2021年拋物線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)大全和經(jīng)典例題及解析

1、拋物線及其性質(zhì)【考綱闡明】【考綱闡明】1、掌握拋物線簡(jiǎn)樸幾何性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線關(guān)于問題。2、通過類比，找出拋物線與橢圓，雙曲線性質(zhì)之間區(qū)別與聯(lián)系?！局R(shí)梳理】【知識(shí)梳理】1 1拋物線定義拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn) f 和一條定直線l距離相等點(diǎn)軌跡稱為拋物線2 2拋物線四種原則方程幾何性質(zhì)：拋物線四種原則方程幾何性質(zhì)：圖形參數(shù) p 表達(dá)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，p 越大，開口越闊.右左上下x2 2py(p 0)參數(shù) p 幾何意義開口方向標(biāo) 準(zhǔn)方 程焦 點(diǎn)位 置焦 點(diǎn)坐 標(biāo)準(zhǔn) 線方 程范 圍對(duì) 稱軸頂 點(diǎn)坐 標(biāo)離心率通 徑焦半徑a(x1, y1)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)aby2 2px(p 0)y22px(p0)

2、x2 2py(p 0)x 正x 負(fù)y 正y 負(fù)p(,0)2px 2x 0,yrx 軸p,0)2px 2x 0,yr(x 軸p(0,)2py 2y 0,xry 軸（0,0）p(0,)2py 2y 0,xry 軸e 12pp2(x1 x2) paf x1p2(x1 x2) paf x1p2(y1 y2) paf y1p2(y1 y2) paf y1焦點(diǎn)弦長(zhǎng)ab補(bǔ)充a(x1,y1)覺得ab直徑圓必與準(zhǔn)線l相切若ab傾斜角為，ab 2p2sin若ab傾斜角為，則ab b(x2, y2)2p2cosp2x1x2y1y2 p2411af bfab2afbfaf bfaf bfp3 3拋物線拋物線y2 2p

3、x(p 0)幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)：(1)范疇由于 p0，由方程可知 x0，因此拋物線在y軸右側(cè)，當(dāng)x值增大時(shí)，|y|也增大，闡明拋物線向右上方和右下方無限延伸(2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸要看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向(3)頂點(diǎn)（0，0），離心率：e 1，焦點(diǎn)f(pp,0)，準(zhǔn)線x ，焦準(zhǔn)距 p22(4) 焦點(diǎn)弦：拋物線y 2px(p 0)焦點(diǎn)弦ab，a(x1, y1),b(x2, y2),則| ab | x1 x2 p弦長(zhǎng)|ab|=x1+x2+p,當(dāng) x1=x2時(shí)，通徑最短為 2p。4 4焦點(diǎn)弦有關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦有關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦ab，a(x1, y1),b(x2, y2)，焦點(diǎn)f(22p,0)2p22(1)

4、 若 ab 是拋物線y 2px(p0)焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)弦），且a(x1,y1)，b(x2, y2)，則：x1x2，y1y2p。4(2) 若 ab 是拋物線y 2px(p0)焦點(diǎn)弦，且直線 ab 傾斜角為，則ab(3) 已知直線 ab 是過拋物線y 2px(p 0)焦點(diǎn) f ,222 p（0）。sin211af bfab2afbfaf bfaf bfp(4) 焦點(diǎn)弦中通徑最短長(zhǎng)為2p。通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在軸焦點(diǎn)弦叫做通徑(5) 兩個(gè)相切：1 以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑圓與準(zhǔn)線相切.2 過拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)圓與焦點(diǎn)弦相切。5 5弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：a(x1, y1),

5、b(x2, y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則ab (x1 x2)2(y1 y2)21 k2| x1 x2|11| y1 y2|2k【典型例題】【典型例題】（1 1）拋物線二次曲線和諧線）拋物線二次曲線和諧線橢圓與雙曲線均有兩種定義辦法，可拋物線只有一種：到一種定點(diǎn)和一條定直線距離相等所有點(diǎn)集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個(gè)美好 1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗篇章.【例 1】p 為拋物線y 2px上任一點(diǎn)，f 為焦點(diǎn)，則以 pf 為直徑圓與 y 軸（）2a.相交b.相切c.相離d.位置由 p 擬定【解析】如圖，拋物線焦點(diǎn)為f p,0，準(zhǔn)線是2yh

6、qnpm2p.作 phl于 h，交 y 軸于 q，那么pf ph，2p且qh of .作 mny 軸于 n 則 mn 是梯形 pqof2111中位線，mn of pqph pf.故以222l : x pf 為直徑圓與 y 軸相切，選 b.【評(píng)注】相似問題對(duì)于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則分別是相離或相交.（2 2）焦點(diǎn)弦?？汲Ｐ铝咙c(diǎn)弦）焦點(diǎn)弦?？汲Ｐ铝咙c(diǎn)弦of(p,0)l :x=-p2xy2=2px關(guān)于拋物線試題，許多都與它焦點(diǎn)弦關(guān)于.理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有協(xié)助.【例 2】 過拋物線y 2pxp0焦點(diǎn) f 作直線交拋物線于ax1, y1,bx2, y2兩點(diǎn)，求證：2（1）a

7、b x1 x2 p（2）112afbfp【證明】（1）如圖設(shè)拋物線準(zhǔn)線為l，作paa1 la1,bb1 l于b1，則 af aa1 x1，2pbf bb1 x2.兩式相加即得：2ya1a(x,y)1 1xfb1b(x,y)22lab x1 x2 p（2）當(dāng) abx 軸時(shí)，有af bf p，112成立；afbfpp .代入拋物線方程：2當(dāng) ab與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦 ab 方程為：y kx2p22p 2222k 0kx 2px.化簡(jiǎn)得：k x pk 2x42k2方程（1）之二根為 x1，x2，x1x2.41x1 x2 p111111pp2afbfaa1bb1x px px1x2x1 x21

8、22224x1 x2 px1 x2 p2.pp2pp2px1 x2 px1 x22424112成立.afbfp故無論弦 ab 與 x 軸與否垂直，恒有（3 3）切線拋物線與函數(shù)有緣）切線拋物線與函數(shù)有緣關(guān)于拋物線許多試題，又與它切線關(guān)于.理解并掌握拋物線切線方程，是解題者不可或缺基本功.【例 3】證明：過拋物線y 2px上一點(diǎn) m（x0，y0）切線方程是：y0y=p（x+x0）2y 【證明】對(duì)方程y 2px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2y y 2p，2p.切線的斜率yk yxx0pp.由點(diǎn)斜式方程：y y0 x x0 y0y px px0 y02y0y012y0 2px0，代入（）即得：1 y0y=p（x+x

9、0）（4 4）定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處寶藏）定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會(huì)故意想不到收獲.2例 如 ： 1.一 動(dòng)圓 圓 心在 拋 物線y 8x上 ， 且 動(dòng) 圓恒 與 直線x 2 0相 切 ， 則 此動(dòng) 圓 必過 定點(diǎn)（）a.4,0b.2,0c.0,2d.0,2顯然.本題是例 1 翻版，該圓必過拋物線焦點(diǎn)，選b.2.拋物線y 2px通徑長(zhǎng)為 2p；223.設(shè)拋物線y 2px過焦點(diǎn)弦兩端分別為ax1, y1,bx2, y2，那么：y1y2 p2如下再舉一例【例 4】設(shè)拋物線y 2px焦點(diǎn)弦 ab 在其準(zhǔn)線上射影是 a1b

10、1，證明：以 a1b1為直徑圓必過一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線通徑，那么a1b1=ab=2p，而 a1b1與 ab 距離為 p，可知該圓必過拋物線焦點(diǎn).由此咱們猜想：一切這樣圓都過拋物線焦點(diǎn).如下咱們對(duì) ab 普通情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為ax1, y1,bx2, y2，那么：y1y2 p ca1 cb1 y1y2 p .設(shè)拋物線準(zhǔn)線交 x 軸于 c，那么cf p.222a1y1aa1fb1中cf ca1 cb1.故a1fb1 90.這就闡明：以 a1b1為直徑圓必過該拋物線焦點(diǎn). 通法通法 特法特法 妙法妙法（1 1）解析法為對(duì)稱問題解困排難）解析法為對(duì)稱問題解困排

11、難2mcb1bfx解析幾何是用代數(shù)辦法去研究幾何，因此它能解決純幾何辦法不易解決幾何問題（如對(duì)稱問題等） .【例 5】（10.四川文科卷.10 題）已知拋物線yy=-x2+3 上存在關(guān)于直線 x+y=0對(duì)稱相異兩點(diǎn)a、b，則|ab|等于（）bmaoxl x+ y=0a.3b.4 c.32 d.42【分析】直線 ab 必與直線 x+y=0垂直，且線段ab 中點(diǎn)必在直線 x+y=0上，因得解法如下.【 解 析 】 點(diǎn)a 、 b關(guān) 于 直 線x+y=0 對(duì) 稱 ， 設(shè) 直 線ab 方 程 為 ：y xm.由 y xm2 x xm3 02y x 31設(shè)方程（1）之兩根為 x1，x2，則x1 x2 1.

12、設(shè) ab 中點(diǎn)為 m（x0，y0），則x0 x1 x2111 1 .代入 x+y=0：y0=.故有m,.2222 22從而m y x 1.直線 ab 方程為：y x1.方程（1）成為：x x2 0.解得：x 2,1，從而y 1,2，故得：a（-2，-1），b（1，2）. ab 3 2，選 c.（2 2）幾何法為解析法添彩揚(yáng)威）幾何法為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足發(fā)展，但伴之而來卻是難以避免繁雜計(jì)算，這又使得許多考生對(duì)解析幾何習(xí)題望而生畏.針對(duì)這種現(xiàn)狀，人們研究出各種使計(jì)算量大幅度減少先進(jìn)辦法，其中最有成效就是幾何法 .2【例 6】（11.11.全國(guó)全國(guó) 1 1 卷卷.11.11 題

13、）題）拋物線y 4x焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線為l，通過f且斜率為3直線與拋物線在x軸上方某些相交于點(diǎn)a，akl，垂足為k，則akf面積（）a4 b3 3c4 3 d8【解析】如圖直線 af 斜率為3時(shí)afx=60.afk 為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線l交 x 軸于 m，則fm p 2,yka60omf(1,0)l:x=-1x=2pxy2且kfm=60，kf 4,sakf324 4 3.選 c.4【評(píng)注】（1）平面幾何知識(shí)：邊長(zhǎng)為a 正三角形面積用公式s32a計(jì)算.4（2）本題如果用解析法，需先列方程組求點(diǎn)a 坐標(biāo)，再計(jì)算正三角形邊長(zhǎng)和面積.雖不是很難，但決沒有如上幾何法簡(jiǎn)樸.（3 3）定義法追本求真簡(jiǎn)樸一著）定義

14、法追本求真簡(jiǎn)樸一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始定義去做，反而特別簡(jiǎn)樸.【例 7】（07.湖北卷.7題）雙曲線x2y2c1:221(a 0，b 0)左準(zhǔn)線為l，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為f1和f2；拋物線c2線為l，焦點(diǎn)為abf2；c1與c2一種交點(diǎn)為m，則a1 b1f1f2mf1等于（）mf1mf212 d c12【分析】 這道題如果用解析法去做，計(jì)算會(huì)特別繁雜，而平面幾何知識(shí)又一時(shí)用不上，那么就從最原始定義方面去尋找出路吧.如圖，咱們先做必要準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線半焦距 c，離心率為 e，作mh l于h，令ymf1 r1, mf2 r2.點(diǎn) m 在拋物線上，mf1mf1r1

15、mh mf2 r2,故 e，mhmf2r2這就是說：f1(-c ,0)hr2om(x,y)r1r2f2(c,0)x| mf1|實(shí)質(zhì)是離心率 e.| mf2|a2l:x = -c| ff |另一方面，12與離心率 e 有什么關(guān)系？注| mf1|意到：f1f22ce2aer1r21 e1 e1.mf1r1r1r1e這樣，最后答案就自然浮出水面了：由于| f1f2| mf1|e1e 1.選 a.| mf1| mf2|（4 4）三角法自身也是一種解析）三角法自身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富解題資源.運(yùn)用三角手段，可以比較容易地將異名異角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角三角函數(shù)，然后依照各種三角關(guān)系實(shí)行“九九歸一

16、”達(dá)到解題目.因而，在解析幾何解題中，恰本地引入三角資源，?？梢話昝摾Ь常?jiǎn)化計(jì)算.a【例 8】（09.重慶文科.21 題）如圖，傾斜角為 a直線通過點(diǎn) f，且與拋物線交于 a、b 兩點(diǎn)。（）求拋物線焦點(diǎn)f 坐標(biāo)及準(zhǔn)線 l方程；（）若 a 為銳角，作線段 ab垂直平分線 m 交mx 軸于點(diǎn) p，證明|fp|-|fp|cos2a為定值，并求此定值?！窘馕觥浚ǎ┙裹c(diǎn) f（2，0），準(zhǔn)線l;x 2.（）直線 ab：y tanx21.x y28代入（1），整頓得：y2tan8y16tan02設(shè)方程（2）之二根為 yy y 81，y2，則12tan.y1 y2 16y1 y2設(shè) ab 中點(diǎn)為mx則y02

17、4tan 4cot0, y0,x2 4cot20 cot y02ab 垂直平分線方程是：y4cot cotx4cot22.令 y=0，則x 4cot26，有p4cot26，0故fp op of 4cot262 4cot21 4cos2于是|fp|-|fp|cos2a=4csc21cos2 4csc22sin28，故為定值.（5 5）消去法合理減負(fù)慣用辦法）消去法合理減負(fù)慣用辦法. .拋物線y2 8x焦避免解析幾何中繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新永恒課題.其中最值得推薦先進(jìn)辦法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說“不戰(zhàn)而屈人之兵”.【例 9】 與否存在同步滿足下列兩條件直線l：（1）l與拋物線y 8x有兩

18、個(gè)不同交點(diǎn) a 和 b；（2）線段 ab被直線l1：x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，闡明理由，若存在，求出直線l方程.【解析】假定在拋物線y 8x上存在這樣兩點(diǎn)ax1，y1，bx2，y2.則有：22y128x1y1 y28 y yy y8 x x k2121212aby 8xx1 x2y1 y222線段 ab 被直線l1：x+5y-5=0 垂直平分，且kl1 ， kab 5，即158 5y y128 y1 y2.5設(shè)線段 ab 中點(diǎn)為mx0，y0，則y0y1 y24.代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是：25ab 中點(diǎn)為m1，.故存在符合題設(shè)條件直線，其方程為：y（6 6）摸索法奔向數(shù)學(xué)辦法高深層次）摸索法奔向數(shù)學(xué)辦法高深層次有某些解析幾何習(xí)題，初看起來好似“樹高蔭深，叫樵夫難如下手”.這時(shí)就得冷靜分析，摸索規(guī)律，不斷地猜想證明再猜想再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無限風(fēng)光在險(xiǎn)峰”.【例 10】（10.安徽卷.14 題）如圖，拋物線 y=-x2+1 與 x 軸正半軸交于點(diǎn) a，將線段 oan 等分點(diǎn)從左至右依次記為 p