2022年線性規(guī)劃與基本不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1在已知五個點 a1,1，b1,1，c 1， 1，d 1， 1，o0,0 中，位于直線x 2y 1 0 上方 不含邊界 的點的個數(shù)是2. 如正數(shù) a， b 滿意 ab ab 3，就 ab 的取值范疇是3. 已知 x，y r，且滿意x y3 1，就 xy 的最大值為44已知 x3y 2 0，就 3x 27y 1 的最小值為25已知 x5，就 fxx24x 52x 4的最小值為6 y x 1x 0的值域為7函數(shù) 3x2 2 6的最小值是xx 18. 已知 x>1， y>1，且 lg xlg y4，那么 lgx·lgy 的最大值是 x9. 如對任意 x 0， 2

2、 a 恒成立，就 a 的取值范疇是x 3x110. 設(shè) a>0，b>0，且 ab a b 1 0，就 a b 的取值范疇為1411. 已知兩個正變量x, y滿意 xy4 ，就使不等式m 恒成立的實數(shù) m 的取值范疇是.xya12. 設(shè) a0， b 0，如3是 3a 和 3b 的等比中項，就 11的最小值為 b13. 已知23x 2x 0，y 0，就 x·y 的最小值是 14已知 0 x，就函數(shù) y sinx2 的最小值為ysinx_15. 如點 1,3和 4， 2在直線 2x y m 0 的兩側(cè)，就 m 的取值范疇是16. 不等式組x 0x 3y 43x y 4所表示的平

3、面區(qū)域的面積等于 17. 已知點 p x，y的坐標(biāo)滿意條件于x y 4， y x， x 1點 o 為坐標(biāo)原點，那么 |po|的最小值等于，最大值等18. 假如 x、y 滿意不等式組1|x | 2，y 3， x y 5，那么目標(biāo)函數(shù) z x y 的最小值是19. 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和為 sn ， an 與 sn 滿意 an+sn =2（n n* ）；求數(shù)列 an 的通項公式；20. 畫出不等式組2x y 10， x 2y 10， x y 1表示的平面區(qū)域1221. 已知 a， b 為正實數(shù)，且a b 1，求a b的最小值22. 在數(shù)列an中, 已知 an1, a11, 且 an 1an2

4、, nan 1an1n. 記 bnan1 2 , n2n.求證：數(shù)列bn 是等差數(shù)列；23. 為了愛護(hù)環(huán)境，造福人類，某縣環(huán)保部門擬建一座底面積為200 m2 的長方體二級凈水處理池如下圖 ，池深度肯定，池的外壁建造單價為每平方米400 元，中間一條隔墻建造單價為每平方米100 元，池底建造單價為每平方米 60 元(1) 一般情形下，凈水處理池的長設(shè)計為多少米時，可使總造價最低？(2) 如受地勢限制，凈水處理池的長、寬都不能超過14.5 m，那么此時凈水池的設(shè)計為多少米時，可使總造價最低？124. 1 求函數(shù) y x 2xx<0 的最大值；12求函數(shù) y x3 xx>3 的最小值；

5、 3求函數(shù) y xa 2xx>0， a 為大于 2x 的常數(shù) 的最大值25. 在 abc 中, 角 a , b , c 所對的邊長分別為 a , b , c , 向量 m 2sin b,2 cosb ,n3 cosb,cosb , 且 m n1 .1求角 b ;2如 a , b , c 成等差數(shù)列 , 且 b2 , 求 abc 的面積 .26. 在 abc 中,a, b, c 分別是角a, b, c 的對邊 , 且 sina cosccos a sin c3 ,2如 b7,abc 的面積s abc3 3 , 求 ac 的值 .41在已知五個點 a1,1，b1,1，c 1， 1，d 1，

6、1，o0,0 中，位于直線x 2y 1 0 上方 不含邊界 的點的個數(shù)是解析： 位于直線 x 2y 1 0 上方的點坐標(biāo)滿意不等式x2y 1 0，將上述五個點的坐標(biāo)分別代入式子x 2y 1 中知，點 b 坐標(biāo)滿意不等式x2y 1 0.答案： 12. 如正數(shù) a， b 滿意 ab ab 3，就 ab 的取值范疇是 解析： a 0， b 0， a b 3 2ab 3， ab 2ab 3， ab 3ab 1 0. ab3， ab9.答案： 9 ， 3. 已知 x，y r，且滿意x y3 1，就 xy 的最大值為解析： x0， y 0 且 14xy2xy， xy 3.xy3 3412當(dāng)且僅當(dāng)答案： 3

7、 即 x 34， y 2 時取等號24已知 x3y 2 0，就 3x 27y 1 的最小值為 解析： x 3y 2 0， x3y 2， 3x27y 1 3x33y 1 23x 33y 1 23x3 y 1· 232 1 7，1當(dāng)且僅當(dāng) x 1，y 3時等號成立答案： 725. 已知 x5，就 fx2x24x 52x 4的最小值為2x解析： fx 4x 5x 212x42 x 211x 2 2x2 1·2x 2 · 1 1，2x 2215當(dāng)且僅當(dāng) x 2x答案： 11且 x ，即 x 3 時取得最小值1. 26. y x xx 0的值域為解析： 當(dāng) x>0 時

8、，由基本不等式，得y x112x 2，當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時，等號成立x ·x11當(dāng) x<0 時， y x x x x ， x>0， x1 x 2，當(dāng)且僅當(dāng) x 1 ，x即 x 1 時，等號成立 y x12. x 1綜上，函數(shù) y x x的值域為 ， 2 2 ， 答案： ， 2 2 ， 7函數(shù) 3x2 2 6的最小值是x 1解析： 3x2 6 3x2 1 63 62 3.當(dāng)且僅當(dāng) 3x2 1 6時取 “ ”x2 1答案： 62 3x2 1x2 18. 已知 x>1， y>1，且 lg xlg y4，那么 lgx·lgy 的最大值是 x9. 如對任意 x

9、 0， 2 a 恒成立，就 a 的取值范疇是x 3x1解析： ax1x2 3x11對任意 x0 恒成立，設(shè) ux1 x3， 只需 a1恒成立刻可 x 0，ux x3 u 5當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時取等號 由 u 5 知 0 1u11a 1.， 55答案：，510. 設(shè) a>0，b>0，且 ab a b 1 0，就 a b 的取值范疇為 解析： ab a b 1 0， a b 1 ab a b 22 .t2令 ab t，就 t 1 4，2即 t 4t 4 0，解得 t 2 22，或 t 2 22， 又 t a b>0，故 t 22 1答案： 222， 11. 已 知 兩 個 正 變

10、 量x, y 滿 足 xy4 ， 就 使 不 等 式 1x4m 恒 成 立 的 實 數(shù) m 的 取 值 范 圍 是ym9.4a12. 設(shè) a0， b 0，如3是 3a 和 3b 的等比中項，就 11的最小值為 b·解析： 由于 3a 3b 3，所以 a b 1，1111bab aba1a b ab a b 2 a 答案： 4 2 2 ba·b 4，當(dāng)且僅當(dāng)a b即 a b 2時“ ” 成立13. 已知23 2x 0，y0，就 x·y 的最小值是 xy解析： 2 2326 ，yxxy6 161， xy 6，xy， xy23當(dāng)且僅當(dāng) x y即 x 2， y 3 時取等

11、號答案： 6214. 已知 0 x ，就函數(shù) y sinx sinx的最小值為t解析： 令 t sinx，就 t 0,1 ，函數(shù) y t 2，用函數(shù)的單調(diào)性定義不難證明此函數(shù)在0,1 上是減函數(shù)所以當(dāng) t1 時， yt答案： 32 t有最小值 3.15. 如點 1,3和 4， 2在直線 2x y m 0 的兩側(cè)，就 m 的取值范疇是 答案： 5 m 10x 016. 不等式組x 3y 43x y 4所表示的平面區(qū)域的面積等于 3解析：不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，三個頂點的坐標(biāo)分別是0，4， 0,4，1,1 ，所以三角形的面積 s14 44×1×.233答案： 43

12、17. 已知點 px，y的坐標(biāo)滿意條件x y 4， y x， x 1點 o 為坐標(biāo)原點，那么 |po |的 最 小值等于，最大值等于解析： 如下列圖，線性區(qū)域為圖中陰影部分，|po |指線性區(qū)域內(nèi)的點到 原 點 的 距離， 最短為12 12 2，最長為12 32 10.答案： 21018. 假如 x、y 滿意不等式組 答案： 91 |x| 2， y 3， x y 5，那么目標(biāo)函數(shù)z x y 的最小值是19. 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和為 sn ， an 與 sn 滿意 an+sn =2（n n* ）；（）求數(shù)列 an 的通項公式；解：（ 1）令 n 1，有 2 a1 2 得 a1 1，*由

13、an+1+sn +12， an+sn 2，得： 2an+1- an 0（ n n ）， an1 1， an 是以 1 為首項，1 為公比的等比數(shù)列，an1；n 1an22220. 畫出不等式組2x y 10， x 2y 10， x y 1表示的平面區(qū)域解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如下列圖1221. 已知 a， b 為正實數(shù)，且a b 1，求a b的最小值12a b2a 2b解： a bab 1b2ab 2 a 3 22ba322. ab當(dāng)且僅當(dāng)b2aa b ，即 a 2 1，b 2 2時取“ ”12故 的最小值是 3 22. ab222. 在數(shù)列an 中, 已知 an1, a11, 且 a

14、n 1anan 1, nn.an1（ 1）記 bn an1 2 , n2n.求證：數(shù)列bn 是等差數(shù)列；解：（ 1）an 1an2, nn ,an 1a n1an 122anan 1an2.即 an 11 2a n21 22.2又bn an1 2 ,2bn 1bn2nn故數(shù)列bn 是以 2 為公差的等差數(shù)列.23. 為了愛護(hù)環(huán)境，造福人類，某縣環(huán)保部門擬建一座底面積為200 m2 的長方體二級凈水處理池如下圖 ，池深度肯定，池的外壁建造單價為每平方米400 元，中間一條隔墻建造單價為每平方米100 元，池底建造單價為每平方米 60 元(1) 一般情形下，凈水處理池的長設(shè)計為多少米時，可使總造價

15、最低？(2) 如受地勢限制，凈水處理池的長、寬都不能超過14.5 m，那么此時凈水池的設(shè)計為多少米時，可使總造價最低？解： 1設(shè)凈水池長為 x m，高為 h m，就寬為 200xm，就總造價 fx 4002x 2200·x ·h 100200·x ·h60× 200 800hx225 12000 800h·2x 225 12000.x·x225當(dāng)且僅當(dāng) xx x>0，即 x 15 時上述不等式取到“ ” ，故當(dāng)凈水池的長設(shè)計為15 m 時總造價最低0< x 14.5，2由條件可得2000< x 14.5，即

16、 x4002929 ， 2.考察函數(shù) tx 22540029，上的單調(diào)性， 可得出 t x225在區(qū)間 400， 29上是單調(diào)遞減函數(shù)， 故x 在區(qū)間292x292當(dāng) x 14.5 時， fx有最小值，即當(dāng)凈水池的長為14.5 m 時，總造價最低12x24. 1 求函數(shù) y x1(2) 求函數(shù) yx<0 的最大值； xx>3 的最小值；x3(3) 求函數(shù) y xa2x x>0， a 為大于 2x 的常數(shù) 的最大值 解： 1 x<0， x 0， y x 1 x1 2x1 2 x · 2x 2. 2x2當(dāng)且僅當(dāng) x 2 時，取等號， ymax 2.1112 x&g

17、t;3， x3 0， y ymin 5. x x 3 x 3 3 5，當(dāng)且僅當(dāng)x 3 x 3x 3，即 x4 時，取等號，3 x>0， a>2x， a 2x 0， y xa 2x11 × 2x·a 2x × 222x a 2x22a2a 8 ，當(dāng)且僅當(dāng) 2xa 2x 即 x4時，取等號a2 ymax 8 .25. 在 abc 中, 角 a , b , c 所對的邊長分別為 a , b , c , 向量 m2 sin b,2cosb , n3 cosb,cosb ,且 m n1 .1求角 b ;2 如 a , b , c 成等差數(shù)列 , 且 b2, 求 abc 的面積 .解:1m n1 ,2 sin b3 cos b2 cos 2 b1 ,3 sin 2 bcos 2 b2 , sin 2 b1 ,6又 0b,2b2 , 2b112b,666ac ,ac4 .2 b,b623又 b 2a 2c 22accos b ,4a 2c 22accos3, 即 4a