淺析數(shù)學開放性問題的教學功能

1、淺析數(shù)學開放性問題的教學功能贛州市黃金中學 彭 翔【摘要】條件和結(jié)論不完備或不確定、解題策略多樣化的數(shù)學開放性問題，對學生具有挑戰(zhàn)性和探究性，是最富有教育價值的一種數(shù)學問題的題型。她在數(shù)學教學中，具有激活認知內(nèi)驅(qū)力，促進學生自主學習；提高認知水平，培養(yǎng)探究習慣和思維品質(zhì)；體驗探究數(shù)學問題的思想方法，促進學生良好認知結(jié)構的形成；利于因材施教，使每個學生都得到發(fā)展；提供更多交流與合作的機會，提高教學活動效率；利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提高創(chuàng)新素質(zhì)；利于開展研究性學習，培養(yǎng)學生探究能力，增強學生數(shù)學應用意識；為學生創(chuàng)設“問題”情景，教給學生提出問題的方法，促進學生發(fā)現(xiàn)并提出新的數(shù)學問題；能有效提高學生

2、學習數(shù)學的興趣和自信，促進智力因素與非智力因素的協(xié)同發(fā)展等教學功能。對推動數(shù)學教學改革、提高教師教育教學水平具有重要的作用?！娟P鍵詞】數(shù)學開放題；教學功能 數(shù)學開放題是70年代開始出現(xiàn)的一種新題型，其社會背景是新技術革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學教育培養(yǎng)出有更高數(shù)學素養(yǎng)、具有更強的創(chuàng)造能力的人，她被人們認為是最富有教育價值的一種數(shù)學問題的題型。教育部中考改革指導意見明確指出：“理科在試卷中適當增加開放性試題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，初步體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求?！币虼耍谥锌贾幸腴_放性試題，對數(shù)學科教學提出了一個新的課題。數(shù)學開放性問題指條件和結(jié)論不完備或不確定、解題策略多樣化的題目，它一般需要學

3、生通過觀察、試驗、估計、猜測、類比和歸納等才能解決，對學生具有挑戰(zhàn)性和探究性。筆者經(jīng)過十多年的教學實踐深刻認識到：把數(shù)學開放性問題引入教學中，是提高課堂教學質(zhì)量的重要而有效的途徑，對全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng)具有重要的作用。一、激活認知內(nèi)驅(qū)力，促進學生自主學習國際數(shù)學教育委員會指出：“培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度是中小學數(shù)學的一個共同目的，幫助學生體驗這種智力的歡樂是達到目的的一種手段，然而實際上任何學校這種歡樂都是有限的。也許在數(shù)學課堂更多地進行沒有固定答案的研討的趨勢，將會使更多的學生首次體驗到科學女皇賦予該學科的美感。”認知內(nèi)驅(qū)力是學習動機的重要組成部分，它直接指向?qū)W習活動本身，是一種了解和理解

4、的需要要求掌握知識的需要、系統(tǒng)地闡述問題并解決問題的需要。它派生于探求、操作、領會及應付等心理素質(zhì)，但在學習活動中受到激活、增強和系統(tǒng)培養(yǎng)。在數(shù)學學習中，認知內(nèi)驅(qū)力是頭等重要的內(nèi)部動機，且隨學生年齡增大而表現(xiàn)得越發(fā)明顯。初中生常把自己當作是或希望自己是一個探究者和發(fā)現(xiàn)者，有較強的好奇心，而好奇心是對不確定性或模棱兩可情況的一種反映，具有適度不確定性的開放性問題是激起學生探究活動的最好素材，它能滿足學生成為探究者、發(fā)現(xiàn)者的愿望。例1 如圖，1=2，為了使ABCABD，必須補充一個條件，請補上這個條件。 學生的答案多種多樣，但有的成立，有的不成立。那么，在眾多的答案(涉及邊，角，周長，面

5、積，相似，對稱，外接圓、內(nèi)切圓半徑)中哪些是成立的？哪些是不成立的？這道似乎簡單而又富有研究價值的開放性問題能有效激發(fā)學生的探究欲望。我們把它作為一個探究性問題進行教學，效果非常顯著。二、提高認知水平，培養(yǎng)探究習慣和思維品質(zhì)認知心理學告訴我們，有意義學習的深入，依賴于學生對認知對象理解的加深，認知程度的提高，而學生學習的重要目的之一乃是本身理解能力與認知水平的提高。恰當?shù)拈_放性問題是實現(xiàn)這一目標的有效途徑。例2 在學習三角形全等的判定定理時，提出如下兩個問題：問題一：有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等嗎？(若這個角是兩邊的夾角，則這兩個三角形全等；若這個角是其中一邊的對角：當這個角是直角時，

6、這兩個三角形全等；當這個角是頓角時，這兩個三角形全等；當這個角是銳角時，這兩個三角形不全等。)問題二：有五個元素(邊、角)分別相等的兩個三角形全等嗎？(絕大多數(shù)的學生認為一定全等，當他們知道“五個元素”是“分別相等”而不是“對應相等”時，大多數(shù)的學生仍然認為一定全等，究其原因是：兩個三角形共六個元素，一般只要三個元素對應相等，兩個三角形就全等，而現(xiàn)在有五個元素分別相等，即使“不對應”也會全等，直至經(jīng)過一番探索，舉出反例時，才恍然大悟！)。 對于這兩個問題，學生十分積極發(fā)表自己的見解，但表現(xiàn)出不同的認知水平，在教師的啟導下，經(jīng)過辯論、探討，學生從模糊到清晰，明顯提高了對問題理解的深度及

7、認知水平。三、體驗探究數(shù)學問題的思想方法，促進良好認知結(jié)構的形成 認知心理學的核心論點是：學習是認知結(jié)構的組織和再組織。學生有效學習的最終結(jié)果必然是在自己的頭腦里構建有成效的認知結(jié)構，這個結(jié)構具有穩(wěn)定性、清晰性和可利用性。研究表明，大量的題型復制、繁難的習題求解演示和解題術的記憶與重復等活動并不能導致這三種特征的獲得，而功能性較強的思想方法、具有發(fā)現(xiàn)意義的思維活動過程和富有條理性的認知策略的開放性問題則對這三種特征的獲得具有積極的意義。例3  順次連結(jié)ABC各邊中點得到DEF，你可發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？(DEFADEDBFEFC，DEFABC，DEF的周長是ABC的一半，SDEF=

8、1/2SABC)。若把三角形改為四邊形，即順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點得到四邊形MNPQ，你可發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？(MNPQ為平行四邊形，MP與NQ互相平分，SABCD=2SMNPQ)。若ABCD是平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，則MNPQ是什么四邊形？為了使MNPQ是矩形、菱形、正方形，則ABCD必須滿足什么條件？  對這兩個問題學生需要經(jīng)過觀察、試驗(特殊驗證)、估計、猜測、類比和歸納等才能發(fā)現(xiàn)結(jié)論。這種親身體驗“發(fā)現(xiàn)”的過程，是一種研究策略的縮影，符合學生的認識規(guī)律，有利于學生體會數(shù)學知識之間的有機聯(lián)系，形成良好的認知結(jié)構。數(shù)學開放性問題的教學過程是學生主動構建

9、、積極參與的過程，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，發(fā)展學生的數(shù)感，真正學會“數(shù)學地思維”；數(shù)學開放性問題的教學過程，也是學生探索和創(chuàng)造的過程，有利于培養(yǎng)學生的探索開拓精神和創(chuàng)造能力。四、利于因材施教，使每個學生都得到發(fā)展每一種教育理論對教學活動都提出了“量力性原則”根據(jù)學生現(xiàn)有水平從事教學，即根據(jù)每個學生的現(xiàn)有基礎水平提出教學要求，在每個學生思維的“現(xiàn)有發(fā)展區(qū)”進行教學?？墒?，學生的個體差異是客觀存在的，每個學生都有其獨特的個性和特長，一個教學班的學生基礎水平往往參差不齊，有的相差甚遠。因此，對一個正常班級而言，要實施“量力性原則”，其難度是很大的。但是，某些開放性問題卻可以顯示出意想不到的教學功能

10、。由于條件開放、結(jié)論開放、解法開放，沒有硬性規(guī)定和統(tǒng)一要求，學生大可根據(jù)自己的實際情況、放開手腳進行作答，給各類學生提供了獲得成功的機會。例4 如何判斷一個四邊形是否為矩形？指出你所采用的工具和根據(jù)。解決這個問題的方法有：用三角板或量角器判斷四邊形的三個角是否為直角？用圓規(guī)比較兩組對邊和兩條對角線的長度是否相等？用刻度尺比較兩條對角線是否互相平分？，基礎差者可找出一、二種方法，優(yōu)等生可找出五、六種方法。教學時，可先讓“中下生”作答，再由“中等生”補充，最后讓“優(yōu)等生”來完成。這樣，全體學生各盡所能，都能得到應有的發(fā)展。五、提供更多交流與合作的機會，提高教學活動效率教學過程是一個師生之間、生生之

11、間多邊交流活動的過程。若沒有師生之間、生生之間的相互合作，教學過程就只能流于形式，教學任務就無法真正得到落實?？梢哉f，合作學習是教學過程本身的客觀要求，它對學生良好性格的形成、集體觀念的建立、合作意識的培養(yǎng)等都有重要的意義。數(shù)學開放性問題往往需要學生共同合作、相互交流才能獲得圓滿解決。 例5 以小組為單位探索研究如何測算操場旗桿的高度。這個問題，沒有限定測量的方法和使用的工具，各小組必須共同出謀獻策，自己設計方案。俗語說：“三個臭皮匠，勝過一個諸葛亮”，各小組學生經(jīng)過探討，想出了多種測算方法(利用解直角三角形，利用影長，利用平行線比例線段等)。在解決過程中，教師與學生，學生與學生共同

12、探究，一起爭辯，互相啟發(fā)和鼓舞，教學活動效率很高。六、有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提高學生創(chuàng)新素質(zhì)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)在數(shù)學教學中表現(xiàn)為培養(yǎng)學生對數(shù)學科學知識、方法的重新發(fā)現(xiàn)，這種能力的培養(yǎng)要借助于學生在學習數(shù)學中的歸納、類比、聯(lián)想、猜想、構造等能力的提高。在數(shù)學教學中設置開放性問題正是培養(yǎng)學生這方面的能力。由于這類問題的題設和結(jié)論部分僅指出一個探索方向，需要在解題時更多地獨立思考和探索，無疑對培養(yǎng)學生良好的創(chuàng)新思維品質(zhì)(獨立性、變通性、發(fā)散性、重組性、遷移性、流暢性、多向性、質(zhì)疑性等)大有補益。例6 如圖，半徑為r、R的O1與O2外切于P，過P作直線交O1、O2于A、B。問：你可發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？(P

13、A：PB=r：R)；再過P作直線交O1、O2于C、D，又發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？(PA：PB=PC：PD=r：R，PABPCD，ABCD)；若把外切改為內(nèi)切、相交，結(jié)論將怎樣變化？   這些相關聯(lián)的一個個問題，對學生具有強烈刺激、啟發(fā)學生進行多種思考、誘導學生創(chuàng)新意識的因素，能產(chǎn)生解題的緊迫感，具有連續(xù)進行探討的特點，通過解題的過程及結(jié)果可發(fā)現(xiàn)問題的一般性、規(guī)律性，使解決的結(jié)果具有吸引學生的魅力，使學生嘗到解題后的喜悅。七、有利于開展研究性學習，培養(yǎng)學生探究能力，增強學生數(shù)學應用意識探究即“追根究底”，以問題為主線，讓學生通過究底的學習養(yǎng)成獨立思考問題的好習慣，利于加強主體精神、探究

14、態(tài)度、科學方法、創(chuàng)造才能的培養(yǎng)。特別是通過學習活動，給學生提供個性發(fā)展機會，鼓勵學生提出不同見解，尊重學生任何奇思妙想，給學生提供自由的探究空間，為能力培養(yǎng)提供學習環(huán)境。例7 生活中到處都有圓形的物體，如何測量它們的半徑呢？請你設計出幾種測算方案，指出所用的工具、優(yōu)缺點和適用的范圍。這是一道較強的開放性問題，情景自然真實，學生解決這個問題的過程是一個研究的過程，不但需要聯(lián)想到與圓有關的知識(圓的周長公式、直徑的性質(zhì)與判定、垂徑定理及其推論、切線的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)、勾股定理等)，還需要動手操作、構造圖形、進行數(shù)學實驗的活動過程，不僅需要傳統(tǒng)意義上的數(shù)學推理能力，而且更需要有分析和解決問題策略

15、層面的素養(yǎng)，有利于對學生進行過程性評價。在數(shù)學教學中開展研究性學習是一個難點。例7不僅提供了一個設計開放性題目的案例，同時也提供了平時教學設計這類問題的方法。本題與傳統(tǒng)考查學生應用數(shù)學知識解決實際問題的題目相比，它倡導一種新的數(shù)學教學理念數(shù)學教學要引導、促進和發(fā)展學生“數(shù)學地”看世界、看生活。八、為學生創(chuàng)設“問題”情景，教給學生提出問題的方法，促進學生發(fā)現(xiàn)提出新的數(shù)學問題“發(fā)明千千萬，起點是一問”。數(shù)學的發(fā)展過程是一個不斷提出問題，解決問題的過程。從培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的角度看，提出問題比解決問題更重要。目前的中學數(shù)學教學中大多數(shù)老師重視向?qū)W生提問，但普遍忽視啟發(fā)學生自己去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，在日

16、常的數(shù)學學習中，學生沒有想到去提問題，也不知道怎樣去提問題。而條件和結(jié)論不完備或不確定、解題策略多樣化的數(shù)學開放性問題具有很強的疑問性，能誘導學生猜測各種不同的條件、結(jié)論、思路，促使學生提出各種不同的問題。例8 P為等腰ABC底邊BC上一動點，當P在線段BC上運動時，P到兩腰的距離之和怎樣變化？當P在BC延長線上運動時，結(jié)論還成立嗎？當P在等腰ABC所在平面上運動時，結(jié)論成立嗎？若把等腰三角形改為等邊三角形，P在等邊三角形邊上、內(nèi)部、外部運動時，又發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？  這些問題，具有誘發(fā)學生問題意識的因素，可促使學生提出更多的問題能否把上述結(jié)論推廣到任意三角形、平行四邊形、梯形

17、、正多邊形？從而教給學生提問題的一些方法。九、能有效提高學生學習數(shù)學的興趣和自信，促進智力因素與非智力因素的協(xié)同發(fā)展興趣是學習的源泉，但很多學生一般都對數(shù)學學習缺乏興趣，學習中難以形成愉快體驗。究其原因是傳統(tǒng)應試教育的教學方式過分注重結(jié)論及解題的方法和技巧，注重數(shù)學的嚴謹性、邏輯性，導致學生看不到數(shù)學被發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，從而對數(shù)學學習產(chǎn)生錯覺和誤解，認為數(shù)學只是一些枯燥的公式和定理的堆砌，學習就是記憶和模仿，未達到對知識的真正理解，主體性得不到體現(xiàn)，使學生對數(shù)學敬而遠之，久而久之失去了對數(shù)學的興趣和自信。數(shù)學開放性問題的教學注重數(shù)學探究發(fā)現(xiàn)的過程，幫助學生像數(shù)學家一樣“再創(chuàng)造數(shù)學”，使學生認識

18、到數(shù)學不是由少數(shù)天才創(chuàng)造的，而是經(jīng)過努力一般人都能發(fā)現(xiàn)的。教師不斷為學生創(chuàng)設成功情境，使學生在探究學習中不斷獲得成功，深信自己的智慧和力量。數(shù)學開放性問題的解決對智力有一定的挑戰(zhàn)性，同時從問題的特征看，內(nèi)容、形式具有新穎性和探究性，不但容易激發(fā)學生興趣情感，在問題解決過程中需要有一定的意志和毅力，容易養(yǎng)成學生的個性品質(zhì)，促進非智力因素的發(fā)展。因而對開放性問題的學習能促進智力因素和非智力因素的同步發(fā)展。以上是我們在實踐中對數(shù)學開放性問題教學功能的幾點認識。其實，數(shù)學開放性問題的教學功能遠不止以上這些，它還有消除學生模仿解題的習慣，克服學生被動學習的弊端，改進學生的學習方法，比較全面考查學生能力的功能，對推動數(shù)學教學改革、提高教師教學水平具有重要的作