總復(fù)習(xí)(信號與線性系統(tǒng)必過知識點)

1、信號與線性系統(tǒng)信號與線性系統(tǒng)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)內(nèi)容回顧 1、信號分析時域：信號分解為沖激信號的線性組合頻域：信號分解為不同頻率正弦信號的線性組合復(fù)頻域：信號分解為不同頻率復(fù)指數(shù)的線性組合時域：信號分解為脈沖序列的線性組合頻域：不作要求z域：信號分解為不同頻率復(fù)指數(shù)的線性組合連續(xù)信號離散信號信號分析抽樣內(nèi)容回顧 2、系統(tǒng)分析連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)系統(tǒng)分析時域：頻域：復(fù)頻域：系統(tǒng)的描述：線性常系數(shù)微分方程系統(tǒng)響應(yīng)的求解)(*)()(thtetyzs)()()(jHjEjYzs)()()(sHsEsYzs系統(tǒng)的描述：線性常系數(shù)差分方程系統(tǒng)響應(yīng)的求解時域：頻域：復(fù)頻域：)(*)()(khkekyzs不作要求)()

2、()(zHzEzYzs1 連續(xù)信號的時域描述及運算1.1 沖激信號的性質(zhì)沖激信號的性質(zhì)dttttf)()(0)(at)(*)(0tttf)()(0tttf)(t篩選：取樣：展縮：卷積：與階躍的關(guān)系：)2()sin()(1tttf：計算例)2()2sin()2()sin()(ttttf解：41)2)(42(2dttt：計算例4141)2)(21(41)2)(42(dtttdttt解：0注意積注意積分區(qū)間分區(qū)間)2(t1. 2 信號的運算信號的運算2）時移：時移：y(t)=f (t-to) 3）倒相：倒相：y(t)=-f (t) 當(dāng)當(dāng)0a1時：時： y(t)壓縮壓縮f(t) 的的1/a倍倍.4）展

3、縮：展縮：y(t)=f (at) 其中：其中：a0 注意：注意：)12(tf折疊后是折疊后是不是不是)12( tf)21(tf)2( tf右移右移2后是后是不是不是)42()2(2(tftf)22(tf)2( tf壓縮壓縮2后是后是不是不是)22(tf)42(tf例：已知例：已知f(1-2t)如圖所示，求如圖所示，求f(t) 的波形。的波形。)21 (tf13t0) 2(1折疊折疊tt展寬展寬tt21右移右移1tt1t0) 2(1) 12 ( tf32t01) 4() 1( tf61t01) 4() (tf51）齊次性）齊次性2）疊加性）疊加性4）時不變性）時不變性3）線性）線性5）微分性）微

4、分性6）積分性）積分性7）因果性）因果性)()(trte)()(tartae)()(11trte)()(22trte)()()()(2121trtrtete)()()()(2121tbrtartbetae)()(trte)()(00ttrtte)()(trte)()(trtedttdrdttde)()(ttdrde)()(0)(:00)(:0trttet1. 3 連續(xù)時間系統(tǒng)的概念連續(xù)時間系統(tǒng)的概念線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)性時不變系統(tǒng)。試確定該系統(tǒng)是否為線輸出關(guān)系為：一連續(xù)時間系統(tǒng)輸入例22)(1)()( -1TtTtdeTteTtr解：所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)統(tǒng)微、積分系統(tǒng)是線性系02200

5、,)(1)(txdteTtteTTtTt令222200000)(1)(1)(TttTttTttTttdeTdxxeTtteT則：)()(1)(022000tteTdeTttrTttTtt而變系統(tǒng)。所以該系統(tǒng)是線性時不例例2： 已知某線性時不變系統(tǒng)：已知某線性時不變系統(tǒng)：求：求：（1）激勵激勵e(t)=0，初始狀態(tài)，初始狀態(tài)x1(0-)=1， x2(0-)=2時的響應(yīng)時的響應(yīng)r3(t)=？ （2）激勵激勵e(t)=2 (t)，初始狀態(tài)為零時的響應(yīng)，初始狀態(tài)為零時的響應(yīng)r4(t)=？ 當(dāng)激勵當(dāng)激勵e(t)= (t) ，初始狀態(tài)，初始狀態(tài)x1(0-)=1， x2(0-)=2時，時，響應(yīng)響應(yīng)r1(t)

6、=(6e-2t -5e-3t) (t)； 當(dāng)激勵當(dāng)激勵e(t)=3 (t) ，初始狀態(tài)保持不變時，響應(yīng)，初始狀態(tài)保持不變時，響應(yīng)r2(t)=(8e-2t -7e-3t) (t)。 當(dāng)激勵當(dāng)激勵e(t)= (t) ，初始狀態(tài)，初始狀態(tài)x1(0-)=1， x2(0-)=2時，時，響應(yīng)響應(yīng))()()(1trtrtrzszi=6e-2t -5e-3t當(dāng)激勵當(dāng)激勵e(t)= 3(t) ，初始狀態(tài)保持不變時，響應(yīng)，初始狀態(tài)保持不變時，響應(yīng))(3)()(2trtrtrzszi=8e-2t -7e-3t可得可得 rzs(t) =e-2t -e-3trzi(t) =5e-2t -4e-3t所以，所以，響應(yīng)響應(yīng)

7、r3(t)=rzi(t) =5e-2t -4e-t r4(t) =2rzs(t) =2e-2t -2e-3t解解:2、連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)傳輸算子和自然頻率時域零輸入響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)卷積積分時域零狀態(tài)響應(yīng)：卷積分析法2.1 求解系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的一般步驟求解系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的一般步驟:1 1）求系統(tǒng)的自然頻率；）求系統(tǒng)的自然頻率；2 2）寫出零輸入響應(yīng)）寫出零輸入響應(yīng)r rzi zi(t (t) )的通解表達(dá)式的通解表達(dá)式；3 3）根據(jù)電路定理求出系統(tǒng)的初始值）根據(jù)電路定理求出系統(tǒng)的初始值 ：)0(),0(),0()1( nzizizirrr4 4） 將初值帶入將初值帶入r r

8、zi zi(t (t) )的通解表達(dá)式，求出待定系數(shù)。的通解表達(dá)式，求出待定系數(shù)。例例1：已知某系統(tǒng)激勵為零，初始值已知某系統(tǒng)激勵為零，初始值r(0)=2， r(0)=1，r”(0)=0，描述系統(tǒng)的傳，描述系統(tǒng)的傳輸算子為輸算子為求系統(tǒng)的響應(yīng)求系統(tǒng)的響應(yīng) r (t)。22)3)(1(382)(pppppH解：解：0)3p)(1p()p(D2系統(tǒng)時域響應(yīng)為系統(tǒng)時域響應(yīng)為11 1p3pp32 2ttttececectr333210)(210)0(ccr32103)0(cccr321069)0(cccr =2=1=05,4,6321ccc0546)(330tteeetrttta a）求傳輸算子）求傳

9、輸算子H(p)H(p)；b b）如果）如果mn, mn, 用長除法將用長除法將H(p) H(p) 化為真分式；化為真分式；c c） H(p)H(p)部分分式部分分式；d d） 根據(jù)根據(jù)H(p)H(p)部分分式的各項，寫出單位沖激響應(yīng)部分分式的各項，寫出單位沖激響應(yīng)h(t)h(t)；求單位沖激響應(yīng)的一般步驟求單位沖激響應(yīng)的一般步驟2.2 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng) 激勵為單位沖激信號時系統(tǒng)的激勵為單位沖激信號時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。)(t)(th2.3 卷積積分卷積積分1) 定義：定義：積分式：積分式：dtfftf)()()(21稱為函數(shù)稱為函數(shù) f1(t)與與 f2(t) 的卷積，記作：的

10、卷積，記作：)()()(21tftftf2) 卷積積分的計算卷積積分的計算利用定義計算利用定義計算 利用利用i）d(tff)(21ii）iii）iv）v）)(),(21tftf)(),(21ff（折疊）（折疊）)(2f)(2f（平移）（平移）（相乘）（相乘）)(2f)(2tf)()(21tff（積分）（積分）3) 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)卷積結(jié)果與交換兩函數(shù)的次序無關(guān)。卷積結(jié)果與交換兩函數(shù)的次序無關(guān)。 dtff)()(12 dtff)()(21 )()()()(1221tftftftf交換律交換律 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf)()()()()()

11、(2121ththtfththtf)()()(TtfTttf)()()(tfttf)()()(00TttfTtttfa）求傳輸算子）求傳輸算子H(p)；b）求單位沖激響應(yīng)）求單位沖激響應(yīng)h(t) ；c） 計算卷積；計算卷積；2.4 求零狀態(tài)響應(yīng)的一般步驟求零狀態(tài)響應(yīng)的一般步驟3、連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析完備正交函數(shù)集的概念周期信號的傅立葉級數(shù)展開非周期信號的傅立葉變換傅立葉變換的性質(zhì)3.1 常用完備正交函數(shù)集常用完備正交函數(shù)集1）三角正交函數(shù)集三角正交函數(shù)集t t) )s si in n( (n nt t) ), ,c co os s( (n n( t0，t0 +T ) , ,1 1, ,2 2

12、, ,n n, 02）指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集t tj jn ne e, ,2 2, ,1 1, ,n n, 0( t0，t0 +T ) 3.2 周期信號的傅里葉級數(shù)展開周期信號的傅里葉級數(shù)展開（1） f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)（2） f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)（3） f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)（4） f(t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù)余弦分量余弦分量+直流分量直流分量奇次諧波奇次諧波偶次諧波偶次諧波+直流分量直流分量正弦分量正弦分量 周期信號頻譜特點：周期信號頻譜特點： 1）離散性）離散性 :頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成；頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成； 2）諧波性：各次諧波分量的頻率都是基波頻率

13、的整數(shù)倍；）諧波性：各次諧波分量的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍； 3）收斂性：譜線幅度隨諧波頻率的增大而衰減。）收斂性：譜線幅度隨諧波頻率的增大而衰減。（不發(fā)散不發(fā)散） )2(2nSaTAaAnn3.3 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換)()()(tfFdtetfjFtj)()(21)(1jFFdejFtftj象函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)原函數(shù) jFtf3.4 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)線性性質(zhì)線性性質(zhì)延時特性延時特性移頻特性移頻特性尺度變換特性尺度變換特性奇偶特性奇偶特性對稱特性對稱特性微分特性微分特性積分特性積分特性頻域的微分積分特性頻域的微分積分特性卷積定理卷積定理4、連續(xù)時間系統(tǒng)復(fù)

14、頻域分析拉氏變換：定義、性質(zhì)典型信號拉氏變換求拉氏逆變換：利用部分分式法及變換性質(zhì)復(fù)頻域系統(tǒng)分析：電路的復(fù)頻域模型復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)：H(s)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷4.1單邊拉普拉斯變換的定義單邊拉普拉斯變換的定義)()() t () t (f)(sFtftf變換對：對于有始信號，ROCsfsF，0stdte) t ()(0,)(21)(tdsesFjtfjjst4.2拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域)(Re( 0)(lim00setftt4.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換) s (D) s (N)(ssiiiiississississin1itsin1iii) s (Ddsd) s (Nssd

15、sdlim) s (D) s (Nsslimkik) t (k) t (ssk)(或利用洛必塔法則，確定系數(shù)：sFefsF無重根）單階（0D(s),ss / ii階重根p,ss /iii利用利用部分分式法部分分式法和和性質(zhì)性質(zhì)。)(ssp1dsd!k-p1kssksskssk)ss (k)ss (k)ss (k)()ss ()ss ()ss () s (Dissk-pk-p1knn1p1p1121121 -p11 -p1p11pn1pp1sFsF 確定系數(shù)：4.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)性質(zhì)時域復(fù)頻域收斂域線性尺度時移頻移)()(2211tfatfa)()(2211sFa

16、sFa),max()Re(21s0),(aatf)(1asFa0)Re( as0)()(000tttttf)(0sFest0)Re(s)(tfet)(sF0)Re(s性質(zhì)時域復(fù)頻域收斂域時域微分時域積分dttdf)()0()( fssF0)Re(s22)(dttfd)0()0()(2fsfsFs0)Re(sdft0)(ssF)()0 ,max()Re(0sdft)( sdfssF0)()0 ,max()Re(0s性質(zhì)時域復(fù)頻域收斂域頻域微分時域卷積 時域乘積初值終值)(ttfdssdF)(0)Re(s)(*)(21tftf)()(21sFsF),max()Re(21s)()(21tftf)(*

17、)(2121sFsFj21)Re(s)(lim)0(0tfft)(limssFs)(lim)(tfft)(lim0ssFs例例1:？，求求已已知知)()1()(2tfsesFs)()1()(0nttfnn例例2:)2()2() 1() 1(2)()(tttttttf？，求求已已知知)()1 (1)(tfessFs)21 (1)(22sseessF)1 (1)(32ssseeessF) 3() 2() 1()()(tttttf6116332)(232 ssssssF )3)(2)(1(3322 ssssssF 321321 sksksksF362511)( ssssF)(65)(32teeetf

18、ttt例例3:stet1)(根據(jù)例例4：3)1)(2(3)(ssssF2111)1(1)1(2)(23sssssF)(!212)(22teeteettftttt4.5 連續(xù)時間系統(tǒng)復(fù)頻域系統(tǒng)分析連續(xù)時間系統(tǒng)復(fù)頻域系統(tǒng)分析1）電）電 路基爾霍夫定律的復(fù)頻域模型路基爾霍夫定律的復(fù)頻域模型（1）KCL:u(t)=Ri(tu(t)=Ri(t) )U(s)=RI(s)U(s)=RI(s)2 ）電路元件的復(fù)頻域模型）電路元件的復(fù)頻域模型（2）KVL:（1）電阻元件）電阻元件0)(1nkkti0)(1nkksI0)(1nkktu0)(1nkksU（2）電容元件）電容元件dttduCti)()(0)()u(s

19、U(s)CsI)(110sIsCs)u(U(s)1/Cs：運算容抗運算容抗Cu(0-)、 u(0-) /s：附加內(nèi)電源附加內(nèi)電源diCtut)(1)(或diCut0)(1)0()Cu(U(s)Cs01)(10sICss)u(（3）電感元件）電感元件dttdiLtu)()(0)()i(sI(s)LsULssUs)i(I(s)(0Ls：運算感抗：運算感抗Li(0-)、 i(0-) /s：附加內(nèi)電源附加內(nèi)電源duLtit)(1)(或duLit0)(1)0()Li(LsI(s)0基本步驟：基本步驟：1 1） 畫畫t=0t=0- -等效電等效電 路，求初始狀態(tài)路，求初始狀態(tài)2 2） 畫畫s s域等效模型

20、域等效模型)()(sFtf3 3） 列列s s域電路方程（代數(shù)方程）域電路方程（代數(shù)方程）4 4） 解解s s域方程，求出域方程，求出s s域響應(yīng)域響應(yīng)5 5） 反變換求反變換求t t域響應(yīng)域響應(yīng)。3）復(fù)頻域分析法）復(fù)頻域分析法4.6 復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)1）定義：）定義： 零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù) sHth) 1)()()(sEsRsHzs 激勵信號象函數(shù)激勵信號象函數(shù)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉氏變換系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉氏變換)()()(tethtrzs系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：)()()(sEsHsRzs拉氏變換拉氏變換2）零狀態(tài)下零狀態(tài)下復(fù)頻域電路模型復(fù)頻域電路模型 H(s)（1）應(yīng)

21、用：）應(yīng)用：2） 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的應(yīng)用的應(yīng)用rzi(t):其中的常數(shù)其中的常數(shù)由初始狀態(tài)確定由初始狀態(tài)確定求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)rzi(t): )(1sHLth)()()(sDsNsH(系統(tǒng)自然頻率系統(tǒng)自然頻率) )()(1sEsHLtrzs0)(sD求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t):求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng) h(t):34)(2ssssH例：例： 線性時不變電路的模型如下，且已知激勵線性時不變電路的模型如下，且已知激勵i(t)=(t)，響應(yīng)為，響應(yīng)為u(t)，且，且iL(o-)=1A，uc(o-)=1V。 求求: 1) H(s)； 2) h(t)；

22、 3) 全響應(yīng)全響應(yīng)u(t)。解：解：零狀態(tài)分量零狀態(tài)分量1) 零狀態(tài)下求零狀態(tài)下求H(s)ssI1)()()2123()(3teethtt3) 求全響應(yīng)：求全響應(yīng)：2）求單位沖激響應(yīng)）求單位沖激響應(yīng) h(t) )()(1sIsHLtuzs)()2121(3teett) (1sI) (2sIVuzi3)0(零輸入分量零輸入分量ttziBeAetu3)( 全全響應(yīng)：響應(yīng)：BAuzi)0(1BAuzi3)0(3tzietu3)()()()(tututuzszi)()2121(33teeettt021213teett4.7 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1 1）定義）定義（1) 1) 若一個系統(tǒng)對

23、于有界激勵信號產(chǎn)生有界的響應(yīng)，若一個系統(tǒng)對于有界激勵信號產(chǎn)生有界的響應(yīng)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。即：則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。即：（2 2）穩(wěn)定性準(zhǔn)則（充要條件）穩(wěn)定性準(zhǔn)則（充要條件） 可見，系統(tǒng)穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，可見，系統(tǒng)穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，是系統(tǒng)自身性質(zhì)之一。系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵信號無關(guān)。是系統(tǒng)自身性質(zhì)之一。系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵信號無關(guān)。yfMtyMtf)(,)(則則有有若若其中：其中：Mf ， My為有限正實常數(shù)為有限正實常數(shù)Mdtth)(M：有限正實常數(shù)：有限正實常數(shù)即：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)絕對可積，則系統(tǒng)穩(wěn)定。即：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)絕對可積，則系統(tǒng)穩(wěn)定。2 2）穩(wěn)定性判斷）

24、穩(wěn)定性判斷（1）極點判斷：）極點判斷：)()()(sDsNsH0)(sDH(s)極點全部位于極點全部位于s左半平面：左半平面： 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定含有含有j 軸軸單極點，其余單極點，其余位于位于s左半平面：左半平面：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定含有含有s右右半平面或半平面或j 軸重極點軸重極點： 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定 由系統(tǒng)極點判斷由系統(tǒng)極點判斷（2）霍爾維茨（）霍爾維茨（Hurwitz）判斷法）判斷法：0111)(asasasasDnnnn成為霍爾維茨多項式成為霍爾維茨多項式必要條件：必要條件： （a）系數(shù)無缺項；）系數(shù)無缺項；（b）ai0 i=0,1,n D(S)=0所有的根均在所有的根均在S平

25、平面的左半平面，稱面的左半平面，稱D(S)為為霍爾維茨多項式?；魻柧S茨多項式。 (由由H(s)分母多項式判斷分母多項式判斷)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：D(S)為霍爾維茨多項式。為霍爾維茨多項式。(a)、(b)是一、二階系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件。是一、二階系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件。穩(wěn)定條件：A 0 、 B0BAss21ii/首列元素有變號時，有根在右半平面，個數(shù)為變號次數(shù)。首列元素有變號時，有根在右半平面，個數(shù)為變號次數(shù)。（3）羅斯（）羅斯（Routh）判斷法：）判斷法：（a）D(s)滿足必要條件；滿足必要條件；（b）排列羅斯陣列（）排列羅斯陣列（排到排到n+1行行)；（c）羅斯準(zhǔn)則：）羅斯準(zhǔn)則：i/

26、陣列中首列陣列中首列元素同號時，元素同號時，其根全位于其根全位于s左左半平面。半平面。0321sssssnnnn42nnnaaa531nnnaaa531nnnbbb531nnnccc312111nnnnnnaaaaab514131nnnnnnaaaaab3131111nnnnnnbbaabc5151131nnnnnnbbaabcAs1125265是否穩(wěn)定？5228)(234sssssD52801234sssss2不穩(wěn)定5、離散時間系統(tǒng)的時域分析取樣定理離散時間系統(tǒng)的描述和模擬離散時間系統(tǒng)的時域響應(yīng)5.1 5.1 取樣定理取樣定理ms25.2 5.2 離散時間系統(tǒng)的描述和模擬離散時間系統(tǒng)的描述和模擬mllniilkebikya00)()(描述：差分方程描述：差分方程模擬：模擬：Da 對于一般差分方程，由于對于一般差分方程，由于mn，取極限情況，取極限情況m=n時，時，可用下面方法模擬：可用下面方法模擬： )()()()()() 1() 1()k(q0011mkqbkqbkykekqakqankqanmn當(dāng)mn時，可得bm+1，bn=0 5.3 5.3 離散時間系統(tǒng)的時域響應(yīng)離散時間系統(tǒng)的時域響應(yīng)零輸入：零輸入：零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：0,)()(10111kvckavavavk