第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、0（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）第三章第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1剛體剛體（rigid body）：）：特殊的質(zhì)點(diǎn)系在外力作用特殊的質(zhì)點(diǎn)系在外力作用下，形狀和體積不變化，下，形狀和體積不變化， 理想化的模型。理想化的模型。平動(dòng)平動(dòng)（translation）時(shí)，剛體上所有點(diǎn)時(shí)，剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同，故剛運(yùn)動(dòng)都相同，故剛體可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)。體可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)。234dtd 角加速度矢量角加速度矢量rv 速度加快時(shí)，角加速度和角速度速度加快時(shí)，角加速度和角速度同向，否則反向。同向，否則反向。 為了充分反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)為了充分反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，

2、引入的快慢，引入角速度矢量角速度矢量 ，方向由以下關(guān)系確定，方向由以下關(guān)系確定 3.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation about affixed axis） vi Ori定軸定軸剛體剛體zmi5一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)(,212121 iiivvvrrrmmm 22222)(212121 iiiiiiiiikrmrmvmE 2222121 iiiirmvm 221JiiirmJ2vi Ori定軸定軸剛體剛體zmi6iiirmJ2為剛體對(duì)為剛體對(duì) z 軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Rotational inertia 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 dVrdmrJ

3、rmJmii222)( )(連續(xù)分立J 為標(biāo)量為標(biāo)量dmrm與剛體的與剛體的質(zhì)量質(zhì)量有關(guān)有關(guān)質(zhì)量一定時(shí)與質(zhì)量一定時(shí)與質(zhì)量的分布質(zhì)量的分布有關(guān)，即與有關(guān)，即與剛體的形狀、大小、各部分的密度有剛體的形狀、大小、各部分的密度有關(guān)；關(guān)；與與轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān)SI：7二二. 常用的幾個(gè)常用的幾個(gè)J均勻圓環(huán)：均勻圓環(huán)：Jc =mR2；均勻圓盤(pán)：均勻圓盤(pán)：drrrdrrdmrJc3222240341RdrrR 242142mRRJcRmC CRmC2Rm 8均勻桿：均勻桿：CAml2l2232232222121121|31mllrdrrdmrJllllc23030223131|31mllrdrrd

4、mrJllA對(duì)對(duì)C C軸：軸：對(duì)對(duì)A A軸：軸：9三三. . 計(jì)算計(jì)算 J的幾條規(guī)律的幾條規(guī)律1. 對(duì)同一軸對(duì)同一軸 J具有可疊加性具有可疊加性J =Ji Jmrzi ii 22. 平行軸定理平行軸定理Jmrm xyzi iiiiii + + 222() m xm xxiiiiici22 + +() + + + mxxmxxmiiciiiicii222=0 xydcc222+ + m xyIiiiic( )22+ + JJmdc + +2 JJcmin=mCdmICI平行平行10 3. 對(duì)薄平板剛體的正交對(duì)薄平板剛體的正交軸定理軸定理Jm rm xm yziiiiii + + 222 例例1

5、1：已知圓盤(pán)：已知圓盤(pán)JmRz 122求對(duì)圓盤(pán)的一條直徑的求對(duì)圓盤(pán)的一條直徑的J Jx x （或（或 J y）。）。由由JJJJJJJmRzyxxyxy + + 142即即 JJJxy + + y rix z yi xi mi yx z 圓盤(pán)圓盤(pán) R C m11O力與力臂的乘積。力與力臂的乘積。FdM F FPdr rr sinrFM 根據(jù)矢量乘積法則：根據(jù)矢量乘積法則： sinBAAB 用矢量方法表示力矩：用矢量方法表示力矩：FM r單位：?jiǎn)挝唬号ｎD牛頓 米，米， N m方向：方向：從從r r 沿小于沿小于 角角右旋到右旋到F F，大拇指指向。，大拇指指向。Fr sin M M一、力矩一、力

6、矩12rFM M M 的方向垂直于的方向垂直于 r r 與與 F F 構(gòu)成的平面。構(gòu)成的平面。例例2 2：一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)：一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為為 l 質(zhì)量為質(zhì)量為 m ，在摩，在摩擦系數(shù)為擦系數(shù)為 的的水平桌水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩的力矩 M阻阻。13ml解：解：桿上各質(zhì)元均受桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻力矩大，質(zhì)元受阻力矩大，細(xì)桿的質(zhì)量密度細(xì)桿的質(zhì)量密度lm 質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元質(zhì)量dxdm odmdxx質(zhì)元受阻力矩質(zhì)元受阻力矩dmgxdM 阻

7、阻x14細(xì)桿受的阻力矩細(xì)桿受的阻力矩 阻阻阻阻dMM221gl 由細(xì)桿質(zhì)量由細(xì)桿質(zhì)量lm mglM 21 阻阻有有 lgxdx0 mlodmdxxx151.1.第一定律：一個(gè)可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，當(dāng)?shù)谝欢桑阂粋€(gè)可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩等于零時(shí)，它將保持原有的它所受的合外力矩等于零時(shí)，它將保持原有的角速度不變。角速度不變。 從實(shí)驗(yàn)可知，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與合外從實(shí)驗(yàn)可知，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。JM 寫(xiě)成等式寫(xiě)成等式MkJ16與牛與牛II比較：比較： MFJma J反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性dtd

8、JJM在國(guó)際單位制下在國(guó)際單位制下 k= =1MJ注意幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)1. . 是矢量式是矢量式2. . 具有瞬時(shí)性。具有瞬時(shí)性。171. .確定研究對(duì)象。確定研究對(duì)象。2. .受力分析（受力分析（只考慮對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有影響的力矩只考慮對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有影響的力矩）。）。3. .列方程求解列方程求解(平動(dòng)物體列牛頓定律方程，轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)物體列牛頓定律方程，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程和角量與線量關(guān)系剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程和角量與線量關(guān)系)。三三. . 解題方法及應(yīng)用舉例解題方法及應(yīng)用舉例第一類(lèi)問(wèn)題：第一類(lèi)問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)情況和已知運(yùn)動(dòng)情況和 J，確定運(yùn)動(dòng)學(xué)，確定運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的聯(lián)系和動(dòng)力學(xué)的聯(lián)系- - ，從而求出，從而求出 MM或

9、或 F F。18例例3：長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的細(xì)桿，初始時(shí)的的細(xì)桿，初始時(shí)的角速度為角速度為 0，由于細(xì)，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過(guò)時(shí)間過(guò)時(shí)間 t 后桿靜止，后桿靜止，求摩擦力矩求摩擦力矩 M阻阻。lo解：解：以細(xì)桿為研究對(duì)象，以細(xì)桿為研究對(duì)象，只有摩擦阻力只有摩擦阻力產(chǎn)生力產(chǎn)生力矩，由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式：矩，由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式：t+000+tt0 19細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量231mlJ 則摩擦阻力矩為：則摩擦阻力矩為：JM阻0231 mltM 阻阻tml0231 lo20第二類(lèi)問(wèn)題：第二類(lèi)問(wèn)題：已知已知 J 和力矩和力矩MM ：求出運(yùn)動(dòng)情況：求出運(yùn)

10、動(dòng)情況 a a 和和 及及 F F。例例4 4：質(zhì)量為質(zhì)量為 m1和和m2兩個(gè)物體，跨在定滑兩個(gè)物體，跨在定滑輪上輪上 m2 放在光滑的桌放在光滑的桌面上，滑輪半徑為面上，滑輪半徑為 R，質(zhì)量為質(zhì)量為 M，求：，求：m1 下下落的加速度，和繩子落的加速度，和繩子的張力的張力 T1、T2。1m2mRM,T1 1T2 2211m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：受力分析解：受力分析1m以以為研究對(duì)象為研究對(duì)象amTgm111 （1）2m以以為研究對(duì)象為研究對(duì)象amT22 （2）M以以為研究對(duì)象為研究對(duì)象JRTT)(21（3）221MRJ T1T222補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：Ra（4）聯(lián)

11、立方程（聯(lián)立方程（1）-（4）求解得）求解得2/211Mmmgma+ + + 2/)2/(21211MmmgMmmT+ + + + 2/21212MmmgmmT+ + + 討論：討論：當(dāng)當(dāng) M= =0時(shí)時(shí)212121mmgmmTT+ + 23第三類(lèi)問(wèn)題：第三類(lèi)問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)情況已知運(yùn)動(dòng)情況 和力矩和力矩M M ，求，求未知未知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J J。例例5 5：測(cè)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：測(cè)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 用一根輕繩纏繞在半徑用一根輕繩纏繞在半徑為為 R、質(zhì)量為、質(zhì)量為 M 的輪子上的輪子上若干圈后，一端掛一質(zhì)量若干圈后，一端掛一質(zhì)量為為 m 的物體，從靜止下落的物體，從靜止下落 h 用了時(shí)間

12、用了時(shí)間 t , ,求輪子的轉(zhuǎn)求輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)慣量 J J。hRM,m24h hRM,mgT以以m為研究對(duì)象為研究對(duì)象(1) maTmg以以M為研究對(duì)象為研究對(duì)象(2) JTR 物體從靜止下落時(shí)滿足物體從靜止下落時(shí)滿足(3) /22ath 補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：(4) RaT聯(lián)立方程（聯(lián)立方程（1）-（4）求解得：）求解得：hhgtmRJ2)2(2225orF FnF FF Fdds 將將F F分解為切分解為切向力和法向力。向力和法向力。 剛體轉(zhuǎn)過(guò)剛體轉(zhuǎn)過(guò) d, , 作用點(diǎn)的位移為作用點(diǎn)的位移為 ds, , 法向力法向力F Fn 不作功，只有切向力作功，不作功，只有切向力作功， cosFdsd

13、W rdds, cosFF其中其中由功的定義由功的定義 rdF 26 MdtdM 對(duì)于恒力矩作功對(duì)于恒力矩作功 MMW)(0恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。由功率的定義：由功率的定義：dtdWP 二、力矩的功率二、力矩的功率則則rdFW0 MdW 027 剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過(guò)一定角度，力矩剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過(guò)一定角度，力矩對(duì)剛體做了功，作功的效果是改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)剛體做了功，作功的效果是改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？由力矩的功定義：由力矩的功定義： MdW 0三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理其中

14、力矩其中力矩JM MdW 0則功則功dtd ddtdJ0dtdJ28dJW0剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2022121JJ2022121JJW剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。0kkEEkE291. .確定研究對(duì)象。確定研究對(duì)象。2. .受力分析，確定作功的力矩。受力分析，確定作功的力矩。3.3.確定始末兩態(tài)的動(dòng)能，確定始末兩態(tài)的動(dòng)能，E Ek k0 0、E Ek k。4. .列方程求解。列方程求解。例例6：一細(xì)桿質(zhì)量為一細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l，一

15、端固定在軸上，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求靜止從水平位置擺下，求細(xì)桿擺到鉛直位置時(shí)的角細(xì)桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度。速度。0kkEEW30g gmolm,解：解：以桿為研究對(duì)象，以桿為研究對(duì)象，只有重力產(chǎn)生力矩，且重只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。力矩隨擺角變化而變化。重力矩作功：重力矩作功： 900 MdW重重 900cos2 dlmgmgl21 31始末兩態(tài)動(dòng)能：始末兩態(tài)動(dòng)能： 212JEk由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：0kkEEW021212Jmgl231mlJ 22)31(2121 mlmgl lg3 0 0kE, ,g gmolm,32 當(dāng)系統(tǒng)中既有平動(dòng)的物體又有轉(zhuǎn)動(dòng)的

16、剛體，當(dāng)系統(tǒng)中既有平動(dòng)的物體又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作功時(shí)，物體系的機(jī)械能守恒。功時(shí)，物體系的機(jī)械能守恒。EE0其中其中 + + 221mvE例例7 7：如圖所示的物體系中，倔強(qiáng)度系數(shù)為如圖所示的物體系中，倔強(qiáng)度系數(shù)為 k的的彈簧開(kāi)始時(shí)處在原長(zhǎng)，定滑輪的半徑為彈簧開(kāi)始時(shí)處在原長(zhǎng)，定滑輪的半徑為 R、轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為慣量為 J，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的物體從靜止開(kāi)始下落的物體從靜止開(kāi)始下落, ,求求下落下落 h 時(shí)物體的速度時(shí)物體的速度 v。+221J+mgh 221kx33kRJ,hm解：解：在物體在物體 m 下下落過(guò)程中只有

17、重力落過(guò)程中只有重力和彈力保守力作功，和彈力保守力作功，物體系機(jī)械能守恒。物體系機(jī)械能守恒。EE0選擇彈簧原長(zhǎng)為彈性選擇彈簧原長(zhǎng)為彈性 0 勢(shì)點(diǎn)，物勢(shì)點(diǎn)，物體下落體下落 h 時(shí)為重力時(shí)為重力 0 勢(shì)點(diǎn)。勢(shì)點(diǎn)。+ + 221mvmgh+221J221khRv求解得求解得22/2RJmkhmghv+34一、沖量矩一、沖量矩沖量：沖量：dtttFI0 沖量矩：沖量矩： ttdt0M35質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理PvvI00 mmFdttt由沖量矩定義：由沖量矩定義：dtttM0 MJ其中其中dtJdttttt00MdtdtdJdtttttM00Jd0dtd 其中其中0JJ36定義：定義：JL為為角

18、動(dòng)量角動(dòng)量，單位：?jiǎn)挝唬呵Э饲Э?米米2/ /秒（秒（kgm2/s）方向：方向：與角速度方向一致。與角速度方向一致。二、角動(dòng)量二、角動(dòng)量00JJdtttMmJ v mvJ37對(duì)于質(zhì)點(diǎn)也可引入角動(dòng)量的概念。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)也可引入角動(dòng)量的概念。例如人造地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)例如人造地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng) JL 2mrJ 質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 2mrL 則則rmvL 角動(dòng)量定義角動(dòng)量定義rv 其中其中r 為質(zhì)點(diǎn)到軸的距離為質(zhì)點(diǎn)到軸的距離3800JJdtttM角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理( (動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理) )：剛體受到的沖剛體受到的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。0LL L

19、三、角動(dòng)量定理三、角動(dòng)量定理( (動(dòng)量矩動(dòng)量矩) )39四、角動(dòng)量四、角動(dòng)量( (動(dòng)量矩動(dòng)量矩) )守恒定律守恒定律 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律：當(dāng)合外力為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律：當(dāng)合外力為0時(shí)，動(dòng)量守恒。時(shí)，動(dòng)量守恒。PP0 0F 外外i時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) 對(duì)于剛體所受的合外力矩為對(duì)于剛體所受的合外力矩為0時(shí)時(shí), ,又又如何呢？如何呢？由角動(dòng)量定理：由角動(dòng)量定理：0LLM0 dttt , 0M 0LL 0 40CLL 0 JJ0當(dāng)剛體受到的合當(dāng)剛體受到的合外力矩為外力矩為0 時(shí)，剛體的角動(dòng)量守恒。時(shí)，剛體的角動(dòng)量守恒。C 條件：條件：當(dāng)剛體受到的合外力矩為當(dāng)剛體受到的合外力矩為0時(shí)，時(shí)， , 0M 0LL

20、0 41J JJJ0 , 00 CC , 0JJ04243o1o 244o1o 2解：解：整個(gè)過(guò)程合外力矩整個(gè)過(guò)程合外力矩為為0，角動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒，2211JJ21012mlJJ+215260 + + 2mkg70 J0= =60kg m2，l l1 1= = 1m， l l2 2= = 0.2m, m= =5kg， 1 = = 3 s- -122022mlJJ+2mkg4 .60 22 . 05260 + + 452211JJ2112JJ由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小，角速度增加。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小，角速度增加。 在此過(guò)程中機(jī)械能不守恒，因?yàn)槿耸毡蹠r(shí)做功在此過(guò)程中機(jī)械能不守恒，因?yàn)槿耸毡蹠r(shí)做功。4 .

21、60703 -1s5 . 3 21mkg70J22mkg4 .60J 1 1 = 3 s= 3 s-1-146解：解：兩飛輪通過(guò)摩擦達(dá)兩飛輪通過(guò)摩擦達(dá)到共同速度到共同速度, ,合外力矩為合外力矩為0，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。1I2I1 2 )(212211JJJJ+C CL LL L0 212211JJJJ+共同角速度共同角速度47)2121()(21222211221JJJJE+)(2)(2122121JJJJE+212211JJJJ+其中其中212211JJJJ+共同角速度共同角速度嚙合過(guò)程機(jī)械能損失嚙合過(guò)程機(jī)械能損失0EEE 48例例11: 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m0的細(xì)棒，可繞垂直于一端的水平的細(xì)棒，可繞垂直于一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。棒原來(lái)處于平衡狀態(tài)。現(xiàn)有一質(zhì)量為軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。棒原來(lái)處于平衡狀