談問題轉(zhuǎn)化思想在微積分教學(xué)中的應(yīng)用

1、談問題轉(zhuǎn)化思想在微積分教學(xué)中的應(yīng)用作者：郭淑娟元春梅童凱郁徐明華摘要：問題轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。問題轉(zhuǎn)化 思想在微積分教學(xué)中的應(yīng)用很多，包括極限的數(shù)學(xué)定義、 微分中值定理、洛比達(dá)法則、定積分以及微分方程等。轉(zhuǎn) 化的形式是將一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題，轉(zhuǎn)化的原則是 由繁到簡，由難到易，直至問題解決。關(guān)鍵詞：問題轉(zhuǎn)化；微積分；極限；微分中值定理； 定積分微積分是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，是一般非數(shù)學(xué)類專業(yè) 大學(xué)生的重要基礎(chǔ)課之一。關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的作用在 教育部高等學(xué)校“數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會”的數(shù) 學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報告1中指出了五個方面：提 供必要的數(shù)學(xué)工具，學(xué)會數(shù)學(xué)方式的理性思維，領(lǐng)

2、會數(shù)學(xué) 文化，培養(yǎng)審美情操以及為終身學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。這是在現(xiàn) 階段對高等數(shù)學(xué)教育的指導(dǎo)性文件。其中的工具和基礎(chǔ)作 用是以往一直強(qiáng)調(diào)的，而數(shù)學(xué)思維以及文化和審美方面在 過去并未受到足夠的重視。我們認(rèn)為：思維方式的培養(yǎng)應(yīng) 該以概念、理論等知識點(diǎn)為載體，教師在點(diǎn)點(diǎn)滴滴的教學(xué) 中有意提升，使這項(xiàng)工作日?；?，形成習(xí)慣。至于文化和 審美方面的培養(yǎng)則需要更高理念的支持。數(shù)學(xué)思維方式有很多形態(tài)，如歸納、類比、轉(zhuǎn)化等等。 其中問題轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中最基本最常用的一種思維方式，它 的基本思想為將一種形式的問題轉(zhuǎn)化為另一種形式的問題, 將較難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，從而實(shí)現(xiàn)問題解決。這 里作者就問題轉(zhuǎn)化思想在微積分教學(xué)中的

3、應(yīng)用談?wù)剛€人的 想法和做法。1從極限的描述性定義到數(shù)學(xué)定義的轉(zhuǎn)化眾所周知，極限是整個微積分的基礎(chǔ)，它的定義在微積分各部分內(nèi)容中都有應(yīng)用。但很多學(xué)生在學(xué)到極限的數(shù) 學(xué)定義時，無法將其與形象直觀的描述性定義畫等號，從 而產(chǎn)生排斥心理。這種情況甚至影響了他們后繼學(xué)習(xí)高等 數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)從極限的描述性定義（下 面簡稱為a）到數(shù)學(xué)定義（下面簡稱為b）的轉(zhuǎn)化是每個教 師面臨的一大考驗(yàn)。這里我們介紹一種分段轉(zhuǎn)化的教學(xué)模 式2,即在a, b中間插入兩種過渡形式al, a2,下面是數(shù) 列極限從描述性定義到數(shù)學(xué)定義的分段轉(zhuǎn)化：a：當(dāng)n無限增大時，xn無限接近于a；al：可以任意小，只要n足夠大；a2

4、：（為事先給定的一個正數(shù)，無論它多么?。?，只要n足夠大；b：對于任意給定的一個正數(shù)（無論它多么?。?，總存在正整數(shù)n,只要nn,就有。對于函數(shù)極限的定義，可類似進(jìn)行分段轉(zhuǎn)化：a：當(dāng)x無限接近于a時，無限接近于a ；al：可以任意小，只要足夠??；a2 :（為事先給定的一個正數(shù)，無論它多么?。灰?足夠??；b :對于任意給定的一個正數(shù)（無論它多么小），總存 在一個正數(shù)，只要，就有。恰當(dāng)?shù)貫殡y于理解的概念設(shè)置鋪墊是教師在教學(xué)中發(fā) 揮作用的主要方面。李大潛院士在文3中指出：教師“要 遵循學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，要設(shè)身處地的站在學(xué)生的角度來思 考，不應(yīng)該把自己的高觀點(diǎn)直接加到學(xué)生身上。拔苗助長 的做法只能影響學(xué)

5、生打基礎(chǔ)，不利于他們今后的成長?！苯?學(xué)實(shí)踐表明，對極限定義的分段轉(zhuǎn)化符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律, 能夠盡快實(shí)現(xiàn)學(xué)生對極限數(shù)學(xué)定義的認(rèn)同，進(jìn)而使學(xué)生在 解決問題中自覺運(yùn)用極限的思想方法。這種轉(zhuǎn)化也為定性 描述到定量定義提供了一種范例。2四個微分中值定理的轉(zhuǎn)化作為一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)，中值定理是微積分 的核心內(nèi)容之一。從羅爾定理，到拉格朗日中值定理，再 到柯西定理，最后到泰勒中值定理4,四個定理逐漸深入, 層層遞進(jìn)，充分展現(xiàn)了一元可微函數(shù)的性質(zhì)。但這里因?yàn)?定理多，理論性強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到吃力。在這一部分 教師的作用就是將知識條理化，幫助學(xué)生由低級到高級， 由簡單到深入地理解和掌握這一塊知識。首先

6、看羅爾定理，它告訴我們對于閉區(qū)間上連續(xù)、開 區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)，如果還滿足兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，那么 在區(qū)間內(nèi)必存在一點(diǎn)，函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，也就是 在曲線上有一點(diǎn)處的切線平行于x軸。其次，羅爾定理可 以推廣為拉格朗日中值定理：去掉兩端點(diǎn)函數(shù)值相等的條 件，結(jié)論就是曲線上有一點(diǎn)處的切線平行于兩端點(diǎn)的連線。 而羅爾定理僅僅是拉格朗日中值定理的特殊情況。但是一 般情形的導(dǎo)出又恰恰是通過將問題轉(zhuǎn)化為特殊情形實(shí)現(xiàn)的。 這里蘊(yùn)含了重要的方法論價值。將拉格朗日中值定理中的 曲線以參數(shù)方程表示，這可以得到第三個中值定理一柯西 定理。并且拉格朗日中值定理還是柯西定理的特例。在問 題形式不斷轉(zhuǎn)化的過程中，知識就這

7、樣一步步展開。最后 是著名的泰勒中值定理。因?yàn)楹吞├占墧?shù)的交融關(guān)系以及 在工程技術(shù)中被高頻使用，泰勒中值定理實(shí)際上是微積分 中的一個重量級公式，尤其是在工程師們的眼里。這個定理因?yàn)樯婕暗礁唠A導(dǎo)數(shù)使得我們無法像前面一 樣給出直觀的解釋，但就是這個看起來十分繁瑣冗長的結(jié) 果卻可以通過連續(xù)運(yùn)用柯西定理推導(dǎo)出來。這正體現(xiàn)了自 然界中的一個常見規(guī)律：簡單問題疊加后將不再簡單；復(fù) 雜問題往往可以分解成若干簡單問題。泰勒定理之精妙所 在還在于將微分表達(dá)式中的線性主部推廣到了任意次多項(xiàng) 式，并且將高階無窮小給出了具體表達(dá)式，使人們不僅能 夠?qū)瘮?shù)的近似表示有所選擇，而且可對誤差進(jìn)行控制。 可以說泰勒公式將微分

8、中以直代曲的思想進(jìn)行得完全徹底。 再回頭我們會發(fā)現(xiàn)，在泰勒定理中n=0時的特殊情況就轉(zhuǎn) 化成了拉格朗日中值定理。從而可以將樸素的拉格朗日中 值定理蘊(yùn)含于泰勒定理中。中值定理的演化猶如人類社會的演化，時而平緩，時 而急劇，但一直在起作用的恰恰是最基本的規(guī)律。通過教 師的有效整合，可以將該部分的各知識點(diǎn)有機(jī)地串聯(lián)起來, 形成一個網(wǎng)絡(luò)。既便于學(xué)生理解掌握，又承載了一定的思 想方法，收到一舉多得的效果。3洛比達(dá)法則的使用作為微分中值定理的應(yīng)用范例之一是洛比達(dá)法則5, 它是微積分中又一個十分經(jīng)典的問題轉(zhuǎn)化的案例。洛比達(dá) 法則有多種形式，但核心都是求未定式的極限。在一定條 件下兩個無窮小（或無窮大）比值的

9、極限等于它們分別求 導(dǎo)后的比值的極限。這里需注意的是法則并沒有告訴我們 極限值是多少，只是將原來的比值極限轉(zhuǎn)化為另一種形式 的比值的極限。使用洛比達(dá)法則的前提之一是后者的極限 易求出。我們只是通過這種轉(zhuǎn)化將問題由繁化簡、由難化 易，直至最后解決。這里如果問題朝著相反的方向轉(zhuǎn)化， 那就要立即停止，另想它法。在教學(xué)中教師強(qiáng)調(diào)這種轉(zhuǎn)化 可以提醒學(xué)生進(jìn)行積極有效地思維，并有意識地訓(xùn)練問題 轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。4關(guān)于定積分的定義與性質(zhì)初學(xué)定積分的人會感覺其定義及其繁瑣。為減輕初學(xué) 者的心理壓力，教師可以將冰冷的定義轉(zhuǎn)化為通俗的語言。 事實(shí)上，定積分蘊(yùn)含了重要的變量求和思想，這種思想在 科學(xué)研究和工程計算中十

10、分常見。概括地講定積分可以分 為四步：分割：將一個量分為若干個小量；近似：對 每個小量進(jìn)行近似，這里的關(guān)鍵技術(shù)是用常量代替變量； 求和：將所有小量的近似值相加；取極限：當(dāng)分割無 限加細(xì)時總量近似值的極限即為其精確值。類似的事情在二重積分上發(fā)生了，僅僅是變量從一個 發(fā)展到兩個，問題的形式和解決的方式可以說是完全重復(fù)。 那么三重積分的情況怎樣呢？也只是再多一個變量而已。 如此一來我們就通過這種升級轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)了一重積分到二重 積分、三重積分的過渡。不僅如此，對于兩類曲線積分和 兩類曲面積分也可以繼續(xù)沿用前面問題轉(zhuǎn)化的思想，順利 引出相應(yīng)的定義。至此，七類積分的全貌已現(xiàn)，而我們也 可以重新歸納積分的本質(zhì)

11、，即是對可變量的求和。除了定積分的定義，定積分還有七個著名的性質(zhì)。由 于這些性質(zhì)的證明要用到定義，而定義形式又具有一致性, 因而相應(yīng)地產(chǎn)生了其他類型積分的性質(zhì)。不過第二類曲線 積分和第二類曲面積分的性質(zhì)稍有不同，需加注意6。5微分方程中的問題轉(zhuǎn)化解微分方程的目的是尋求方程的通解或特解，其中最 原始的方法是積分。由于積分問題本身的難度，使得人們 十分關(guān)注那些能夠積出來的方程類型，而對于其他類型的 微分方程只好試圖通過問題轉(zhuǎn)化化成已解決的類型，因而 在這里轉(zhuǎn)化的工作司空見慣。如齊次方程就是通過變量代 換化為可分離變量的方程，甚至包括可化為齊次方程的方 程類型。另外關(guān)于可化為一階方程的二階微分方程也

12、總結(jié) 了三種類型。特別值得一提的是在解常系數(shù)線性微分方程時，我們 引入了一個重要的代數(shù)方程一特征方程，將原問題的解的 形態(tài)完全轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的特征方程的根的情況。這種轉(zhuǎn)化將 微分方程問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程問題，這種跨領(lǐng)域的轉(zhuǎn)化大 大降低了問題的難度，成為問題轉(zhuǎn)化領(lǐng)域的又一個經(jīng)典案 例。6結(jié)束語問題轉(zhuǎn)化作為一種重要的思想方法它蘊(yùn)含于許許多多 的概念、定理和公式中，需要我們在教學(xué)中不斷發(fā)現(xiàn)、整 理，以充實(shí)教學(xué)實(shí)踐。當(dāng)然還有其他的思維方式也需要教 師在教學(xué)實(shí)踐中有意識地運(yùn)用。大學(xué)數(shù)學(xué)作為一門公共基 礎(chǔ)課，不僅為學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備知識基礎(chǔ)，更是培 養(yǎng)新一代青年科學(xué)思維方法的良好素材。隨著時間的流 逝，具體的概念或公式可能記不清楚了，但是作為數(shù)學(xué)文 化價值的科學(xué)思維方式，如果培養(yǎng)了，則會使學(xué)生終身受 益7。參考文獻(xiàn)：1 教育部高等教育司高等理工科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究 報告m.北京:高等教育出版社.xx:1-11.2 m. s carborough , ontario: : 82-83.3 李大潛關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一些客觀思考， 大學(xué)數(shù)學(xué)課程報告論壇論文