2022年蘇教版高中數(shù)學知識點整理

1、第一講集合一、知識精點講解1集合：某些指定的對象集在一起成為集合。（ 1）集合中的對象稱元素，若 a 是集合 a的元素， 記作aa；若 b 不是集合a 的元素，記作ab；（ 2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設a是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是a的元素，或者不是a的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關；（ 3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉

2、出來，寫在大括號內；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號 內。具體方法： 在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。注意： 列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作 n；正整數(shù)集，記作n*或 n+；整數(shù)集，記作z；有理數(shù)集，記作q ；實數(shù)集，記作r。2集合的包含關系：（1）集合 a 的任何一個元素都是集合b 的元素，則稱a 是 b 的子集（或b 包含 a） ，記作 a

3、b（或ba） ；集合相等： 構成兩個集合的元素完全一樣。若 ab 且 ba， 則稱 a 等于 b， 記作 a=b；若 ab 且 ab，則稱 a 是 b 的真子集，記作ab；（2）簡單性質： 1）aa；2）a；3）若 ab，bc，則 ac；4）若集合a是 n 個元素的集合，則集合a 有 2n個子集（其中2n1 個真子集）；3全集與補集：（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作u；（2）若 s 是一個集合， as，則，sc=|axsxx且稱 s 中子集 a 的補集；4交集與并集：（1）一般地， 由屬于集合a 且屬于集合b 的元素所組成的集合，叫做集合 a 與 b 的交集。交

4、集|bxaxxba且。（2）一般地，由所有屬于集合a 或屬于集合b 的元素所組成的集合，稱為集合a與 b的并集。|bxaxxba或并集。注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或” ，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合venn 圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結合的思想方法。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第二講函數(shù)概念與表示一、知識精點講解1函數(shù)的概念：設 a、b 是非空的數(shù)

5、集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合a 中的任意一個數(shù) x，在集合b 中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f： ab 為從集合a 到集合 b的一個函數(shù)。 記作： y=f(x)，xa。其中， x叫做自變量， x 的取值范圍a 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應的y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xa 叫做函數(shù)的值域。注意： （ 1） “y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)” ；（2）函數(shù)符號“y=f(x)”中的 f(x)表示與 x 對應的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f 乘 x。2構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域（1）解決一切函數(shù)問題必須認真

6、確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：自然型： 指函數(shù)的解析式有意義的自變量x 的取值范圍 （如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；限制型： 指命題的條件或人為對自變量x 的限制， 這是函數(shù)學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x 的實際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學問題，中學數(shù)學要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。配方法（將函數(shù)轉化為二次函數(shù)）；判別式法（將函數(shù)轉化為二次方程）；不等式法（運用不等式的各種性質）；函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質，

7、或抓住函數(shù)的單調性、函數(shù)圖象等）。3兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域a、值域 c 和對應法則f。當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。4區(qū)間：區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；5映射的概念一般地，設a、b 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合a中的任意一個元素x，在集合 b 中都有唯一確定的元素y 與之對應， 那么就稱對應f：ab為從集合 a 到集合 b 的一個映射。記作“f：ab” 。函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件 “非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合” ，按照某種法則可以建立起更為普通的

8、元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射。注意： （ 1）這兩個集合有先后順序，a 到 b 的射與 b 到 a 的映射是截然不同的其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。（2） “都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。6常用的函數(shù)表示法： （1）解析法：（2）列表法：（3）圖象法：7分段函數(shù)若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8復合函數(shù)若 y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u (m,n) ，那么 y=fg(x)稱為復合函數(shù)，u 稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。精品學習資料

9、可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第三講函數(shù)的基本性質一、要點精講1奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意x 都有 f(x)=f(x)，則稱 f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意x 都有 f( x)=f(x)，則稱 f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質，則 f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質；2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇

10、偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個 x，則 x 也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。（ 2）利用定義 判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；2確定 f(x)與 f(x)的關系；3作出相應結論：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f(x) =f(x) 或 f( x) f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)。（ 3）簡單性質：圖象的對稱性質：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y 軸對稱；設( )f x，( )g x的定義域分

11、別是12,dd，那么在它們的公共定義域上：奇+奇 =奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2單調性（1）定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為i， 如果對于定義域i 內的某個區(qū)間d內的任意兩個自變量x1，x2，當 x1x2時，都有 f(x1)f(x2)） ，那么就說f(x)在區(qū)間d 上是增函數(shù)（減函數(shù)） ；注意：1函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質；2必須是對于區(qū)間d 內的任意兩個自變量x1， x2；當 x1x2時，總有 f(x1)f(x2) （2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，

12、區(qū)間d 叫做 y=f(x)的單調區(qū)間。（3） 設復合函數(shù)y= fg(x)， 其中 u=g(x) , a 是 y= fg( x)定義域的某個區(qū)間，b 是映射 g :xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 a 上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在 b 上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y=fg(x)在 a 上是增函數(shù)；若 u=g(x)在 a 上是增（或減）函數(shù)，而 y= f(u)在 b 上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù) y= fg(x)在 a 上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調性的方法步驟：1任取 x1，x2d，且 x11 0a0 時， y1;x0 時， 0y0 時， 0y1;x1. （5）在 r 上是增函

13、數(shù)（5）在 r 上是減函數(shù)精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -（2）對數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù))1,0(logaaxya且稱對數(shù)函數(shù)，a1 0a1a0 )1 ,0(x時0y), 1(x時0y（ 5）在（ 0，+）上是增函數(shù)在（ 0， +）上是減函數(shù)精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第五講函數(shù)圖象及數(shù)字特征一、知識精點講解1函數(shù)圖象（1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有

14、兩種，即列表描點法和圖象變換法。作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質即單調性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；描點連線，畫出函數(shù)的圖象。用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎進行變換，以及確定怎樣的變換。（2）三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；平移變換：、水平平移：函數(shù)()yf xa的圖像可以把函數(shù)( )yf x的圖像沿x軸方向向左(0)a或向右(0)a平移|a個單位即可得到；1）y=f(x)h左移y=f(x+h)；2）y=f(x) h右移y=f(x h)；、豎直平移：函數(shù)( )yf xa的圖像可以把函數(shù)( )yf x的圖像沿x

15、軸方向向上(0)a或向下(0)a平移|a個單位即可得到；1）y=f(x) h上移y=f(x)+h；2）y=f(x) h下移y=f(x) h。對稱變換：、函數(shù)()yfx的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像關于y軸對稱即可得到；y=f(x) 軸yy=f( x) 、函數(shù)( )yfx的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像關于x軸對稱即可得到y(tǒng)=f(x) 軸xy= f(x) 、函數(shù)()yfx的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像關于原點對稱即可得到y(tǒng)=f(x) 原點y= f( x) 、函數(shù))(yfx的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像關于直線yx對稱得到y(tǒng)=f(x) xy直線x=f(y) 、函數(shù))2(xaf

16、y的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像關于直線ax對稱即可得y=f(x) ax直線y=f(2a x)。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -翻折變換：、函數(shù)|( )|yf x的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像的x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留( )yfx的x軸上方部分即可得到；y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyx、函數(shù)(|)yfx的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像右邊沿y軸翻折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留( )yfx在y軸右邊部分即

17、可得到y(tǒng)=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx伸縮變換：、函數(shù)( )yafx (0)a的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像中的每一點橫坐標不變縱坐標伸長(1)a或壓縮（01a）為原來的a倍得到；y=f(x)ayy=af(x) 、函數(shù)()yf ax (0)a的圖像可以將函數(shù)( )yf x的圖像中的每一點縱坐標不變橫坐標伸長(1)a或壓縮（01a）為原來的1a倍得到。f ( x)y=f(x)axy=f(ax) （3）識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 44 頁 - -

18、- - - - - - -2冪函數(shù)yx (, )0 1在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類：1010圖在考查學生對冪函數(shù)性的掌握和運用函數(shù)的性質解決問題時，所涉及的冪函數(shù)yx中限于在集合21121312123， ，中取值。冪函數(shù)有如下性質：它的圖象都過（1， 1）點，都不過第四象限，且除原點外與坐標軸都不相交；定義域為r 或的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域為r 或，0的冪函數(shù)都不具有奇偶性；冪函數(shù)yx ()0都是無界函數(shù)； 在第一象限中， 當0時為減函數(shù)， 當0時為增函數(shù)；任意兩個冪函數(shù)的圖象至少有一個公共點（1，1） ，至多有三個公共點；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - -

19、 - - - - - - - 第 10 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第六講函數(shù)與方程一、知識精點講解1方程的根與函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點概念：對于函數(shù))(dxxfy，把使0)(xf成立的實數(shù)x叫做函數(shù))(dxxfy的零點。函數(shù)零點的意義： 函數(shù))(xfy的零點就是方程0)(xf實數(shù)根， 亦即函數(shù))(xfy的圖象與x軸交點的橫坐標。即：方程0)(xf有實數(shù)根函數(shù))(xfy的圖象與x軸有交點函數(shù))(xfy有零點。二次函數(shù))0(2acbxaxy的零點：）， 方程02cbxax有兩不等實根， 二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點；），方程02cbxax有兩相等實根

20、（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點；），方程02cbxax無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點。零點存在性定理：如果函數(shù))(xfy在區(qū)間,ba上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有0)()(bfaf，那么函數(shù))(xfy在區(qū)間),(ba內有零點。既存在),(bac，使得0)(cf，這個c也就是方程的根。2.二分法二分法及步驟：對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，且滿足)(af)(bf0的函數(shù))(xfy，通過不斷地把函數(shù))(xf的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法給定精度，用二分法求函數(shù))(xf的零

21、點近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間a，b，驗證)(af)(bf0，給定精度；（2）求區(qū)間a(，)b的中點1x；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -（3）計算)(1xf：若)(1xf=0，則1x就是函數(shù)的零點；若)(af)(1xf0，則令b=1x（此時零點),(10 xax） ；若)(1xf)(bf0，f(x)在區(qū)間 p，q上的最大值m，最小值 m，令 x0=21(p+q)。若ab2p，則 f(p)=m，f(q)=m；若 pab2x0，則 f(ab2)=m， f(q)=m；若 x0a

22、b2q，則 f(p)=m，f(ab2)=m；若ab2q，則 f(p)=m，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0 的實根分布及條件。方程 f(x)=0 的兩根中一根比r 大，另一根比r 小af(r)0；二次方程f(x)=0 的兩根都大于r0)(,2,042rfarabacb二次方程f(x)=0 在區(qū)間 (p，q)內有兩根;0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb二次方程f(x)=0 在區(qū)間 (p，q)內只有一根f(p)f(q)0，或 f(p)=0(檢驗 )或 f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p，q)內成立。精品學習資料 可選擇p d f - - - - -

23、- - - - - - - - - 第 12 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第七講空間幾何體一、知識精點講解1柱、錐、臺、球的結構特征（1）柱棱柱： 一般的， 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行， 由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面， 簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱； 旋轉軸叫做圓柱的

24、軸；垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線。棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；（2）錐棱錐： 一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的

25、曲面叫做圓錐的側面。棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。（3）臺棱臺： 用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側面、側棱、頂點。圓臺： 用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側面、母線、軸。圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。（4）球以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（5）組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫組合體。2空間幾何體的三視圖

26、三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；（2）側視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第八講空間幾何體的表面積和體積一、知識精點講解1多面體的面積和體積公式名稱側面積 (s側) 全面積 (s全) 體 積(v) 棱柱棱柱直截面周長 l s側+2

27、s底s底h=s直截面h 直棱柱ch s底h 棱錐棱錐各側面積之和s側+s底31s底h 正棱錐21ch棱臺棱臺各側面面積之和s側+s上底+s下底31h(s上底+s下底+下底下底ss) 正棱臺21(c+c )h表中 s 表示面積， c、c 分別表示上、下底面周長，h 表斜高， h表示斜高， l 表示側棱長。2旋轉體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球s側2rl rl (r1+r2)l s全2r(l+r) r(l+r) (r1+r2)l+(r21+r22) 4r2v r2h(即r2l) 31r2h 31h(r21+r1r2+r22) 34r3表中 l、 h 分別表示母線、 高，r 表示圓柱、 圓錐與球

28、冠的底半徑，r1、 r2分別表示圓臺上、下底面半徑， r 表示半徑。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第九講空間中的平行關系一、復習目標要求1平面的基本性質與推論借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內；公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條

29、過該點的公共直線；公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行；定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。2空間中的平行關系以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。通過直觀感知、操作確認， 歸納出以下判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，并加以證明：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面交線與該直線平行；兩個平面平行，則任意一個平面與這兩

30、個平面相交所得的交線相互平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。二、要點精講1平面概述（1）平面的兩個特征：無限延展平的（沒有厚度）（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面（3）平面的表示：用一個小寫的希臘字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面ac 。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -2三公理三推論: 公理 1：若一條直線上有兩個點在一個平面內，則該直線上所有的點都在這個平面內：al ,bl

31、,a,bl公理 2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。公理 3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面。推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面。3空間直線 : （1）空間兩條直線的位置關系：相交直線有且僅有一個公共點；平行直線在同一平面內，沒有公共點；異面直線不同在任何一個平面內，沒有公共點。 相交直線和平行直線也稱為共面直線。異面直線的畫法常用的有下列三種：（2）平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行

32、，這個結論在空間也是成立的。即公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（3）異面直線定理： 連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經(jīng)過此點的直線是異面直線。推理模式：,ababaab與 a 是異面直線。4直線和平面的位置關系（1）直線在平面內（無數(shù)個公共點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線和平面平行（沒有公共點）用兩分法進行兩次分類。它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a，aa，/a。aaaa線面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。推理模式：,/ababaabababbabapp精品學習

33、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式：/,/aabab5兩個平面的位置關系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點）（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。定理的模式：/ababpab推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。推論模式：,/,/abp

34、 ababp abaa bb（2）兩個平面平行的性質（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面； （2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。abcba精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第十講空間中的垂直關系一、知識精點講解1線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內

35、的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。推理模式：,poopaaaaoaaap。注意：三垂線指pa ，po ，ao都垂直 內的直線a其實質是：斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理要考慮a 的位置，并注意兩定理交替使用。2線面垂直定義： 如果一條直線l 和一個平面 相交， 并且和平面 內的任意一條直線都垂直， 我們就說直線l 和平面 互相垂直 其中直線l 叫做平面的垂線，平面 叫做直線 l 的垂面 ,直線與平面的交點叫做垂足。直線 l 與平面 垂直記作：l 。直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直

36、線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面, 那么這兩條直線平行。3面面垂直兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。兩平面垂直的性質定理： （面面垂直線面垂直） 若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。apoa精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第十一講直線、圓的方程一、知識精點講解1傾斜角：一條直線l 向上的

37、方向與x 軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為,0。2斜率：當直線的傾斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=t an;當直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在。過兩點 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式:k=tan1212xxyy（若 x1x2，則直線 p1p2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900） 。4直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點斜式y(tǒng)-y0=k( x-x

38、0) (x0，y0)直線上已知點， k斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點式121yyyy=121xxxx(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點與兩坐標軸平行的直線不能用此式截距式ax+by=1 a直線的橫截距b直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標軸平行的直線不能用此式一般式ax+by+c=0 ba，ac，bc分別為斜率、橫截距和縱截距a、 b 不能同時為零5圓的方程圓心為),(bac，半徑為r 的圓的標準方程為：)0()()(222rrbyax。特殊地，當0ba時，圓心在原點的圓的方程為：222ryx。圓 的 一 般 方 程022feydxyx， 圓 心 為 點)2,2(ed， 半

39、徑2422fedr，其中0422fed。二元二次方程022feydxcybxyax，表示圓的方程的充要條件是：、2x項2y項的系數(shù)相同且不為0，即0ca；、沒有xy 項，即 b=0；、0422afed。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第十二講直線、圓的位置關系一、知識精點講解1直線 l1與直線 l2的的平行與垂直（ 1）若 l1， l2均存在斜率且不重合： l1/l2k1=k2； l1l2k1k2=1。（ 2）若0:,0:22221111cybxalcybxal若 a1、a2、

40、b1、b2都不為零。l1/l2212121ccbbaa；l1l2a1a2+b1b2=0；l1與 l2相交2121bbaa；l1與 l2重合212121ccbbaa；注意：若a2或 b2中含有字母，應注意討論字母=0 與0 的情況。兩條直線的交點:兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。2 距離（1）兩點間距離 ：若)y,x(b),y,x(a2211，則212212)()(yyxxab特別地：x/ab軸，則ab|21xx、y/ab軸，則ab|21yy。（ 2 ） 平 行線間 距 離： 若0:,0:2211cbyaxlcbyaxl，則：2221baccd。注意點： x，y

41、 對應項系數(shù)應相等。（ 3） 點到直線的距離：0cbyax: l),y,x(p，則p 到l 的距離為：22bacbyaxd3直線0cbyax與圓222)()(rbyax的位置關系有三種（1）若22bacbbaad，0相離rd；（2）0相切rd；（3）0相交rd。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組0022feydxyxcbyax求解，通過解的個數(shù)來判斷：（1）當方程組有2 個公共解時（直線與圓有2 個交點），直線與圓相交；（2）當方程組有且只有

42、1 個公共解時（直線與圓只有1 個交點），直線與圓相切；（3）當方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為，圓心 c 到直線 l的距離為d,則直線與圓的位置關系滿足以下關系：相切d=r0；相交d0；相離dr c， b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）邊與角關系：正弦定理rccbbaa2s i ns i ns i n（r 為外接圓半徑） ；余弦定理c2 = a2+b22bccos c，b2 = a2+c22accos b，a2 = b2+c22bccos a；它們的變形形式有：a = 2r sina，ba

43、basinsin，bcacba2cos222。5三角形中的三角變換（1）角的變換因為在 abc 中， a+b+c= ，所以 sin(a+b)=sinc ；cos(a+b)= cosc；tan(a+b)= tanc。2sin2cos,2cos2sincbacba；（2）三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。（3）在 abc 中，熟記并會證明：a， b， c 成等差數(shù)列的充分必要條件是b=60； abc 是正三角形的充分必要條件是a， b， c 成等差數(shù)列且a，b，c 成等比數(shù)列。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 頁，共

44、 44 頁 - - - - - - - - -6. 面積定理（1）111222abcsahbhch（abchhh、分別表示 a、b、c 邊上的高） . （2）111sinsinsin222sabcbcacab. (3)221(| |)()2oabsoaoboa ob. 第十九講數(shù)列概念及等差數(shù)列一、知識精點講解1數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作na，在數(shù)列第一個位置的項叫第1 項（或首項） ，在第二個位置的叫第2 項，序號為n的項叫第n項（也叫通項）記作na；數(shù)列的一般形式：1a，2a，3a，na，簡記作na。（2）通項公式的定義：

45、如果數(shù)列na的第 n 項與 n 之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如，數(shù)列的通項公式是na= n（n7，nn） ，數(shù)列的通項公式是na= 1n（nn） 。說明：na表示數(shù)列，na表示數(shù)列中的第n項，na= fn表示數(shù)列的通項公式； 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，na= ( 1)n=1,21()1,2nkkznk；不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4 ，1.41 ，1.414 ，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號： 1 2 3 4 5 6 項：4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從

46、函數(shù)觀點看， 數(shù)列實質上是定義域為正整數(shù)集n（或它的有限子集）的函數(shù)( )f n當自變量n從 1 開始依次取值時對應的一系列函數(shù)值(1),(2),(3),fff，( )f n，通常用na來代替fn，其圖象是一群孤立點。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關系分：單調數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列na的第 1 項（或前幾項） ，且任一項na與它的前一項1na（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。2等差數(shù)列（1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每

47、一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)， 那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。（2）等差數(shù)列的通項公式：1(1)naand；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為a p數(shù)列）的單調性：d0為遞增數(shù)列，0d為常數(shù)列，0d為遞減數(shù)列。（3）等差中項的概念：定義：如果a，a，b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項。其中2abaa，a，b成等差數(shù)列2aba。（4）等

48、差數(shù)列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nsnad。39. 數(shù)列的同項公式與前n 項的和的關系11,1,2nnnsnassn( 數(shù)列na的前 n 項的和為12nnsaaa). 4. 等差數(shù)列的通項公式*11(1)()naanddnad nn；其前 n 項和公式為1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 5. 等比數(shù)列的通項公式1*11()nnnaaa qqnnq；其前 n 項的和公式為11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 6. 等比、差數(shù)列na:11,(0)nnaqad ab q的通項公式為1

49、(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 項和公式為(1) ,(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbnqqqq. 7.分期付款 (按揭貸款 ) 每次還款(1)(1)1nnabbxb元(貸款a元,n次還清 ,每期利率為b). 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第二十講等比數(shù)列一、知識精點講解1等比數(shù)列定義一般地， 如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常

50、用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q數(shù)列對于數(shù)列（1） （2） （3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是 2，5，21。 （注意：“從第二項起” 、 “常數(shù)”q、等比數(shù)列的公比和項都不為零）2等比數(shù)列通項公式為：)0(111qaqaann。說明： （ 1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當公比1d時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（ 2）等比數(shù)列的通項公式知：若na為等比數(shù)列，則m nmnaqa。3等比中項如果在ba與中間插入一個數(shù)g，使bga,成等比數(shù)列， 那么g叫做ba與的等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）。4等比數(shù)列前n 項和公式一般地，設等比數(shù)列123,na

51、aaa的前 n 項和是ns123naaaa，當1q時，qqasnn1)1(1或11nnaa qsq；當 q=1 時，1nasn（錯位相減法） 。說明： （1）nsnqa,1和nnsqaa,1各已知三個可求第四個； （2） 注意求和公式中是nq，通項公式中是1nq不要混淆；（3）應用求和公式時1q，必要時應討論1q的情況。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 36 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -數(shù)列求和一、知識精點講解1數(shù)列求通項與和（1）數(shù)列前n 項和 sn與通項 an的關系式： an=11sssnn12nn。（2）求

52、通項常用方法構造新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；累差疊加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+ +(a2a1)+a1；歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n 項和重要公式：1+2+n=21n(n+1) ；12+22+n2=61n(n+1)(2n+1) ；13+23+n3=(1+2+ +n)2=41n2(n+1)2；等差數(shù)列中，sm+n=sm+sn+mnd；等比數(shù)列中，sm+n=sn+qnsm=sm+qmsn；裂項求和將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1) f(n) ，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項

53、，如：)11(1)(1canbanbccanbanan、)1(1nn=n111n等。錯項相消法對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應項之積組成的數(shù)列的前n 項和，常用錯項相消法。nnncba, 其中nb是等差數(shù)列，nc是等比數(shù)列，記nnnnncbcbcbcbs112211，則1211nnnnnqsb cbcb c，并項求和把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求sn。數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。通項分解法：nnncba精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 37 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -第二十一講

54、圓錐曲線方程及性質一、知識精點講解1橢圓（1）橢圓概念平面內與兩個定點1f、2f的距離的和等于常數(shù)（大于21|f f）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若m為橢圓上任意一點，則有21| 2mfmfa。橢圓的標準方程為：22221xyab（0ab） （焦點在x 軸上）或12222bxay（0ab） （焦點在y 軸上） 。注：以上方程中,a b的大小0ab，其中222cab；在22221xyab和22221yxab兩個方程中都有0ab的條件， 要分清焦點的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如橢圓221xymn（0m，0n，mn）當mn時表示焦點在x軸上的橢

55、圓；當mn時表示焦點在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質范圍：由標準方程22221xyab知|xa，|yb，說明橢圓位于直線xa，yb所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里，若以y代替y方程不變，所以若點( , )x y在曲線上時，點( ,)xy也在曲線上，所以曲線關于x軸對稱， 同理，以x代替x方程不變， 則曲線關于y軸對稱。若同時以x代替x，y代替y方程也不變，則曲線關于原點對稱。所以，橢圓關于x軸、y軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令0 x，得yb，則

56、1(0,)bb，2(0, )bb是橢圓與y軸的兩個交點。同理令0y得xa，即1(,0)aa，2( ,0)aa是橢圓與x軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段21a a、21b b分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為a；在22rt ob f中，2|obb，2|ofc，22|b fa，且2222222|ofb fob，即222cac；離心率：橢圓的焦距與長軸的比cea叫橢圓的離心率。0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，對應的橢圓越扁

57、；反之，e越接近于0，c就越接近于0，從而b越接近于a，這時橢圓越接近于圓。當且僅當ab時，0c，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為222xya。2雙曲線（1）雙曲線的概念平 面 上 與 兩 點 距 離 的 差 的 絕 對 值 為 非 零 常 數(shù) 的 動 點 軌 跡 是 雙 曲 線（12| 2pfpfa） 。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 38 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -注意：（ * ）式中是差的絕對值，在1202|af f條件下；12|2pfpfa時為雙曲線的一支（含2f的一支）；21|2pfpfa時為雙曲線的

58、另一支（含1f的一支）； 當122|af f時 ，12| 2pfpfa表 示 兩 條 射 線 ； 當122|af f時 ，12| 2pfpfa不表示任何圖形； 兩定點12,ff叫做雙曲線的焦點，12|f f叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢圓雙曲線定義1212| 2 (2|)pfpfaaf f1212| 2 (2|)pfpfaaf f方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦點(,0)fc(0,)fc(,0)fc(0,)fc注意：如何有方程確定焦點的位置?。?）雙曲線的性質范圍：從標準方程12222byax，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線ax的外側。

59、即22ax，ax即雙曲線在兩條直線ax的外側。對稱性：雙曲線12222byax關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸， 原點是雙曲線12222byax的對稱中心， 雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線12222byax的方程里，對 稱 軸 是, x y軸 ， 所 以 令0y得ax， 因 此 雙 曲 線 和x軸 有 兩 個 交 點)0,()0 ,(2aaaa，他們是雙曲線12222byax的頂點。令0 x，沒有實根，因此雙曲線和y 軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分

60、別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段2aa叫做雙曲線的實軸，它的長等于2 ,a a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段2bb叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2 ,b b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線12222byax的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 39 頁，共 44 頁 - - - - - - - - -等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：ab；2）等軸雙曲線的性質： （1）漸近