數(shù)學建模與數(shù)學建模競賽示例PPT課件

1、 數(shù)學建模示例數(shù)學建模示例 示例之二：七橋問題示例之二：七橋問題示例之四：椅子問題示例之四：椅子問題示例之一示例之一: : 從包湯圓（餃子）說起從包湯圓（餃子）說起示例之三：雨中行走問題示例之三：雨中行走問題第1頁/共21頁通常通常,1,1公斤面公斤面,1,1公斤餡公斤餡, ,包包100100個湯圓（餃子）個湯圓（餃子） 今天，今天，1 1公斤面不變，餡比公斤面不變，餡比 1 1公斤多了，問應多公斤多了，問應多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問問題題* *圓面積為圓面積為S S的一個皮，包成體積為的一個皮，包成體積為V V的湯圓的湯圓; ;

2、* *若分成若分成n n個皮，每個圓面積為個皮，每個圓面積為s s，包成體積為包成體積為v vV和 nv 哪個大?示例之一示例之一: : 從包湯圓（餃子）說起從包湯圓（餃子）說起SsssVvvv(共n個)( (定性分析定性分析) )V比 nv大多少?( (定量分析定量分析) )第2頁/共21頁假設假設1. 皮的厚度一樣2. 湯圓(餃子) 的形狀一樣 模型模型應用應用若若100100個湯圓（餃子）包個湯圓（餃子）包1 1公斤餡公斤餡, ,則則5050個湯圓個湯圓( (餃子餃子) ) 可以包可以包 公斤餡公斤餡R 大皮 半徑21RkS 3221,rkvrksnvnvnV)()2(2/3kSV )

3、3(2/3ksv vnV2/3V是 nv是 倍n1.41.432RkV r 小皮半徑) 1 (nsS 兩個 k1（和k2）一樣(1),(2),(3)第3頁/共21頁示例之二示例之二: :七橋問題七橋問題問題問題 1818世紀的德國有個哥尼斯堡城，在流貫全城的普雷爾河兩岸和河中兩個世紀的德國有個哥尼斯堡城，在流貫全城的普雷爾河兩岸和河中兩個島之間架設了七座橋，把河的兩岸和兩島連接起來。當時流行著一個難題：島之間架設了七座橋，把河的兩岸和兩島連接起來。當時流行著一個難題：能否有這樣一種走法，它通過每座橋一次且僅一次。能否有這樣一種走法，它通過每座橋一次且僅一次。 第4頁/共21頁第5頁/共21頁一

4、個圖中存在一筆畫的充要條件是必須同一個圖中存在一筆畫的充要條件是必須同時滿足：時滿足：(1)(1)從圖中任意一點出發(fā)，通過某些邊一從圖中任意一點出發(fā)，通過某些邊一定能到其它任意一點，即線圖是連通的。定能到其它任意一點，即線圖是連通的。(2)(2)與圖中每一頂點與圖中每一頂點( (可能有兩點例外可能有兩點例外) )相相連的邊必須是偶數(shù)條。連的邊必須是偶數(shù)條。 從線圖可知不存在一筆圖從線圖可知不存在一筆圖, ,因而因而七橋問題無解七橋問題無解歐拉指出歐拉指出第6頁/共21頁第7頁/共21頁示例之三：雨中行走問題示例之三：雨中行走問題1. 1.問題問題 人們外出行走，途中遇雨，未帶雨人們外出行走，途

5、中遇雨，未帶雨傘勢必淋雨。自然就會想到，走多快才傘勢必淋雨。自然就會想到，走多快才會少淋雨呢會少淋雨呢? ?第8頁/共21頁 2 2、假設、符合說明、假設、符合說明 嚴格說該問題比較復雜，我們這里只討論簡單嚴格說該問題比較復雜，我們這里只討論簡單情形，只考慮人在雨中沿一直線從一處向另一處行情形，只考慮人在雨中沿一直線從一處向另一處行進時，雨的速度已知，問行人走的速度多大才能使進時，雨的速度已知，問行人走的速度多大才能使淋雨量最少淋雨量最少? ? 為了使問題解決時簡單，適當選擇坐標系，用為了使問題解決時簡單，適當選擇坐標系，用 表示人的速度，表示人的速度， 表示雨速，表示雨速， 表示行表示行走的

6、距離，則行走的時間為走的距離，則行走的時間為 。由于人體外表形狀。由于人體外表形狀比較復雜，我們假設人體為長方體，其前、側、頂?shù)谋容^復雜，我們假設人體為長方體，其前、側、頂?shù)拿娣e之比為面積之比為1： ：0 , 0 , uzyxvvv,lulLT第9頁/共21頁3 3、建立模型、建立模型由上面的假設可知單位時間淋雨量為由上面的假設可知單位時間淋雨量為總淋雨量為總淋雨量為其中其中 。因此，雨中行走問題可抽象成如下的數(shù)學問題：因此，雨中行走問題可抽象成如下的數(shù)學問題：已知已知 ，求，求 為何值時為何值時 最小最小? ?TvLvvuTLvvvuzyxzyx, 10,0, avuuluRx 0TvLva

7、zyavlx,u uR第10頁/共21頁4 4、求解、討論、求解、討論下面分幾種情況討論：下面分幾種情況討論：（1 1） 時時0 xv xxxxxxvuluvalavuulvuluavlauvuluR第11頁/共21頁當當 時，如下圖。時，如下圖。avx當當 時，如下圖時，如下圖avx易知，僅當易知，僅當 時，時， 才使才使 取最小值，取最小值，avxxvu )(uRxvlaRmin第12頁/共21頁(2) 時時0 xv luvalavuuluRxx0 avxxvu 結論結論：僅當僅當 時，應取時，應取 可以使前后不淋雨，可以使前后不淋雨，則總淋雨量最小，其它情況下都應使盡可能地大。則總淋雨量

8、最小，其它情況下都應使盡可能地大。由圖形可知，不論由圖形可知，不論 為何值都無最小為何值都無最小值。同樣，我們還值。同樣，我們還可以對可以對 和和 時的情形進行討論時的情形進行討論。xv0 xvavx第13頁/共21頁示例之四：椅子問示例之四：椅子問題題問題：問題：問題源于日常生活中，把四只腳椅子放在不問題源于日常生活中，把四只腳椅子放在不平面地，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，但只需稍平面地，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，但只需稍挪動幾下，就可以使四腳同時著地，放穩(wěn)?，F(xiàn)在的挪動幾下，就可以使四腳同時著地，放穩(wěn)?，F(xiàn)在的問題是要證實這種現(xiàn)象。問題是要證實這種現(xiàn)象。（1 1）模型準備）模型準備 問題已經

9、很清楚問題已經很清楚, ,不需要作其他的準備不需要作其他的準備. . 下面我們用數(shù)學工具來證實，為此，需要對下面我們用數(shù)學工具來證實，為此，需要對椅子和地面作一些必要的假設。椅子和地面作一些必要的假設。第14頁/共21頁（2 2）模型假設）模型假設 (1)(1)對椅子：對椅子：假設椅子四只腳一樣長，椅腳與地面接假設椅子四只腳一樣長，椅腳與地面接觸處視為一個點，四腳的連線呈正方形。觸處視為一個點，四腳的連線呈正方形。(2)(2)對地面：對地面：地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷，即地面為連續(xù)曲面。不會出現(xiàn)間斷，即地面為連續(xù)曲面。(3)(3)對椅子與地

10、面相對關系：對椅子與地面相對關系：對于椅子腳的間距和椅對于椅子腳的間距和椅腳的長度而言，地面是相對平坦的，因而能使椅子在腳的長度而言，地面是相對平坦的，因而能使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。任何位置至少有三只腳同時著地。第15頁/共21頁（3 3）模型建立）模型建立中心問題是用數(shù)學語言把椅子四腳同時著地的條件和中心問題是用數(shù)學語言把椅子四腳同時著地的條件和 結論表示出來。結論表示出來。ABCDOxyDBCA引入變量引入變量 表示位置表示位置引入函數(shù)表示椅子腳到引入函數(shù)表示椅子腳到地面的距離地面的距離 A、C B、 D f g第16頁/共21頁 0f 0g gf,由假設由假設2 2可知，可知， 為的連續(xù)函數(shù)為的連續(xù)函數(shù)由假設由假設3 3可知，對任一可知，對任一 ， 和至少有一個為零和至少有一個為零 gf, 0,gf數(shù)學模型就是這樣一個數(shù)學命題數(shù)學模型就是這樣一個數(shù)學命題: :在上述條件下在上述條件下, ,要證：要證： 0000gf第17頁/共21頁不妨設：時，不妨設：時， ， 0f 0g（4 4）模型求解）模型求解模型求解：即要證明上述命題模型求解：即要證明上述命題 gfh令令 是連續(xù)是連續(xù) 00 h且且將椅子旋轉將椅子旋轉 ，則對角線，則對角線ACA