijExXxXxXn(1)2211()()()n nniijiijE xXE xXxXn22101()niXn2221()()XnXnn第19頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計20所以平均數(shù)的抽樣平均誤差為：其中： 22211()()()NiikkE xXxXXN

12、()()ijE xXxX11()()NNikjlklxXxX110()()NNikjlklxXxX2xnnxn式中：表示平均數(shù)的抽樣平均誤差；表示總體標(biāo)準(zhǔn)差；表示樣本容量。第20頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計21重復(fù)抽樣平均誤差計算公式的特性： 從抽樣平均誤差的計算公式可以看出： 1. 抽樣平均誤差的大小和總體標(biāo)準(zhǔn)差成正比，而與樣本容量的平方根成反比變化； 2. 抽樣平均誤差比總體標(biāo)準(zhǔn)差小，僅為總體標(biāo)準(zhǔn)差的1 / /n。n第21頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計22（二）不重復(fù)抽樣平均數(shù)的抽樣平均誤差定義公式為：2()xxXM定義公式導(dǎo)出的計算公式：21xN

13、nnN當(dāng)N較大時，有:21xnnN第22頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計23不重復(fù)抽樣平均誤差計算公式的推導(dǎo)：設(shè)總體變量為X1，X2，XN ，樣本變量為x1，x2，xn，根據(jù)平均數(shù)的定義和它的數(shù)學(xué)性質(zhì)，有： 12( )nxxxE xEn121()()()nE xE xE xn在不重復(fù)抽樣條件下，由于x1，x2，xn不是相互獨立的，其中x1 是抽取的第1個變量，它可以在x1，x2，xn 中選擇，而總體中每個單位中選的概率都為1/N，因此：11( )E xXXN第23頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計24 x2 是抽取的第2個變量，它可以在N 1個總體單位中選擇，

14、而N 1個總體單位的組合可以有N種選擇，所以總體中每個單位中選的概率還是都為1/N，即：21111()NE xXXXNNN依此類推： 3121112()NNE xXXXNNNN 121111()nNNE xXXXNNNnN第24頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計25所以有： 121( )( )()()nE xE xE xE xn11XXXnXXnn按照抽樣平均誤差的定義：2222( )( )xxE xE xE xX212nxxxEXn21221()()()nExXxXxXn(1)2211()()()n nniijiijE xXE xXxXn第25頁/共101頁2021-11-2

15、4第七章 抽樣估計26由于在不重復(fù)抽樣條件下，樣本變量x不是互相獨立的，因此共有n（n 1）項的 2()iE xX()()ijE xXxX和的討論:0()()ijE xXxX22211()()()NiikkE xXxXXN(1)11()()()()()N Nijikjlk lE xXxXxXxXN N式中：k、l =1，2，N。 第26頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計27又由于: 2(1)211()()()()N NNNikikikjlkkk lxXxXxXxX(1)2210()()()()N NNikjlikk lkxXxXxXNX 2211()()()()()ijNXXE

16、 xXxXN NN所以: 可得： (1)22211()()()n nniijxiijE xXE xXxXn222221111()()()()xXXNnnXn nnNnN21xNnnN第27頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計28（三）成數(shù)的抽樣平均誤差成數(shù)的方差為：在重復(fù)抽樣條件下，成數(shù)的抽樣平均誤差為 ：或21()pPP1()pPPn在不重復(fù)抽樣條件下，成數(shù)的抽樣平均誤差為 ：11()pPPNnnN11()pPPnnN第28頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計29例7 1 假設(shè)總體有3個單位A、B、C，它們的某標(biāo)志值分別為3、5、7，樣本容量為2個單位， 試計算在

17、重復(fù)抽樣條件下和不重復(fù)抽樣條件下的抽樣平均誤差。 重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本樣本ixixxx2()xX2()xX合計合計AAABACBABBBCCACBCCABACBABCCACB3、33、53、75、35、55、77、37、57、7 3、53、75、3 5、77、37、5 345456567 4 5 4 6 5 6 4 1 0 1 0 1 0 1 412 1 0 1 1 0 1 4本例N = 3，n = 2，易知，總體變量的平均數(shù)為5，樣本平均數(shù)的平均也等于5，即：5xX重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣條件下的樣本組合及計算表第29頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計30根據(jù)抽樣平均誤差的定義

18、公式，重復(fù)抽樣時有2121.15479()xxXM根據(jù)抽樣平均誤差的計算公式，重復(fù)抽樣時有：22222(35)(55)(75)833()XXN28 31.15472/xn兩種方法計算結(jié)果是一樣的。第30頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計31不重復(fù)抽樣時根據(jù)抽樣平均誤差的定義公式，有不重復(fù)抽樣時根據(jù)抽樣平均誤差的計算公式，有：22222(35)(55)(75)833()XXN兩種方法計算結(jié)果是一樣的。240.81656()xxXM28 3320.8165231/1xNnnN第31頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計32例72 某大學(xué)調(diào)查學(xué)生某公共基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)情況，

19、現(xiàn)采用不重復(fù)抽樣的方法抽取了5%的學(xué)生組成一個200人的樣本。對樣本的統(tǒng)計結(jié)果為：平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為17分；及格率為90%。試計算平均成績和及格率的抽樣平均誤差。 本例采用樣本方差代替總體方差，現(xiàn)分別計算如下：2217115%1.17200()xxsnnN（分）10.9 10.915%2.07%200()()1()pppnnN第32頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計33 （一）無偏性 無偏性標(biāo)準(zhǔn)就是要求在總體中所有可能抽取的樣本統(tǒng)計量的平均數(shù)應(yīng)等于被估計的總體參數(shù)。 （二）一致性 一致性標(biāo)準(zhǔn)就是要求當(dāng)樣本容量充分大時，樣本統(tǒng)計量也充分靠近總體參數(shù)。 （三）有效性 有效性

20、標(biāo)準(zhǔn)就是要求作為優(yōu)良估計量的方差應(yīng)該比其他估計量的方差小。 第33頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計34 點估計又稱定值估計，它是直接以樣本統(tǒng)計量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計量。例如，用樣本平均數(shù)的實際值直接估計總體平均數(shù)，用樣本成數(shù)的實際值直接估計總體成數(shù)等。 在抽樣調(diào)查中，我們所抽取樣本的結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)應(yīng)該是一致的，樣本統(tǒng)計量的計算方法與總體參數(shù)的計算方法是相同的，只是總體參數(shù)未知，要用樣本統(tǒng)計量來估計它。無論從總體中抽取一個什么樣的樣本，用它的統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)必然會有誤差。 但只要這個統(tǒng)計量符合無偏性、一致性和有效性三個標(biāo)準(zhǔn)，我們?nèi)匀豢梢哉J(rèn)為它是優(yōu)良估計。 第34頁/共10

21、1頁2021-11-24第七章 抽樣估計35例73 某地對股民的資金帳戶余額及盈虧情況進行調(diào)查，現(xiàn)按隨機原則抽取了一個100人的樣本，對樣本的調(diào)查結(jié)果是：資金帳戶平均余額為10萬元，盈利股民比重為30%。試對該地全部股民的資金帳戶平均余額和盈利股民比重進行點估計。進行點估計就是直接用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)： （萬元） 即該地全部股民的資金帳戶平均余額為10萬元，即盈利股民比重為30 %。 點估計的優(yōu)點：在于它能提供對于總體參數(shù)一個確定的估計值。點估計的不足：是這個確定的估計值有多大的誤差是未知的。10Xx30%Pp第35頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計36 我們沿用例73的資

22、料。 假如我們不是直接用樣本統(tǒng)計量資金帳戶平均余額10萬元來估計總體參數(shù)，而是給定一個區(qū)間，采用10萬元左右這么一個幅度來估計該地全部股民的資金帳戶平均余額，就可以計算出相應(yīng)的可靠性程度。 （一）允許誤差范圍與估計區(qū)間第36頁/共101頁 2021-11-24第七章 抽樣估計37例如，我們在10萬元的左右都放寬2萬元， 即允許誤差范圍為 2萬元，從而可以形成一個估計區(qū)間812萬元，如下圖所示：X下限xX上限x 10 8 x 12 顯然，平均數(shù)的抽樣極限誤差 為： xxXx第37頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計38估計區(qū)間的上限和下限分別為： xXx上限xXx下限綜合起來，總體

23、平均數(shù)的估計區(qū)間為： xxXxx顯然，本例有 ： 8（萬元） 12（萬元） X第38頁/共101頁 2021-11-24第七章 抽樣估計39對于成數(shù)，根據(jù)例73的資料，若不是用樣本統(tǒng)計量盈利股民比重30%來直接估計該地全部股民的盈利股民比重，而是給定一個允許誤差范圍2%。如估計區(qū)間為28%32%，如下圖所示： 則成數(shù)的抽樣極限誤差可表達(dá)為： P下限pP上限ppPp估計區(qū)間為： ppppP本例有： 28%32%P 30% 28% 32% p第39頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計40引例：若總體有3個單位A、B、C，其變量值分別為3、5、7，樣本容量為2，所有樣本平均數(shù)的分布狀況

24、為：樣本平均數(shù)3 4 5 6 71 2 3 2 1x次數(shù) 概率 fff1929391929由概率的完備性原理，有：12321199999fPf（二）區(qū)間估計的基本公式樣本平均數(shù)的分布 第40頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計411. 對稱性，近似正態(tài)分布；2. 樣本平均數(shù)的分布中心就是總體平均數(shù)。所有樣本平均數(shù)的分布特點：35753X 3 1 4 25 36 27 159x xX本例有：即：第41頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計42現(xiàn)在我們引申出正態(tài)分布理論。在大樣本的條件下，樣本平均數(shù)的分布接近于正態(tài)分布: 68.27% 95.45% 99.73% x( )

25、xXix正態(tài)概率分布圖第42頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計43168.27%()F t例如：分布中心兩側(cè)各一個單位的標(biāo)準(zhǔn)差所限定的區(qū)間，對應(yīng)的概率為68.27%；分布中心兩側(cè)各二個單位的標(biāo)準(zhǔn)差所限定的區(qū)間，對應(yīng)的概率為95.45%；分布中心兩側(cè)各三個單位的標(biāo)準(zhǔn)差所限定的區(qū)間，對應(yīng)的概率為99.73%?？杀磉_(dá)為：295.45%()F t399.73%()F t式中：F（t）表示估計區(qū)間的概率；t 表示概率度。 根據(jù)正態(tài)分布理論：無論一組變量的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差大小如何，分布中心兩側(cè)以標(biāo)準(zhǔn)差為單位度量的區(qū)間與這一區(qū)間的概率是一一對應(yīng)的。第43頁/共101頁2021-11-24第七章

26、 抽樣估計44概率度又是一個確定估計區(qū)間的度量值。抽樣平均誤差 是樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，以 為單位，若給定一個區(qū)間，則可以表達(dá)為有 t 個 那么寬。xxt ppt 概率度與區(qū)間估計的基本公式概率度是測量估計可靠性程度的一個參數(shù)。概率度 t 的大小與概率的大小是一一對應(yīng)的，可通過給定的 t 值，查閱“正態(tài)分布概率表”，查得相應(yīng)的概率。由此可得總體平均數(shù)和成數(shù)區(qū)間估計的基本公式：第44頁/共101頁例如，在總體中隨機抽到了某個樣本，其平均數(shù)為 ，若它落在分布中心 右側(cè)2個 寬度的位置， 則其對應(yīng)的概率為47.725%，即：2021-11-24第七章 抽樣估計45Xix (iP xX)(ixxP x4

27、7.725%)X (iP Xx)(xP X47.725%)ixx 雖然分布中心是總體平均數(shù)，但其數(shù)值大小是未知的。因此，該樣本平均數(shù)也有可能落在分布中心左側(cè)2個 寬度的位置，則其對應(yīng)的概率也為47.725%，即：第45頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計46 (iPxX)(ixxP x)ixx X一般可表達(dá)為： (iPxX)(xP xX(xP xt( )F tX考慮到對稱性，綜合有：47.725%47.725%95.45%)xt)xxt第46頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計47（三）區(qū)間估計的方法 總體參數(shù)區(qū)間估計的三要素包括樣本統(tǒng)計量、抽樣允許誤差范圍，以及概

28、率保證程度（置信度）。 樣本統(tǒng)計量由抽取樣本獲得； 抽樣誤差范圍決定了估計的準(zhǔn)確性； 概率保證程度則決定了估計的可靠性。 在已知樣本統(tǒng)計量的情況下，抽樣估計時只能對其中的一個要素提出要求。如果要對兩個要素都要提出一定的要求，只能通過增加樣本容量來解決。1. 區(qū)間估計應(yīng)具備的三要素 第47頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計48 （1）在一定的樣本條件下，給定概率保證程度，計算抽樣極限誤差； （2）在一定的樣本條件下，給定抽樣極限誤差，計算概率保證程度； （3）給定抽樣極限誤差和概率保證程度，推算出樣本容量?？傮w參數(shù)區(qū)間估計的方法第48頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣

29、估計492. 給定概率保證程度求抽樣極限誤差 給定概率保證程度求抽樣極限誤差，就是根據(jù)區(qū)間估計的基本公式： 在已知 t、 的條件下，求 。 下面我們通過舉例來說明具體計算步驟。 t 第49頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計50例7 4 某鎮(zhèn)對居民人均月生活費支出進行抽樣調(diào)查，在全鎮(zhèn)10萬戶居民中用不重復(fù)抽樣方法隨機抽取了一個630戶的樣本，抽查資料如下表所列，試以95%（t = 1.96）的置信度對該地人均月生活費支出進行區(qū)間估計。 某地居民人均生活費支出抽查資料 人均月生活費支出 （元） 組中值（元） x戶數(shù)（戶） f x f2()xxf300以下30040040050050

30、0600600700700800800900900以上 250350450550650750850950 合計 12 55 92 117 134 106 85 29 6301 696 782.734 190 590.852 850 763.60 676 325.63 76 991.161 629 067.464 263 817.683 043 740.27 3 000 19 250 41 400 64 350 87 100 79 500 72 250 27 550 394 40018 428 079.38第50頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計51第一步，計算樣本平均數(shù)和方差：

31、 394 400626.03630 xfxf2218 428 079.3829 250.92630()sxxff（元）第二步，計算抽樣平均誤差： 229 250.926.81630 xsn第51頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計52第三步，計算抽樣極限誤差： （元）第四步，計算估計區(qū)間的限和下限： 1.96 6.8113.35xxt626.03 13.35639.38xx 上限 = 626.03 13.35612.68xx 下限 = 即在95%的概率保證程度下，估計該地居民人均月生活費支出在612.68639.38元之間。 估計精度 = 1 誤差率 1xx 13.35112.1

32、3%97.87%626.03 （元）（元）第52頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計53第一步，計算成數(shù)和方差： 第二步，計算抽樣平均誤差： 例7 5 根據(jù)例7 4的資料，試以95%（t = 1.96）的可靠性程度，對該地居民人均月生活費支出在500元以下的戶數(shù)比重進行區(qū)間估計。 112559225.24%630npn0.2524(10.2524)0.1887(1)pp0.18871.73%630(1)pppn第53頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計54第三步，計算抽樣極限誤差： 第四步，計算估計區(qū)間的限和下限： 即在95%的概率保證程度下，該地居民人均月生活費支

33、出在500元以下戶數(shù)比重的估計區(qū)間為21.85%28.63%。 1.96 1.73%3.39%ppt25.24%3.39%28.63%pp上限 = 25.24%3.39%21.85%pp下限 = 第54頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計553. 給定抽樣極限誤差求概率保證程度 給定抽樣極限誤差求概率保證程度，就是根據(jù)區(qū)間估計的基本公式： 在已知 、 的條件下，求 t，然后根據(jù)t 查表得概率保證程度。 下面我們通過舉例來說明具體計算步驟。 t 第55頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計56例7 6 根據(jù)例7 4的資料，若允許誤差范圍為16元，試對該地居民人均月生活費

34、支出進行區(qū)間估計，并通過計算概率度和查閱概率表，求出可靠性程度。626.03x6.81x第三步，計算估計區(qū)間的限和下限： 626.03 16642.03xx 上限 = 626.03 16610.03xx 下限 = （元）（元）第二步，計算抽樣平均誤差第一步，計算樣本平均數(shù)（見例7 4）（見例7 4）第56頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計57第四步，計算概率度： 162.356.81xxt即該地居民人均月生活費支出在610.03642.03元之間的可靠性程度為98.12%。 查概率表得置信度為98.12%。第57頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計58例7 7 根

35、據(jù)例7 4和例7 5的資料，若允許誤差范圍為5%，試對該地居民人均月生活費支出在500元以下的戶數(shù)比重進行區(qū)間估計，并計算和查表確定可靠性程度。第三步，計算估計區(qū)間的上限和下限： 25.24%p1.73%p25.24%5%30.24%pp上限 = 第二步，抽樣平均誤差25.24%5%20.24%pp下限 = 第一步，計算樣本成數(shù)（見例7 4）（見例7 4）第58頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計59第四步，計算概率度： 即該地居民人均月生活費支出在500元以下戶數(shù)比重的估計區(qū)間為20.24%30.24%，其概率保證程度為99.61%。查概率表得置信度為99.61%。5%2.89

36、1.73%ppt第59頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計604. 給定抽樣極限誤差和概率保證程度推算 必要的樣本容量 給定抽樣極限誤差和概率保證程度推算必要的樣本容量 ，就是根據(jù)區(qū)間估計的基本公式： 在已知 、 t 的條件下，求 的計算公式中所包含的n。t 第60頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計61在重復(fù)抽樣下，抽樣平均數(shù)區(qū)間估計的基本公式可以寫成：2xxttn 則必要的樣本容量為： 222xxtn第61頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計62在不重復(fù)抽樣下，抽樣平均數(shù)區(qū)間估計的基本公式為：則必要的樣本容量為： 21xxnttnN 22222xx

37、NtnNt 第62頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計63同理，重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣的成數(shù)樣本必要容量分別為： 22(1)pxt PPn222(1)(1)pxNt PPnNt PP 第63頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計64確定樣本必要容量的注意點 第一，如何確定方差。因為總體方差是未知的，解決的方法之一是采用總體方差的歷史數(shù)據(jù)或經(jīng)驗數(shù)據(jù)，當(dāng)有多個方差可供選擇時，應(yīng)選擇較大的方差；方法之二是用試驗性樣本的方差來替代。 第二，如何確定樣本容量。當(dāng)根據(jù)任務(wù)要求需要同時估計總體的平均數(shù)和成數(shù)時，應(yīng)分別計算估計平均數(shù)的必要樣本容量和估計成數(shù)的必要樣本容量，并選擇較大者作

38、為正式樣本容量，以確保將抽樣誤差控制在允許的范圍內(nèi)。第64頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計65例7 8 某機械加工廠對一批零件進行抽檢，零件數(shù)量為13 752個，根據(jù)歷史資料，這種零件平均長度的標(biāo)準(zhǔn)差在1220毫米之間，一等品率在92 %96 %之間。現(xiàn)用不重復(fù)抽樣的方法，要求在95 %（t = 1.96）的可靠性程度保證下，零件平均長度的誤差范圍不超過3毫米，一等品率的誤差范圍不超過4.7 %，求樣本必要容量。222222222213 752 1.9620169 13 752 31.9620 xxNtnNt (個)確定樣本必要容量舉例：估計零件平均長度的樣本必要容量計算如下

39、：標(biāo)準(zhǔn)差采用歷史資料較大者20毫米。第65頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計66因0.920.08 0.960.04，方差應(yīng)選擇前者22222213 752 1.960.920.08127()13 7520.0471.960.920.0811ppNt PPnNt PP 個最后，確定正式樣本容量時，應(yīng)選擇169個和127個中較大者169個，當(dāng)然還可以根據(jù)需要進行適當(dāng)調(diào)整。 估計零件一等品率的樣本必要容量計算如下：第66頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計67一、抽樣組織設(shè)計概述 在抽樣設(shè)計中，我們首先要保證隨機原則的實現(xiàn)。隨機取樣是抽樣推斷的前提，違反了隨機原則，抽

40、樣推斷的理論和方法也就失去了意義。從理論上說，隨機原則就是要保證總體每一個單位都有同等的中選機會，或樣本的抽選概率是已知的。 （一）抽樣隨機原則第67頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計68 第一，合適的抽樣框。抽樣框必須具備可實施的條件，一個合適的抽樣框必須能覆蓋總體所有的單位，還要考慮抽樣單位與總體單位的對應(yīng)問題。 第二，取樣的實施問題。在總體單位數(shù)很大甚至無限大的情況下，要保證總體中每一個單位都有均等的中選機會絕非易事。在抽樣設(shè)計時，要考慮將總體各單位加以分類、排隊，以盡量保證隨機原則的實現(xiàn)。 保證隨機原則的實現(xiàn)的注意點第68頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估

41、計69 樣本容量的大小和結(jié)構(gòu)直接反映樣本的代表性好壞。 樣本的容量的大小：取決于對抽樣推斷準(zhǔn)確性、可靠性的要求。在抽樣設(shè)計時，應(yīng)重視研究現(xiàn)象的差異，允許誤差范圍的要求與樣本容量的關(guān)系，作出適當(dāng)?shù)倪x擇。 樣本容量的結(jié)構(gòu)： 例如，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)要抽取100畝播種面積，可以先抽5個村，每個村再抽20畝，也可以先抽10個村，每個村再抽10畝等。樣本容量的結(jié)構(gòu)不同，所產(chǎn)生的效果也不同。抽樣設(shè)計應(yīng)考慮通過改善和調(diào)整樣本結(jié)構(gòu)來提高抽樣效果。（二）樣本容量的結(jié)構(gòu)第69頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計70 抽樣組織方式包括：簡單隨機抽樣、等距抽樣、類型抽樣和整群抽樣等。 不同的抽樣組織方式會產(chǎn)生不同的

42、抽樣效果。 同一種抽樣組織方式，由于采用的分類標(biāo)志不同，也會產(chǎn)生不同的效果。（三）抽樣組織方式第70頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計71 二、常用的抽樣組織方式 簡單隨機抽樣是按隨機原則直接從總體N個單位中抽取n個單位作為樣本。不論是重復(fù)抽樣還是不重復(fù)抽樣，都要保證每個單位在抽選中都有相等的中選機會。 由于這種抽樣組織方式除了設(shè)計好抽樣框外，不需要其他信息，所以也被稱為單純隨機抽樣。（一）簡單隨機抽樣第71頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計72 簡單隨機抽樣是最基本也是最簡單的抽樣組織方式，它適合于分布較為均勻的總體。在抽樣之前，我們應(yīng)對總體各單位加以編號，然

43、后用抽簽的方法或根據(jù)隨機數(shù)字表來抽取必要的樣本單位數(shù)。 簡單隨機抽樣最能體現(xiàn)抽樣的隨機原則，所以抽樣平均誤差的計算方法是以它為基礎(chǔ)的，各種抽樣組織方式抽樣誤差的比較也是以它為基礎(chǔ)的。簡單隨機抽樣的特點：第72頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計73 等距抽樣也稱機械抽樣或系統(tǒng)抽樣，它是先根據(jù)某一標(biāo)志對總體各單位進行排隊，然后按一定順序和間隔來抽取樣本單位的一種抽樣組織方式。 由于這種抽樣是在總體各單位排序的基礎(chǔ)上，再按一定規(guī)則和一定間隔抽取樣本，這樣可以保證所取得的樣本單位比較均勻地分布在總體的各個部分，所以有較高的代表性。 （二）等距抽樣等距抽樣一般都是不重復(fù)抽樣。第73頁/共

44、101頁2021-11-24第七章 抽樣估計74 排序標(biāo)志可以是無關(guān)標(biāo)志，也可以是有關(guān)標(biāo)志。 所謂無關(guān)標(biāo)志，是指和單位標(biāo)志值的大小無關(guān)或不起主要作用的標(biāo)志。 所謂有關(guān)標(biāo)志，就是作為排序的標(biāo)志與單位標(biāo)志值的大小有密切的關(guān)系。等距抽樣的操作程序：首先要將總體單位排序：第74頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計75 按有關(guān)標(biāo)志排隊，將總體加以n等分之后，在每一間隔抽取一個樣本單位的方法有兩種： （1）半距中點取樣。即抽取每一間隔內(nèi)處于中間位置的單位作為樣本單位。 （2）對稱等距抽樣。即將總體按有關(guān)標(biāo)志排序后，在第一個間隔內(nèi)隨機抽取第1個樣本單位，假如第1個樣本單位在第一個間隔內(nèi)是處在第

45、k個位置，則在第二個間隔內(nèi)抽取倒數(shù)第k個單位作為樣本單位，在第三個間隔內(nèi)再抽取正數(shù)第k個單位作為樣本單位，以此類推，共抽取n個單位構(gòu)成樣本。對稱等距抽樣能從總體上把握樣本的代表性。按有關(guān)標(biāo)志排序的抽樣方法第75頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計76 總體按無關(guān)標(biāo)志排序后，若要抽取n個單位作為樣本，則可將總體等距劃分成n個間隔，在第一個間隔內(nèi)根據(jù)隨機原則抽取第一個樣本單位，然后以第一個樣本單位算起，等距地在每個間隔中抽取一個單位，共可抽取n個單位構(gòu)成樣本。 這種方法的隨機原則主要體現(xiàn)在第一個樣本單位的抽選上，當(dāng)?shù)谝粋€單位隨機確定后，其余各個單位的位置也就確定了。 按無關(guān)標(biāo)志排序的

46、等距抽樣類似于簡單隨機抽樣。按無關(guān)標(biāo)志排序的抽樣方法第76頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計77例7 9 某廠對流水線上生產(chǎn)的某產(chǎn)品進行質(zhì)量抽檢，每隔半小時抽取1個產(chǎn)品，共抽取了300個產(chǎn)品構(gòu)成一個樣本。測得樣本產(chǎn)品的一等品率為93 %，試以95%（t = 1.96）的可靠性程度對該流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品一等品率進行區(qū)間估計。 這是按時間排序的等距抽樣。流水線上生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)可視為無窮大，因此1 n/N可忽略不計。93%p0.93(10.93)1.47%300(1)pppn現(xiàn)計算如下：第77頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計781.96 1.47%2.88%ppt93%

47、2.88%95.88%pp 上限 = 93%2.88%90.12%pp 下限 = 即在95%的概率保證下，該流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品一等品率在90.12%95.88%之間。 抽樣極限誤差及上限、下限計算如下：第78頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計79 類型抽樣又稱分層抽樣，它是將總體各單位按主要標(biāo)志進行分組，然后再從各組中按隨機原則抽取一定比例的單位構(gòu)成樣本。 類型抽樣的特點：是把分類法和隨機原則結(jié)合起來。由于它是按一定比例在每一組中抽樣，所以不存在組間誤差。（三）類型抽樣第79頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計80 由于類型抽樣只存在組內(nèi)誤差，不存在組間誤差，我們在

48、分組時應(yīng)盡量將變異較小的同類單位歸入一組，通過擴大組間差異來達(dá)到縮小組內(nèi)差異的目的。 類型抽樣分組時，為了劃分各種類型，各組單位數(shù)可多可少，但各組的抽樣比例最好保持相同，以避免各組抽樣比例不同而引起的誤差。 類型抽樣的抽樣誤差一般小于簡單隨機抽樣的誤差。類型抽樣操作上的注意點：第80頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計81xfxf22s fsf2xsn21xsnnN不重復(fù)抽樣時抽樣平均誤差為： 類型抽樣的抽樣平均誤差的計算：樣本平均數(shù)和組內(nèi)方差的平均數(shù)一般應(yīng)加權(quán)平均：重復(fù)抽樣時抽樣平均誤差為： 第81頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計82例7 10 某企業(yè)有三個車

49、間生產(chǎn)某產(chǎn)品，現(xiàn)分別從三個車間各抽取5%的產(chǎn)量進行檢驗，得檢驗結(jié)果如表7 4所示，試以90%（t = 1. 64）的可靠性程度，對該產(chǎn)品的平均每包重量和平均優(yōu)質(zhì)品率進行區(qū)間估計。 某企業(yè)三個車間產(chǎn)品樣本資料 甲乙丙 合計 車間 樣本單位數(shù) （包） 平均重量 （千克） 標(biāo)準(zhǔn)差 （千克） 優(yōu)質(zhì)品率 （%） 21341570 61.059.460.21.10.81.087.985.691.4產(chǎn)品平均每包重量的區(qū)間估計可計算分析如下： 70nf（包） 本例 第82頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計83222221.1210.8341150.8970s fsf20.8915%0.1170

50、1xsnnN（千克） 61 2159.4 3460.2 1560.0570 xfxf（千克） 第83頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計84即在90%的可靠性程度保證下，該產(chǎn)品的平均每包重量為59.8760.23千克。（千克） 60.050.1860.23xx上限 下限 60.050.1859.87xx（千克） 根據(jù)計算結(jié)果，可對三個車間生產(chǎn)的所有產(chǎn)品作出估計：1.640.110.18xxt（千克） 第84頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計85產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品率的區(qū)間估計計算分析如下：87.92185.6 3491.4 1587.53%70pfpf22(1)s fpp

51、fsff0.8790.121 210.8560.144340.9140.086 15700.1086第85頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計8620.108615%3.84%701psnnN1.64 3.84%6.3%ppt87.53%6.3%93.83%pp87.53%6.3%81.23%pp上限 下限 即在90%的可靠性程度保證下，該產(chǎn)品的平均優(yōu)質(zhì)品率在81.23 %93.83 %之間。 第86頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計87 整群抽樣也稱整組抽樣，它是將總體各單位劃分成若干群，然后從中隨機抽取部分群，對選中群的所有單位進行全面調(diào)查的抽樣組織方式。 整

52、群抽樣是對中選的群進行全面調(diào)查，如果想象各群濃縮成一個單位，那么整群抽樣實質(zhì)上是以各群代替各單位之后的簡單隨機抽樣。（四）整群抽樣第87頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計88 整群抽樣只存在群間方差，不存在群內(nèi)方差。 整群抽樣在分組時應(yīng)盡量擴大群內(nèi)的差異程度，以達(dá)到縮小群間方差的目的。 整群抽樣的好處：組織工作方便，確定一群便可以調(diào)查許多單位。 整群抽樣的缺點：由于抽樣單位比較集中，限制了樣本在總體分配的均勻性，所以抽樣誤差較大。通常采用增加一些群數(shù)的辦法，以減少抽樣誤差，提高估計的準(zhǔn)確性。 整群抽樣的特點：第88頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計89假設(shè)樣本各

53、群單位數(shù)相同。將總體單位數(shù)N劃分成R群，每群包括M個單位。再從R群中抽取r群構(gòu)成一個樣本，則可計算如下：xxMxxr由于n = M r ，r比n小得多，所以在計算樣本的群間方差時要減少一個自由度，即:22()1xxr整群抽樣的計算公式：第89頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計90整群抽樣為不重復(fù)抽樣。在計算抽樣平均誤差時，必須用總體群數(shù)R來替代總體單位數(shù)N，用樣本群數(shù)r來替代樣本單位數(shù)n。21xRrrR計算公式為：抽樣平均誤差的計算說明如下：第90頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計91總體成數(shù)估計時相關(guān)計算公式為： 成數(shù)的抽樣平均誤差為 :ppr22()1ppr21pRrrR第91頁/共101頁2021-11-24第七章 抽樣估計92例7 11 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)從全鄉(xiāng)32個自然村中抽出9個自然村，調(diào)查各村人均純收入，相