高中應(yīng)用題資料

1、  數(shù)學(xué)應(yīng)用問題 一、知識要點    數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指有實際背景或問題有實際意義的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)的高度抽象決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，因而應(yīng)用題的非數(shù)學(xué)背景是多種多樣的，解應(yīng)用題往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的有關(guān)問題，并舍棄與數(shù)學(xué)無關(guān)的非本質(zhì)因素，通過抽象轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。解題的一般步驟為：    （1）縝密審題：要冷靜讀題，理解問題的實際背景，明確題意，把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。    （2）建立數(shù)學(xué)模型：具體分析問題中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目的特點，建立能正確反映原問題實質(zhì)的數(shù)學(xué)模型

2、，將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。    （3）運用數(shù)學(xué)知識和方法解決上述數(shù)學(xué)問題，檢驗結(jié)果的實際意義，作出答案。建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，要注重積累，認(rèn)真總結(jié)，掌握常見數(shù)學(xué)模型的構(gòu)作方法。           二、例題解析例1、 某林場原有森林木材存量為a，木材以每年25%的增長率生長，若每年冬天需要砍伐的木材量是一個常量，為了實現(xiàn)經(jīng)過20年達到木材存量至少翻兩番的目標(biāo)，那么每年至多只能砍伐多少木材量？（計算時取 lg2=0.30 ）。     

3、 解：本例可以將實際問題歸納為數(shù)列問題，然后通過解不等式解決，它是一類問題的代表。 設(shè)每年冬天木材砍伐量為x，扣除砍伐量后，木材存量組成一個數(shù)列，解：本例可以將實際問題歸納為數(shù)列問題，然后通過解不等式解決，它是一類問題的代表。 設(shè)每年冬天木材砍伐量為x，扣除砍伐量后，木材存量組成一個數(shù)列，即數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比  則lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2A=100即數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比  則lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2A=100答：每年至多只能砍伐木材量。   例2、 假設(shè)國家收購某種農(nóng)產(chǎn)品的價格是12

4、0元/擔(dān)，其中征稅標(biāo)準(zhǔn)為每100元征8元（叫作稅率為8個百分點，即8%）。計劃可收購m萬擔(dān)，為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定稅率降低x個百分點，預(yù)計收購量可增加2x個百分點。（1）寫出稅收y（萬元）與x的函授關(guān)系式；（2）要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原計劃的78%，試確定x的范圍。    解：解答實際應(yīng)用題的關(guān)鍵在于如何將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的符號語言。（1）由題設(shè)，調(diào)節(jié)后稅率為（8-x）%，預(yù)計可收購          m(1+2x%)萬擔(dān)，總金額為120m（1+2x%) 萬元，&

5、#160;   依題意得 ：                 （2）原計劃稅收為萬元，依題意有：                  故為所求。       例3、在一張半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度I和燈光射到桌子邊緣的光

6、線與桌面的夾角的正弦成正比，而和這一點到光源的距離 r 的平方成反比，即：，其中k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？  解：本題即為題目中提供解決問題的經(jīng)驗公式的一類應(yīng)用題，如圖所示，問題的本質(zhì)是求照度I取最大值時，高度h 應(yīng)取何值，從題設(shè)公式 中，可以看出影響I的大小變化的是兩個變量與 r ，如何用h表示與r，或者設(shè)法消去與 r 中的一個，總之使照度 I 成為一元函數(shù)，再求出函數(shù)取得最大值的條件即成為解題的關(guān)鍵。為便于求I的最大值，可先求的最大值，（常數(shù)）當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式取等號，亦即取得最大值，同時I取得最大值。此時，當(dāng)把燈掛在桌面

7、正中央離桌面處時，桌子邊緣亮度最大。     例4、某工廠擬建造一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池（平面圖如下），由于地形限制，長、寬都不能超過16米。如果池外圈周壁造價為每米400元，中間兩條隔墻造價為每米248元，池底造價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計。試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。解：設(shè)污水池長x米，則寬為米，總造價:當(dāng)且僅當(dāng)，即x=18時取等號。  即Q(x)最小值不是44800元。為求Q(x)在上的最小值，不妨研究 Q(x)的單調(diào)性： 故在上是減函數(shù)故最小值為即x=16米時，綜上知，當(dāng)污水池長為16

8、米，寬為12.5米時，總造價最低，為45000元。     三、復(fù)習(xí)思考1、將一半徑為R的木球加工成一正方體木塊，則木塊的最大體積為（ ）  A、    B、   C、     D、       2、某拋物線形拱橋的跨度為20米，拱高是4米，在建橋時，每隔4米需用一根柱支撐，其中最長的支柱是（ ）  A、1.48米      B、2.92米    

9、 C、3.84米     D、4米  3、某工廠生產(chǎn)機器的產(chǎn)量，第二年比第一年增長的百分率為，第三年比第二年增長的百分率為，第四年比第三年增長的百分率為，設(shè)年平增長率為P，且+為定值，則P的最大值為        4、某地區(qū)有綠地 1000畝，計劃以后三年中每年比前一年增加10%，則三年后綠地的畝數(shù)是                5、某企業(yè)經(jīng)過調(diào)整后，第一年的資金增

10、長率為300%，以后每年的資金增長率都是前一年增長率的。 （1）經(jīng)過4年后，企業(yè)的資金是原來資金的多少倍？ （2）如果由于某種原因，每年損失資金的5%，那么經(jīng)過多     少年后企業(yè)的 資金開始下降？ 解：本例可以將實際問題歸納為數(shù)列問題，然后通過解不等式解決，它是一類問題的代表。 設(shè)每年冬天木材砍伐量為x，扣除砍伐量后，木材存量組成一個數(shù)列，即數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比  則lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2A=100一、知識要點    數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指有實際背景或問題有實際意義的數(shù)學(xué)問題。

11、數(shù)學(xué)的高度抽象決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，因而應(yīng)用題的非數(shù)學(xué)背景是多種多樣的，解應(yīng)用題往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的有關(guān)問題，并舍棄與數(shù)學(xué)無關(guān)的非本質(zhì)因素，通過抽象轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。解題的一般步驟為：    （1）縝密審題：要冷靜讀題，理解問題的實際背景，明確題意，把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。    （2）建立數(shù)學(xué)模型：具體分析問題中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目的特點，建立能正確反映原問題實質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。    （3）運用數(shù)學(xué)知識和方法解決上述數(shù)學(xué)問題，檢驗結(jié)果的實際意義，作出答案。建

12、立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，要注重積累，認(rèn)真總結(jié)，掌握常見數(shù)學(xué)模型的構(gòu)作方法。           二、例題解析例1、 某林場原有森林木材存量為a，木材以每年25%的增長率生長，若每年冬天需要砍伐的木材量是一個常量，為了實現(xiàn)經(jīng)過20年達到木材存量至少翻兩番的目標(biāo)，那么每年至多只能砍伐多少木材量？（計算時取 lg2=0.30 ）。      解：本例可以將實際問題歸納為數(shù)列問題，然后通過解不等式解決，它是一類問題的代表。 設(shè)每年冬天木材砍伐量為x，扣除砍伐量后，木材存量組成一個

13、數(shù)列，即數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比  則lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2A=100答：每年至多只能砍伐木材量。   例2、 假設(shè)國家收購某種農(nóng)產(chǎn)品的價格是120元/擔(dān)，其中征稅標(biāo)準(zhǔn)為每100元征8元（叫作稅率為8個百分點，即8%）。計劃可收購m萬擔(dān)，為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定稅率降低x個百分點，預(yù)計收購量可增加2x個百分點。（1）寫出稅收y（萬元）與x的函授關(guān)系式；（2）要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原計劃的78%，試確定x的范圍。    解：解答實際應(yīng)用題的關(guān)鍵在于如何將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的符號語言。（1）由題設(shè)，調(diào)節(jié)

14、后稅率為（8-x）%，預(yù)計可收購          m(1+2x%)萬擔(dān)，總金額為120m（1+2x%) 萬元，    依題意得 ：                 （2）原計劃稅收為萬元，依題意有：            

15、60;     故為所求。       例3、在一張半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度I和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，而和這一點到光源的距離 r 的平方成反比，即：，其中k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？  解：本題即為題目中提供解決問題的經(jīng)驗公式的一類應(yīng)用題，如圖所示，問題的本質(zhì)是求照度I取最大值時，高度h 應(yīng)取何值，從題設(shè)公式 中，可以看出影響I的大小變化的是兩個變量與 r ，如何用h表示與r，或者設(shè)法消去與 r 中的一

16、個，總之使照度 I 成為一元函數(shù)，再求出函數(shù)取得最大值的條件即成為解題的關(guān)鍵。為便于求I的最大值，可先求的最大值，（常數(shù)）當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式取等號，亦即取得最大值，同時I取得最大值。此時，當(dāng)把燈掛在桌面正中央離桌面處時，桌子邊緣亮度最大。     例4、某工廠擬建造一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池（平面圖如下），由于地形限制，長、寬都不能超過16米。如果池外圈周壁造價為每米400元，中間兩條隔墻造價為每米248元，池底造價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計。試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。解：設(shè)污水池長x米，則寬為米，總

17、造價:當(dāng)且僅當(dāng)，即x=18時取等號。  即Q(x)最小值不是44800元。為求Q(x)在上的最小值，不妨研究 Q(x)的單調(diào)性： 故在上是減函數(shù)故最小值為即x=16米時，綜上知，當(dāng)污水池長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，為45000元。     三、復(fù)習(xí)思考1、將一半徑為R的木球加工成一正方體木塊，則木塊的最大體積為（ ）  A、    B、   C、     D、       2、某拋物線形拱橋的跨度為20米，拱高是4米，在建橋時，每隔4米需用一根柱支撐，其中最長的支柱是（ ）  A、1.48米      B、2.92米     C、3.84米     D、4米  3、某工廠生產(chǎn)機器的產(chǎn)量，第二年比第一年增長的百分率為，第三年比第二年增長的百分率為，第四年比第三年增長的百分率為，設(shè)年平增長率為P，且+為定值，則P的最大值為