高二數(shù)學學案(選修2-3)第三章

1、高二數(shù)學學案（選修2-3） 第三章 審稿人：高二數(shù)學組 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學習目標：1. 能知道用回歸分析處理兩個變量之間的不確定關(guān)系的統(tǒng)計方法2. 會利用散點圖分析兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系.會利用殘差及來刻畫線性回歸模型的擬合效果3. 能記住建立回歸模型的方法和步驟；能知道如何利用線性回歸模型求非線性回歸模型學習重點：建立變量之間的線性回歸方程，能根據(jù)散點圖初步判斷兩個變量之間是否具有線性關(guān)系學習難點：1.會求線性回歸方程 2.掌握建立回歸模型的步驟，會選擇回歸模型，特別是非線性回歸模型學習過程：一、知識探究1.回歸分析（1）函數(shù)關(guān)系是一種 關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種 關(guān)系（

2、2）回歸分析是對具有 關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法（3）對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： = ， 其中 ， 稱為樣本點的中心（4）相關(guān)系數(shù)：衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱計算公式： = 注：時，表明兩個變量 相關(guān)；時，表明兩個變量 相關(guān)越接近于 ，表明兩個變量線性相關(guān)性越強越接近于 ，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系2.線性回歸模型在線性回歸模型（其中為模型的未知參數(shù)）中，稱為 ，自變量稱為 ，因變量稱為 探究： 產(chǎn)生隨機誤差的原因 線性回歸模型與一次函數(shù)的不同3.殘差(1)定義:在回歸分析中，對應(yīng)于樣本點的隨機誤差的估計值 稱為

3、相應(yīng)于點的 (2)殘差圖：以 為橫坐標， 為縱坐標作出的圖形稱為殘差圖.注：殘差圖是用來刻畫回歸效果的，判斷依據(jù)是殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報精度越高(3)殘差分析：在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù) 來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù).然后，通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在 ，這方面的分析工作稱為殘差分析4.相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)可以用來刻畫回歸的效果，其計算公式是= 在線性回歸模型中，越大，意味著殘差平方和越小，即模型的擬合效果 ，越小，意味著殘差平方和越大，即模型

4、的擬合效果 注：在含有一個解釋變量的線性回歸模型中，恰好等于相關(guān)系數(shù)的平方5.非線性回歸方程當回歸方程不是形如時，稱之為 ，非線性回歸方程也可以 （1）將冪函數(shù)型函數(shù)（為常數(shù)，均取正值）化為線性函數(shù)： 將兩邊取常用對數(shù)，則有 ，令代入上式得 （其中是常數(shù)），其圖象是一條直線（2）將指數(shù)型函數(shù)（為常數(shù)，且）化為線性函數(shù)： 將兩邊取常用對數(shù)，則有 ，令代入上式得 （其中是常數(shù)），其圖象是一條直線6.建立回歸模型的基本步驟：（1）確立研究對象，明確哪個變量是 ，那個變量是 （2）畫好確定好的解釋變量和預(yù)報變量的 ，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（4）按一定規(guī)

5、則（如最小二乘法）估計回歸方程中的參數(shù)（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（如個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等等），若存在差異，則檢驗數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等注：有關(guān)回歸方程需要注意下列問題 回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體 我們所建立的回歸方程一般都有時間性 樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍 不能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值二、理論遷移 例1：（1）如果記錄了的幾組數(shù)據(jù)分別為則關(guān)于的線性回歸直線必過點（ ）A. B. C. D. （2）下列四個命題中正確是（ ） 在線性回歸模型中，預(yù)報真實值的隨機誤差，它是一個觀測的量； 殘差平方和越小的模型

6、，擬合的效果越好； 用來刻畫回歸方程，越小，擬合的效果越好； 在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，若帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明擬合精度越高回歸方程的預(yù)報精度越高.A B C D（3）在兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型.它們的相關(guān)指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（ ） A模型1的相關(guān)指數(shù)為0.98B模型2的相關(guān)指數(shù)為0.80C模型3的相關(guān)指數(shù)為0.50D模型4的相關(guān)指數(shù)為0.25題型一 求線性回歸方程例2：某班5名學生的數(shù)學和物理成績?nèi)缦卤恚篈BCDE數(shù)學成績(x)8876736663物理成績(y)7865716461(1)畫出散點圖(2)求物理

7、成績y對數(shù)學成績x的回歸直線方程(3)一名學生的數(shù)學成績是96，試預(yù)測他的物理成績題型二 線性回歸分析例3：為研究重量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同重量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求線性回歸方程(2)求出R2(3)進行殘差分析例4：已知某種商品的價格x(元)與需求量y(件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y對x的回歸直線方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞題型三 非線性回歸分析例5：收集到的一組數(shù)據(jù)下表為：x21232527293235y7

8、11212466115325(1)作出與的散點圖，并猜測與之間的關(guān)系(2)建立與的關(guān)系，預(yù)報回歸模型并計算殘差(3)利用所得模型，預(yù)報時的值三、課后小結(jié)1.求線性回歸方程的步驟，了解線性回歸模型與一次函數(shù)的不同2.初步了解如何評價兩個不同模型擬合效果的好壞3.用回歸方程探究非線性回歸問題的方法、步驟3.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用學習目標：1.能用等高條形圖反映兩個分類變量之間是否有關(guān)系2.能夠根據(jù)條件列出列聯(lián)表并會由公式求3.能知道獨立性檢驗的基本思想和方法學習重點：能夠根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表及求學習難點：獨立性檢驗的基本思想和方法學習過程：一、知識探究1.分類變量與列聯(lián)表（1）

9、分類變量：變量的不同“值”表示 ，這樣的變量稱為 （2）列聯(lián)表： 定義： ，稱為列聯(lián)表 2×2列聯(lián)表一般地,假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的可能取值分別為_和_,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為:總計總計注：越小，說明 ；越大，說明 （3）等高條形圖 等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否 ，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的 觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn) 和 相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系4.獨立性檢驗（1）定義：利用隨機變量來判斷“ ”的方法，稱為獨立性檢驗（2）公式：= ，其中 為樣本容量（3）獨立性檢驗的基本思想 要判斷“兩個分類變量有關(guān)系”，首先

10、假設(shè)結(jié)論不成立，即： 成立.在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機變量應(yīng)該 .如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的的觀測值很大，則斷言 ，即認為“兩個分類變量有關(guān)系”；如果觀測值 ，則說明在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)拒絕注：反證法原理與獨立性檢驗原理的比較:反證法原理 在假設(shè)下，如果推出一個_,證明了不成立.獨立性檢驗原理在假設(shè)下,如果出現(xiàn)一個與相矛盾的 ,就推斷不成立,且該推斷犯錯誤的概率 .（4）獨立性檢驗的一般步驟：第一步：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表第二步：根據(jù)公式計算觀測值第三步：比較與臨界值的大小關(guān)系作出統(tǒng)計推斷（5）獨立性檢驗臨界值表P()0.500.400.250.150.100.050.0250

11、.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828例如：（1），則有 _ 的把握認為“與”有關(guān)系（2），則有 _ 的把握認為“與”有關(guān)系（3），則有 _ 的把握認為“與”有關(guān)系（4），則認為沒有充分的證據(jù)顯示“與”有關(guān)系，但也不能作出結(jié)論“成立”，即不能認為“與”沒有關(guān)系探究:在運算時,在判斷變量是否有關(guān)系時,若觀測值,則和.哪種說法是正確的?三、理論遷移 例1：關(guān)于分類變量與的隨機變量觀測值，下列說法正確的是（ ）A的值越大，“與有關(guān)系”可信程度越小B的值越小，“與有關(guān)系”可信程度越小C的值越接近于0，“與無關(guān)”

12、程度越小D的值越大，“與無關(guān)”程度越大例2：為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，則認為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為 例3：某校對學生課外活動進行調(diào)查，結(jié)果整理成下表： 體育文娛總計男生212344女生62935總計275279試用你所學過的知識進行分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？例4：為研究學生的數(shù)學成績與對學習數(shù)學的興趣是否有關(guān)，對某年級學生作調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)： 成績優(yōu)秀成績較差總計興趣濃厚的

13、643094 興趣不濃厚的227395總計86103189判斷學生的數(shù)學成績好壞與對學習數(shù)學的興趣是否有關(guān)？例5：為了探究學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)，某同學調(diào)查了361名高二在校學生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人試分析學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)？例6：某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，結(jié)果如下表：甲廠分組29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.9

14、8)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14)頻數(shù)12638618292614乙廠分組29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14)頻數(shù)297185159766218(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異” 甲廠乙廠總計優(yōu)質(zhì)品   非優(yōu)質(zhì)品   總計   P(K2